Հավանականությունների տեսության պատմություն

Հավանականությունների տեսության պատմություն, հավանականությունների տեսության սկզբնավորման ու զարգացման պատմությունը։

Հավանականությունների տեսության պատմությունն առանձնանում է մի քանի յուրահատկություններով։ Առաջին հերթին, ի տարբերություն մաթեմատիկայի՝ գրեթե նույն ժամանակաշրջանում ի հայտ եկած այլ բաժինների (օրինակ, մաթեմատիկական անալիզ կամ անալիտիկ երկրաչափություն), հավանականությունների տեսությունը չունի անտիկ կամ միջնադարյան պատմություն և լիովին ստեղծվել է նոր ժամանակներում^[1]։ Բավականին երկար ժամանակ հավանականությունների տեսությունը համարվում էր զուտ փորձնական գիտություն և «ոչ այնքան մաթեմատիկա»^[2]^[3], նրա խիստ հիմքերը ձևավորվեցին միայն 1929 թվականին, այսինքն, անգամ ավելի ուշ, քան բազմությունների տեսության աքսիոմատիկան (1922)։ Մեր օրերում հավանականությունների տեսությունը կիրառական գիտությունների շարքում օգտագործման տեսանկյունից առաջատարներից է. «Չկա ոչ մի բնական գիտություն, որում այս կամ այն կերպ չեն օգտագործվում հավանականությունների տեսության մեթոդները»^[4]։

Հավանականությունների տեսության զարգացումը պատմաբանները բաժանում են մի քանի շրջանի^[5]^[6]։

Նախապատմություն՝ մինչև 16-րդ դարը ներառյալ։ Անտիկ ժամանակաշրջանում ու միջին դարերում բնափիլիսոփաները պատահականությունների ու բնության մեջ դրանց դերի առաջացմանը մոտենում էին միայն մետաֆիզիկական տեսանկյունից^[7]։ Այդ շրջանում մաթեմատիկոսները երբեմն ուսումնասիրում ու լուծում էին հավանականությունների տեսության հետ կապված խնդիրներ, բայց ընդհանուր մեթոդներ դեռևս չկային։ Գլխավոր ձեռքբերումը կոմբինատոր մեթոդների զարգացումն էր, որն էլ հետագայում օգտագործվեց հավանականությունների տեսության հիմնադիրների կողմից։
17-րդ դարի երկրորդ կեսին վերջավոր թվով արժեքներ ունեցող պատահական մեծությունների համար հավանականությունների տեսության հիմնական մեթոդների առաջացումը։ Սկզբնական շրջանում տեսության զարգացման համար խթան հանդիսացան հատկապես մոլեխաղերում առաջացող խնդիրները։ Սակայն այն արագորեն ընդլայնեց տարածման շրջաններն ու շուտով ներառեց նաև ժողովրդագրական վիճակագրության, ապահովագրական գործի ու մոտավոր հաշվարկների տեսության կիրառական խնդիրները։ Այս շրջանում նոր գիտության մեջ կարևոր ներդրում ունեցան Պասկալն ու Ֆերման։ Հյույգենսը ներմուծեց երկու հիմնարար հասկացություններ. իրադարձության հավանականության թվային չափ, նաև պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասումը։
18-րդ դարում ի հայտ եկան հավանականությունների տեսության համակարգված մենագրությունները։ Դրանցից առաջինը Բեռնուլիի «Ենթադրույթների արվեստ» (1713 թվական) գիրքն էր։ Այստեղ Բեռնուլին առաջարկում է պատահական իրադրության հավանականությունը որոշել հավասարապես հնարավոր ելքերի ու ընդհանուր ելքերի քանակների հարաբերությամբ։ Բացի այդ, նա առաջարկել է բարդ իրադրությունների հավանականության հաշվման եղանակ, նաև տվել է «մեծ թվերի օրենքի» առաջին տարբերակը, որը պարզաբանում է, թե ինչու փորձարկումների շարքում իրադրության հաճախականությունը քաոսային չի փոխվում, այլ որոշ իմաստով ձգտում է իր տեսական սահմանային արժեքին (այսինքն՝ հավանականությանը)։
19-րդ դարի սկզբում Բեռնուլիի գաղափարները լայնորեն կիրառեցին Լապլասը, Գաուսը, Պուասոնը։ Հավանականության հասկացությունը որոշակիացվեց նաև անընդհատ պատահական մեծությունների համար, ինչի շնորհիվ հնարավոր դարձավ մաթեմատիկական անալիզի մեթոդների կիրառությունը։ Ի հայտ եկան հավանականությունների տեսությունը ֆիզիկայում օգտագործելու առաջին փորձերը։ 19-րդ դարի վերջում առաջացավ վիճակագրական ֆիզիկան, չափումների սխալների խիստ տեսությունը։ Հավանականությունների տեսությունը սկսեց տարածվել տարբեր կիրառական գիտություններում։
20-րդ դարում ֆիզիկայում ստեղծվեց միկրոաշխարհի, իսկ կենսաբանությունում՝ ժառանգականության տեսությունները։ Երկուսն էլ հիմնված են հավանականությունների տեսության մեթոդների վրա։ Կառլ Պիրսոնը մշակեց մաթեմատիկական վիճակագրության ալգորիթմերը, որոնք լայնորեն կիրառվում են կիրառական չափումների անալիզի, վարկածների ստուգման ու որոշումների ընդունման ժամանակ։ Կոլմոգորովը տվեց հավանականությունների տեսության դասական աքսիոմատիկան։ Հավանականությունների տեսության կիրառման այլ նոր բնագավառներից հարկ է նշել ինֆորմացիայի տեսությունն ու պատահական պրոցեսը։ Փիլիսոփայական վեճերն այն մասին, թե ինչ է հավանականությունն ու որն է դրա կայունության պատճառը, շարունակվում են։

Միջնադարյան Եվրոպան ու նոր ժամանակների սկիզբը

Զառերի հին օրինակներ

Հավանականությունների տեսության առաջին խնդիրներն առաջացել են տարբեր մոլեխաղերի՝ զառերով, խաղաքարտերով և այլն^[8], ժամանակ։ 13-րդ դարի ֆրանսիացի կանոնիկոս Ռիշար դե Ֆուրնիվալը ճշգրտորեն հաշվել է բոլոր հնարավոր միավորների գումարները երեք զառ նետելու դեպքում և նշել է բոլոր հնարավոր եղանակների քանակը, որոնց դեպքում կարող էր ստացվել այդ գումարը։ Եղանակների այդ թիվը կարելի է համարել սպասվող իրադրության, այսինքն նաև հավանականության, առաջին թվային չափը։ Մինչև Ֆուրնիվալը, երբեմն էլ նրանից հետո, այդ թիվը ոչ ճիշտ էին ստանում, քանի որ, օրինակ, համարում էին, որ 3 և 4 գումար ստացվելու դեպքերը հավասարապես հավանական են, քանի որ երկուսն էլ կարող են ստացվել «միայն մեկ եղանակով». «երեք հատ մեկ» և «երկու, մեկ, մեկ» համապատասխանաբար։ Ընդ որում, հաշվի չէր առնվում, որ երեք հատ մեկը կարող է ստացվել միայն մեկ դեպքում՝ $~1+1+1$ , իսկ «երկու, մեկ, մեկ»-ը՝ երեք եղանակով՝ $~1+1+2;\;1+2+1;\;2+1+1$ , այնպես որ իրադրությունները հավասար հավանական չեն^[9]։ Նմանօրինակ սխալները ի հայտ են եկել նաև ավելի ուշ շրջանի գիտության մեջ։

Իտալացի Լուկա Պաչոլիի «Թվաբանության, երկրաչափության, հարաբերությունների ու չափաքանակների գումար» ընդարձակ մաթեմատիկական հանրագիտարանում (1494) կան այս թեմայով հետաքրքիր առաջադրանքներ. ինչպես խաղագումարը բաժանել երկու խաղացողների մեջ, եթե խաղաշարքը շտապ ընդհատվել է։ Նման խնդրի օրինակ. խաղը գնում է մինչև 60 միավորը, հաղթողը ստանում է ամբողջ խաղադրույքն ու 22 դուկատ, խաղի ինչ-որ պահի առաջին խաղացողը հավաքել է 50 միավոր, իսկ երկրորդը՝ 30, այսեղ ստիպված եղան ընդհատել խաղը; պահանջվում է արդար ձևով բաժանել դրույքը խաղացողների միջև։ Լուծումը կախված է «արդար» բաժանում հասկացության իմաստից, ինքը՝ Պաչոլին, առաջարկում էր բաժանել ըստ հավաքված միավորների (55/4 և 33/4 դուկատ)^[10]։ Հետագայում նրա լուծումը սխալ համարվեց^[11]։

Երկու զառերի նետումից հետո միավորների գումարի բաշխումը

16-րդ դարի խոշորագույն հանարահաշվագետ Ջերոլամո Կարդանոն խաղի վերլուծությանը նվիրեց իր «Գիրք զառերով խաղի մասին» (1526 թվական, հարապարակվել է հետմահու) մենագրությունը։ Կարդանոն լիարժեք ու ճշգրիտ կոմբինատոր անալիզ էր կիրառել միավորների գումարների ու հնարավոր դեպքերի համար, ինչպես նաև ցույց է տվել «բարենպաստ» իրադրության սպասման արժեքը տարբեր դեպքերի համար. օրինակ, երեք զառեր նետելու դեպքում երեք զառերում նույն արժեքները ընկնելու հավանականությունը հավասար է 6/216 կամ 1/36: Կարդանոն մի դատողություն է արել. հետազոտվող իրադրության իրական քանակը ոչ մեծ թվով խաղերի ժամանակ կարող է տարբերվել տեսական քանակից, բայց ինչքան շատ են շարքի խաղերը, այնքան փոքր է տարբերությունը։ Այս դատողությամբ Կարդանոն խիստ մոտեցավ հավանականության բուն հասկացությանը^[12]։

Այսպես, կա մեկ ընդհանուր կանոն հաշվարկների համար. անհրաժեշտ է հաշվել հնարավոր դեպքերի ընդհանուր քանակը և այն դեպքերի քանակը, որոնց դեպքում ի հայտ կգան տրված արդյունքերը, իսկ հետո պետք է հաշվել վերջին թվի հարաբերությունը մնացած դեպքերի քանակին։

Այլ իտալացի հանրահաշվագետ Նիկոլո Տարտալիան քննադատել է Պաչոլիի մոտեցումը խաղադրույքի բաժանման խնդրին. չէ որ եթե խաղացողներից մեկը դեռ չի հասցրել հավաքել գոնե մեկ միավոր, ըստ Պաչոլիի ալգորիթմի ամբողջ դրույքն անցնում է հակառակորդին, իսկ այս լուծումը արդար չի կարող կոչվել, որովհետև պարտվողը դեռ հաղթեու շանսեր ուներ։ Կորդանոն ու Տարտալյան առաջարկում են բաշխման իրենց (տարբեր) մեթոդները, բայց ի վերջո դրանք ևս անհաջող համարվեցին^[13]։

Այս թեմայի ուսումնասիրությամբ զբաղվել է նաև Գալիլեո Գալիլեյը, ով գրել է «Զառերով խաղի արդյունքի մասին» (1718 թվական, հրապարակվել է հետմահու) աշխատությունը։ Տեսության Գալիլեյի ներկայացումը առանձնանում էր իր սպառիչ լիարժեքությամբ ու պարզությամբ։ Իր հիմնական գրքում՝ «Երկխոսություն աշխարհի երկու կարևորագույն՝ պտղոմեոսյան ու կոպեռնիկոսյան, համակարգերի մասին», Գալիլեյը նաև ցույց է տվել, որ հնարավոր է գնահատել աստղագիտական և այլ չափումերի ճիշտ կամ սխալ լինելը^[14]։

17-րդ դար. Պասկալ, Ֆերմա, Հյուգենս

Պասկալի եռանկյուն, Պասկալի կոմբինատոր հետազոտությունների հիմքը

17-րդ դարում ձևավորվեց հավանականությունների տեսության հստակ պրոբլեմատիկան և ի հայտ եկան հավանականություններով առաջադրանքների առաջին մաթեմատիկական (կոմբինատորիկ) լուծման մեթոդները։ Հավանականությունների մաթեմատիկական տեսության հիմնադիրները Բլեզ Պասկալն ու Պիեռ Ֆերման էին^[15]։

Մինչ այդ սիրողական մաթեմատիկոս Շևալյե դե Մերեն դիմել է Պասկալին այսպես կոչված «միավորների մասին առաջադրանքի» հարցով. քանի՞ անգամ պետք է նետել երկու զառերը, որպեսզի գոնե մի անգամ երկուսն էլ վեց ընկնելու վրա խաղագումար դնելը շահավետ լինի։ Պասկալն ու Ֆերման նամակագրություն սկսցեցին այս ու նմանատիպ այլ խնդիրների վերաբերյալ (1654)։ Այդ նամակագրության շրջանակներում գիտնականները քննարկեցին մի շարք խնդիրներ, որոնք կապված էին հավանականությունների տեսության հաշվարկների հետ. մասնավորապես, վերանայվեց խաղագումարի բաժնման հին խնդիրը, և երկու գիտնականներն էլ այն եզրակացության եկան, որ խաղագումարը պետք է բաժանվի ըստ հաղթելու շանսերի հավանականության։ Պասկալը Գոմբոյին բացատրեց սխալը, որը վերջինս թույլ էր տվել «միավորների մասին առաջադրանքի» լուծման ժամանակ. այն դեպքում, երբ Գոմբոն ոչ ճիշտ հաշվարկների արդյունքում իրադրության հավանականությունը ստացել էր 24, Պասկալը տվեց ճիշտ պատասխանը՝ 25 նետում^[15]^[16]։

Իր աշխատություններում Պասկալը բավականին խորացրել է կոմբինատոր մեթոդների կիրառությունը, որոնք նա համակարգել է իր «Աշխատություն հանրահաշվական եռանկյան մասին» գրքում (1665)^[17]։ Հիմնվելով հավանականությունների տեսության մոտեցումների վրա, Պասկալն ապացուցել է (հետմահու հրապարակված գրառումներում), որ ավելի շահավետ է լինել հավատացյալ, քան աթեիստ (տե՛ս «Պասկալի Գրազ»)։

Քրիստիան Հյուգենս

Պասկալի ու Ֆերմայի քննարկումների թեմատիկան (առանց մանրամասների) հայտնի դարձավ Քրիստիան Հյուգենսին, ով հրապարակեց սեփական հոտազոտությունները՝ «Մոլեխաղերի հաշվարկների մասին» (1657). հավանականությունների տեսության մասին առաջին տրակտատը^[15]։ Նախաբանում Հյուգենսը գրում է^[18].

Կարծում եմ, առարկայի մանրամասն ուսումնասիրության դեպքում ընթերցողը կնկատի, որ գործ ունի ոչ միայն խաղի հետ, այլ ծանոթանում է մի շատ հետաքրքիր ու խոր տեսության հետ։

Հյուգենսի տրակտատում մանրամասնորեն քննարկվում են հարցեր, որոնք ուսումնասիրել էին նաև Ֆերման ու Պասկալը, բայց դրվում են նաև նոր հարցեր^[11]։ Հոլանդացի գիտնականի գլխավոր ձեռքբերումը մաթեմատիկական սպասման (այսինքն, պատահական մեծության տեսական միջին արժեքի) հասկացության ներմուծումն էր։ Հյուգենսը նաև տվել է դրա հաշվարկման դասական մեթոդը^[18].

Եթե դեպքերի քանակը, որոնց պարագայում ստացվում է

a

, հավասար է

p

, իսկ դեպքերի քանակը, որոնց արդյունքում ստացվում է

b

, հավասար է

q

, ապա իմ սպասման արժեքը հավասար է

~{\frac {ap+bq}{p+q}}

Ուսումնասիրությունը ցույց տվեց, որ սկզբնական շրջանում Հյուգենսն օգտագործում էր «արժեք» եզրույթը, իսկ «սպասում» տերմինն ի հայտ եկավ Վան Սխոութենի լատիներեն թարգմանությունում և գիտության մեջ ընդհանուր կիրառություն ստացավ^[19]։

Գրքում մեծ թվով առաջադրանքներ կային, մի մասը լուծման հետ, մյուսները «ինքնուրույն լուծման համար»։ Վերջիններից հատուկ հետաքրքրություն ու կենդանի քննարկումներ առաջացրեց այսպես կոչված «խաղացողի սնանկացման մասին առաջադրանքը»։ Փոքր-ինչ ընդհանրացված վիճակում այն ունի հետևյալ տեսքը. $A$ և $B$ խաղացողներն ունեն համապատասխանաբար $a$ և $b$ կոպեկներ, յուրաքանչյուր խաղում խաղարկվում է մեկ կոպեկ, $A$ -ի հաղթելու հավանականությունը յուրաքանչյուր խաղում հավասար է $p,$ , պահանջվում է գտնել նրա լրիվ սնանկացման հավանականությունը։ «Խաղացողի սնանկացման մասին առաջադրանքի» լիարժեք ամբողջական լուծումը տվել է Աբրահամ դը Մուավրը կես դար անց (1711)^[20]։ Մեր օրերում այս խնդրի հավանականությունների սխեման լայնորեն կիրառվում է «պատահական թափառում» տիպի խնդիրների լուծման ժամանակ^[21]։

Հյուգենսն ուսումնասիրել է խաղագումարի բաժանման մասին խնդիրը և տվել է դրա վերջնական լուծումը. խաղագումարը պետք է բաժանել շահելու հավանականությանը հարաբերական մասերով^[22]։ Նա նաև առաջին անգամ հավանականությունների տեսության մեթոդները կիրառել է ժողովրդագրական վիճակագրությունում և ցույց է տվել, թե ինչպես կարելի է հաշվել կյանքի միջին տևողությունը^[23]։

Այս շրջանին են վերագրվում նաև անգլիացի վիճակագրագետներ Ջոն Գրաունտի (1662) ու Վիլյամ Փեթիի (1676, 1683) աշխատությունները։ Հետազոտելով ավելի քան մեկ հարյուրամյակի տվյալներ, նրանք ցույց տվեցին, որ Լոնդոնի բնակչության ժողովրդագրական բնութագրիչներից շատերը, չհաշված պատահական տատանումները, ունեն բավականին կայուն բնույթ. օրինակ, նորածին տղաների ու աղջիկների թվի հարաբերությունը հազվադեպ է շեղվում 14-ը 13-ի հարաբերությունից, մեծ չէ նաև կոնկրետ պատահական պատճառով մահերի տոկոսային տատանումը։ Այս տվյալները գիտական հանրությանը պատրաստեցին նոր գաղափարների ընդունմանը^[18]։

Ինչպես նաև Գրաունտն առաջին անգամ կազմեց մահացությունների աղյուսակներ՝ որպես տարիքի ֆունկցիա, մահվան հավանականության աղյուսակներ։ Հավանականությունների տեսության ու ժողովրդագրության մեջ դրա կիրառության ժամանակ առաջացած հարցերով զբաղվել են նաև Յոհանես Հուդեն ու Յոհան դե Վիթը Նիդերլանդներում, ովքեր 1671 թվականին կազմեցին մահացությունների աղյուսակներ և դրանք օգտագործեցին ցմահ ռենտայի չափերի հաշվման համար։ Հարցերի այս շրջանն առավել լայնորեն ներկայացրել է Էդմունդ Հալլեյը 1693 թվականին^[11]^[24]։

18-րդ դար

Հյուգենսի գրքի վրա են հիմնված 18-րդ դարի սկզբում ի հայտ եկած Պիեռ դե Մոնմորի «Մոլեխաղերի ուսումնասիրման փորձ» (ֆր.՝ Essay d'analyse sur les jeux de hazard, հրապարակվել է 1708 թվականին, այնուհետև որոշ լրացումներով՝ 1713 թվականին) և Յակոբ Բեռնուլիի «Նախադրույթների արվեստ» (լատին․՝ Ars conjectandi, հրատարակված 1713 թվականին, գիտնականի մահից հետո) աշխատություները։ Վերջինը հարաբերականությունների տեսության համար ահռելի նշանակություն ունեցավ^[11]։

Յակոբ Բեռնուլիի «Նախադրույթների արվեստը»

Յկոբ Բեռնուլի
Բազել, Պատմական թանգարան

«Նախադրույթների արվեստը» տրակտատի վրա Յակոբ Բեռնուլին աշխատել է քսան տարի, արդեն հրատարակումից տասը տարի առաջ այս աշխատության տեքստը՝ որպես անավարտ ձեռագիր, տարածվել էր ամբողջ Եվրոպայում, առաջացնելով մեծ հետաքրքրություն։ Տրակտատը դարձավ հավանականությունների տեսության առաջին կարգավորված շարադրումը։ Այս գրքում հեղինակը մասնավորապես ներկայացրել է հավանականության որոշման դասական տարբերակը, այսինքն, անհրաժեշտ արդյունքների ու ընդհանուր արդյունքների հարաբերության հաշվումը (ստույգ կատարվելիք իրադրության հավանականությունը 1 է, իսկ անհնարինը՝ 0)։ Բեռնուլիի կարգավորված հավնականությունների սխեման այժմ կոչվում է բինոմինալ բաշխում^[25]։

Ավելի վաղ մաթեմատիկոսների եզրահանգումներ էին անում ընդհանուր արդյունքների մասին. պատմաբանները կարծում են, որ քանակի փոխարինումը «հաճախությամբ» (այսինքն բաժանումը արդյունների ընդհանուր քանակին) խթանեց վիճակագրության ըմբռնմանը. հաճախությունն՝ ի տարբերություն քանակի, սովորաբար ուսումնասիրությունների թվի մեծացման հետ ստաբիլացման միտում է ունենում։ Հավանականության սահմանումն «ըստ Բեռնուլիի» միանգամից ընդունվեց բոլորի կողմից, նրան ընդօրինակել են Աբրահամ դը Մուավրը (իր «Ուսմունք դեպքերի մասին» (1718) գրքում) և մյուս մաթեմատիկոսները։ Միակ կարևոր մանրամասնումը՝ որ «տարրական ելքերը» պետք է լինեն հավասարահավանական, արել է Պիեռ Սիմոն Լապլասը 1812 թվականին։ Եթե իրադրության համար անհնար է հաշվել դասական հավանականությունը (օրինակ, հավասարահավանական ելքերի քանակի հաշվման անհնարինության պատճառով), ապա Բեռնուլին առաջարկել է կիրառել վիճակագրական մոտեցում, այսինքն, հավանականության գնահատումը այդ կամ դրա հետ կապված այլ իրադրությունների ուսումնասիրման արդյունքների հիման վրա^[25]։

«Նախադրույթների արվեստ» տրակտատը

Իր տրակտատի առաջին մասում Բեռնուլին ամբողջությամբ վերարտադրել է Հյուգենսի գիրքը, որին նա ամենաբարձր գնահատականն էր տալիս, նաև ավելացրել է սեփական մեկնաբանությունները։ Մասնավորապես, նա տվել է «Բեռնուլիի բանաձևի» ընդհանուր ձևակերպումը. եթե իրադրության հավանականությունը հավասար է $p$ , ապա այդ իրադրությունը $m$ անգամ լինելու հավանականությունը հավասար է $~C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{n-m}$ : Շարունակությունում Բեռնուլին մանրամասնորեն շարադրում է կոմբինատոր մեթոդներն ու դրանց կիրառությամբ լուծում է պատահական ընտրություն պարունակող մի շարք խնդիրներ։ Գրքի վերջին մասում, որն անավարտ է մնացել, Բեռնուլին պատրաստվում էր նկարագրել տնտեսության ու այլ կիրառական բնագավառներում հավանականությունների տեսության օգտագործման եղանակները^[26]։

Ինչպես հավանականությունների տեսության, այնպես էլ ընդհանուր գիտության զարգացման համար ահռելի նշանակություն ունեցավ Բեռնուլիի ապացուցած Մեծ թվերի օրենքի առաջին տարբերակը (անվանումը հետագայում տվել է Պուասոնը)^[27]։ Այս օրենքը բացատրում է, թե ինչու է ուսումնասիրությունների թվի մեծացման հետ վիճակագրական հաճախությունը մոտենում իր տեսական արժեքին՝ հավանականությանը, և այդպիսով իրար կապում հավանականության երկու տարբեր սահմանումներ։ Ավելի ուշ Մեծ թվերի օրենքն այլ գիտնականների աշխատություններում ավելի ընդհանրացվեց ու հստակեցվեց. պարզվում է, որ վիճակագրական հաճախության ձգտելը տեսականին տարբերվում է անալիզում սահմանին ձգտելուց, և կարելի է ընդամենը պնդել, որ այդպիսի շեղումների հավանականությունը փորձերի թվի մեծացման հետ ձգտում է զրոյի^[28]։

Բեռնուլիի գաղափարների զարգացումը

դե Մուավրի տրակտատը
«Ուսմունք դեպքերի մասին»

Յակոբ Բեռնուլիի աշխատությունը կտրուկ մեծացրեց հավանականությունների տեսության նկատմամբ հետռաքրքրությունը։ Մեծացավ նաև հավանականությունների վերաբերյալ հետաքրքիր խնդիրների թիվը։ Աբրահամ դը Մուավրը հրապարակեց մի քանի աշխատանք, որոնց շարքում հատկապես ուշագրավ է «Պատահականությունների կամ հավանական արդյունքների ուսումնասիրությունը մոլեխաղերում» (1711) հոդվածն ու «Ուսմունք դեպքերի մասին» (1718) տրակտատը, որը 18-րդ դարում հրապարակվել է երեք անգամ։ Այդ տրակտատում Մուավրը ոչ միայն վերջնականապես լուծում է վերևում նշված «խաղացողի սնանկացման մասին առաջադրանքը», այլ նաև գնահատում է դրա համար խաղի միջին տևողությունն ու յուրաքանչյուր խաղացողի հաղթանակի հավանականությունը տրված թվով խաղերի դեպքում^[11]^[29]։ Մեկ այլ աշխատությունում, որը կոչվում է «Անալիտիկ խառնուրդ», Մուավրը տալիս է Մուավր-Լապլասի բանաձևի առաջին տարբերակը, որը վերաբերում է վիճակագրական հաճախության հավանականությունից շեղումների բաշխումներին։ Մուվարը դւտարկել է միայն այն դեպքը, երբ հավանականությունը հավասար է 1/2, ընդհանուր դեպքը կամայական հավանականության համար ապացուցել է Լապլասը^[30]։ Մուավրի մեկ այլ ձեռքբերում էր գիտության մեջ նորմալ բաշխման (1733) հասկացության ներմուծումը, որը նրա մոտ հայտնվեց որպես բինոմալ բաշխման ապրոկսիմացիա^[31]։

Դանիել Բեռնուլին՝ հավանականությունների տեսության հիմնադրի զարմիկը, ևս ներդրում ունեցավ այդ տեսության մեջ։ Նա Մուավրից անկախ ուսումնասիրեց նորմալ բաշխումը դիտարկումների սխալների համար, առաջին անգամ հավանականությունների վերաբերյալ խնդիրներում կիրառեց մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, հրապարակեց առաջին հավանականությունների պարադոքսը (1738)^[32]։

Հաջորդ կարևոր քայլը անգլիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Սիմպսոնինն էր։ Նա իր «Բնություն ու դեպքի օրենքներ» (1740) գրքում թվային անալիզի ուսումնասիրման հետ փաստացի կիրառել է հավանականության երրորդ՝ (դասականից ու վիճակագրականից հետո) երկրաչափական սահմանումը, որը կիրառելի է անվերջ թվով արժեքներով անընդհատ պատահական մեծությունների համար։ XXVI առաջադրանքում Սիմպսոնը գտել է կամայական ձևով հարթության վրա նետված զուգահեռանիստի կոնկրետ նիստի վրա ընկնելու հավանականությունը^[33]։

Բյուֆոնի ասեղի մասին առաջադրանքը

Սիմպսոնի մոտեցումը զարգացրեց Ժորժ Լուի դե Բյուֆոնը, ով 1777 թվականին առաջադրեց երկրաչափական հավանականության վառ օրինակ հանդիսացող մի խնդիր^[31]։ Դա շատ մաթեմատիկոսների ուշադրությունը գրաված «ասեղի ամսին առաջադրանքն» էր. հարթությունը սյունակավորված է «գծերով», նրա վրա կամայական ձևով նետում են ասեղը, պահանջվում է գտնել ասեղի գիծը հատելու հավանականությունը^[34]։ Եթե ասեղի $a$ երկարությունն ավելի փոքր է, քան տողերի արանքի $l$ հեռավորությունը, ապա հատման հավանականությունը հավասար է $~{\frac {2a}{\pi l}}$ : Այս բանաձևը մի քանի անգամ ստուգվել է փորձով, այդ թվում հենց Բյուֆոնի կողմից, իսկ 1901 թվականին իտալացի մաթեմատիկոս Մարիո Լացարինին (անգլ.՝ Mario Lazzarini) այն օգտագործել է $\pi$ թվի արժեքի որոշման համար։ Բյուֆոնի առաջադրանքըը, դրա անալիզն ու տարատեսակ մոդիֆիկացիաները երկար ժամանակ ուսումնասիրել են նաև այլ գիտնականներ^[35]։

Լուծվեց հավանականությունների տեսության կարևորագույն խնդիրներից մեկը՝ հավանականության հաշվումը բարդ իրադրությունների համար։ Անգլիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Բայեսը առաջինը ավարտուն տեսքով տվեց մի քանի անհամատեղելի իրադրությունների հավանականության հաշվման թեորեմը և հավանականությունների տեսության համար հիմնարար նշանակություն ունեցող «Բայեսի բանաձևերը» (1763 թվական, հետմահու հրատարակված)։ Ժամանակակից եզրույթաբանությունում Բայեսի բանաձևերը հնարավորություն են տալիս հաշվել պայմանական հավանականությունը ինչպես նաև նոր տվյալների ստացումից հետո ճշտել հավանականությունը։ Հավանականությունների բազմապատկման թեորեմն ավելի վաղ բացահայտել է Մուվրը (1718 թվական) և տվել է դրա լիովին ժամանակակից, չնայած բառացի, սահմանումը. «երկու իրարից կախված իրադրոթւյունների կատարվելու հավանականությունը հավասար է դրանցից մեկի հավանականության ու առաջինի կատարվելու դեպքում երկրորդի հավանականության արտադրյալին»^[36]։

18-րդ դարի կեսերում խաղերի անալիզը դեռ հետաքրքրական էր։ Օրինակ, Լեոնարդ Էյլերը կատարել է լոտոների տարբեր տեսակների մանրամասն հետազոտություններ^[37], բայց մաթեմատիկոսների ուշադրության կենտրոնում ավելի շատ ժողովրդագրական վիճկագրությունն էր, ապահովագրումն ու սխալների գնահատումը (չափումներ, կլորացումներ և այլն)։ Վիճակագրության ու ապահովագրման մասին ևս Էլյերը բավականին աշխատություններ է գրել։ Նա, մասնավորապես, լուծել է հետևյալ խնդիրը. որքան է հավանականությունը, որ $m$ տարեկան մարդը կապրի ևս $n$ տարի^[38]։

19-րդ դար

Ընդհանուր միտումներն ու քննադատությունը

19-րդ դարում հավանականությունների տեսության վերաբերյալ աշխատությունների թիվը շարունակում էր աճել։ Արդեն անգամ փորձեր էին կատարվում տեսությունը տարածել առաջին հայացքից կապ չունեցով բնագավառների՝ օրինակ, բարոյական ոլորտի, հոգեբանությանն, օրենքի կիրառությունների ոլորտի, և անգամ աստվածաբանության վրա^[39]։ Մասնավորապես, ուելսացի փիլիսոփա Ռիչարդ Փրայսը, իսկ նրանից հետո նաև Լապլասը, հնարավոր էին համարում Բայեսի բանաձևերի միջոցով Արեգակի ծագման հերթական ժամի որոշումը^[40]։ Պուասոնը փորձում էր հավանականությունների տեսության մեթոդներով գնահատել դատական գործերի արդարացիությունն ու վկաների տված վկայությունների ճշմարտացիությունը^[41]։ Փիլիսոփա Ջ. Ս. Միլը 1843 թվականին դիտարկելով նշված բնագավառներում հավանականությունների կիրառությունները այսն անվանել է «մաթեմատիկայի խայտառակությունը»^[42]։ Այս և որոշ այլ նմանատիպ գնահատականները վկայում են հավանականությունների տեսության դեռևս ոչ լիարժեք խստության մասին։

Այդ ժամանակ հավանականությունների տեսության մաթեմատիկական ապարատը շարունակվում էր կատարելագործվել։ Այդ ժամանակաշրջանում դրա կիրառման հիմնական ոլորտը պատահական սխալմունքներ պարունակող հետազոտությունների մաթեմատիկական մշակումն էր, ինչպես նաև ապահովագրական գործում ռիսկերի ու այլ վիճակագրական պարամետրերի հաշվարկները։ 19-րդ դարի հավանականությունների տեսության ու մաթեմատիկական վիճակագրության կարևորագույն կիրառական խնդիրներից կարելի է համարել հետևյալը^[43].

Գտնել միևնույն (հայտնի) օրենքով բաշխմամբ երկու անկախ պատահական մեծությունների գումարի տվյալ միջակայքում գտնվելու հավանականությունը։ Այս խնդիրը հատկապես մեծ կարևորություն ունի չափումների սխալների տեսության համար, առաջին հերթին ուսումնասիրության սխալմունքի գնահատման համար։
Պատահական մեծությունների կամ կամ այդպիսի մեծությունների շարքերի տարբերության վիճակագրական արժեքի որոշումը։ Օրինակ. նոր ու հին դեղամիջոցների կիրառման արդյունքների համեմատությունը, նոր դեղամիջոցների օգտագործման նպատակահարմարությունը գնահատելու համար։
Տրված գործոնի ազդեցության ուսումնասիրությունը պատահական մեծության վրա (ֆակտորային անալիզ)։

Արդեն 19-րդ դարի կեսերում ձևավորվեց հրետանային ռմբակոծության հավանականության տեսությունը։ Եվրոպայի խոշոր երկրների մեծամասնությունում ստեղծվեցին ազգային վիճակագրական հաստատություններ։ Դարի վերջում հավանականությունների տեսության մեթոդները սկսեցին լայնորեն կիրառվել նաև ֆիզիկայում, կենսաբանությունում, տնտեսագիտությունում, սոցիոլոգիայում^[44]^[45]։

Գաուս, Լապլաս, Պուասոն

Բետումների n թվի մեծացման հետ զառի միավորների գումարը ձգտում է նորմալ բաշխմանը

Կառլ Գաուս Ֆրիդրիխը, ով հիմնականում զբաղվում էր աստղագիտական հաշվարկներով, մշակում է սխալմունքներ պարունակող հաշվարկների վրա աշխատելու հավանականությունների տեսությանը վերաբերող մեթոդներ (1809)։ Նա խորապես ուսումնասիրում է նորմալ բաշխումը, ցույց է տվել, որ այն բազմաթիվ պրակտիկ դեպքերում պատահական արժեքների սահմանն է։ Չափվող արժեքի ու դրա նետման հնարավոր դիապազոնի գնահատման համար մշակեց նվազագույն քառակուսիների կիրառման մեթոդը։ Տեսության վերջնական տարբերակը Գաուսը շարադրել է իր երկու աշխատություններում՝ «Չափման սխակի ենթակա ուսումնասիրությունների կոմբինացիայի տեսություն» (1823, 1828)^[46]։ Չնայած այն փաստին, որ նորմալ կանոնը հայտնի էր դեռևս Գաուսից շատ առաջ, նրա ներդրումը բաշխման այս տեսակի տեսության մեջ այնքան մեծ էր, որ երկար ժամանակ նորմալ օրենքն անվանվում էր «Գաուսի օրենք»։ Ժամանակակից եզրույթը ներմուծվել է 19-րդ դարի վերջում Կառլ Պիրսոնի աշխատությունների շնորհիվ^[45]։

Հավանականությունների տեսության արմատական ձեռքբերումները հիմնված էին Լապլասի հիմնական մենագրության՝ «Հավանականությունների անալիտիկ տեսության» (1812 թվական) վրա, որը եզրափակեց այդ գիտության զարգացման «դասական փուլը»։ 19-րդ դարում Լապլասի աշխատությունը Ֆրանսիայում մի քանի անգամ վերահրատարակվեց և թարգմանվեց աշխարհի մի քանի լեզուներով^[47]։ Լապլասն ուսումնասիրել է ոչ միայն դիսկրետ, այլ նաև անընդհատ պատահական մեծություններ (դեռ չներմուծելով «պատահական մեծություն» տերմինը), ընդ որում անընդհատների համար տվել է հավանականության բաշխման խտության կարևոր հասկացությունը, որն ավելի վաղ ոչ պարզ ու սահմանափակ հասկացությամբ լայնորեն կիրառել է Դանիել Բեռնուլին։ Բաշխման ֆունկցիայի ինտեգրալ ընկալումն առաջացել է ավելի ուշ (այն 1912 թվականին տվել է Ա. Մ. Լյապունովը)։ «Պատահական մեծության» ընդհանուր տերմինը ևս առաջին անգամ հայտնվել է ռուս հավանականությունների դպրոցի ներկայացուցիչների աշխատություններում^[48]։ Հավանականության խտության ու բնութագրական ֆունցիաների ներմուծումը Լապլասին հնարավորություն տվեց հավանականությունների տեսության տիպական խնդիրների լուծման ժամանակ կիրառել հստակ անալիտիկ մեթոդներ, ներառյալ մասնական ածանցյալներով հավասարումներ^[49].

Լապլասը ստացավ մի քանի անհամատեղելի «պատճառների» (ժամանակակից տերմինալոգիայով՝ «հիպոթեզ») համար լրիվ հավանականության բանաձև, ապացուցեց մի շարք սահմանայաին թեորեմներ, այդ թվում Մուավր-Լապլասի թեորեմն ու փորձարկումների թվի մեծացման հետ նորմալ ու բինոմալ բաշխումների համընկնման թեորեմը։ Գրքի զգալի մասը նվիրված է վիճակագրական հավելվածին ու խնդիրների լուծմանը։ Չափվող մեծության հնարավոր դիապազոնի գնահատման համար Լապլասը, ինչպես և Գաուսը, առաջարկում էր նվազագույն քառակուսիների մեթոդը^[50]։

Լապլասը նաև նկարագրել է պատահականության ու հավանականության էության մասին սեփական պատկերացումները։ Նրա կարծիքով իրական պրոցեսների ընթացքն ամբողջությամբ կանխորոշված («դետերմինացված») է, պատահականությունը ի հայտ է գալիս միայն մարդկային ընկալման մեջ և այն հարցերում, երբ մարդն ամբողջությամբ չի տիրապետում տվյալ գործընթացի մասին ինֆորմացիային^[51]։

Եթե լիներ մի ուղեղ, որին մի ինչ-որ կոնկրետ պահի համար հայտնի կլինեին բոլոր բնությունը կենդանացնող ուժերը, և դրա բաղադրիչ մասերի հարաբերական վիճակները, և եթե բացի այդ այն բավականաչափ խելամիտ լիներ, որպեսզի կարողանար վերլուծության ենթարկել այդ տվյալները, ապա կկարողանար ձևակերպել մի ընդհանուր բանաձև, որի միջոցով հնարավոր կլիներ նկարագրել փոքրագույն ատոմներից մինչև հսկայական մոլորակների շարժումները։ Չէր մնա ոչինչ, որ նրա համար ոչ հստակ լիներ։ Ապագան, ինչպես և անցյալը, միշտ նրա տեսադաշտում կլինեին

1837 թվականին Սիմեոն Դենի Պուասոնը ընդհանրացրեց Բեռնուլիի մեծ թվերի օրենքը, հանելով այն պայմանը, որի համաձայն յուրաքանչյուր խաղում հավանականությունը նույնը պետք է լինի։ Այս նոր պայմանների պարագայում վիճակագրական հաճախությունը կհամընկնի առանձին խաղերի հավանականությունների թվաբանական միջինի հետ^[52]։ Հենց նա է հրապարակել Պուասոնի բանաձևը, որը կիրառվում է Բեռնուլիի սխեմայի նկարագրության համար այն դեպքում, երբ իրադրության հավանականությունը մոտ է զրոյին կամ մեկին։ Պուասոնի բաշխումը («հազվադեպ իրադրությունների օրենք») կիրառական առաջադրանքների շարքում հիմնականներից է, օրինակ, նրան են վերագրվում ռադիոակտիվ քայքայումը, եռյակի առաջացումը, վթարների ու դժբախտ պատահարների վիճակագրությունը^[53]։

Չափման սխալների տեսությունը

Այս ոլորտի հիմանակն խնդիրը հետևյալն է։ Դիցուք ինչ-որ մեծության շարունակական չափումները տվել են $n$ մոտ, բայց ոչ հավասար արժեքներ։ Ենթադրվում է, որ սիստեմատիկ սխալներն ու մեծության՝ չափման ժամանակից (օրինակ, երկնոլորտի պտույտի դեպքում) կախվածությունը ընդունված են, այնպես որ տարբեր տվյալների ստացումը պայմանավորված է զուտ պատահական սխալներով։ Անհրաժեշտ է չափումների հիման վրա գտնել հետազոտվող մեծության արժեքի գնահատման լավագույն տարբերակը^[54]։

Այս կիրառական մեծ նշանակություն ունեցող (հատկապես աստղագիտությունում) թեմայի առաջին մաթեմատիկական ձևակերպումները տվեց Թոմաս Սիմպսոնը (1755)։ Նա սկսեց սխալ հիպոթեզից, որի համաձայն չափման սխալները բաշխվում են «եռանկյան կանոնով», բայց ճիշտ եզրահանգում կատարեց. արդյունքների միջին թվաբանականն ավելի մոտ է ճշմարիտ արժեքին, քան յուրաքանչյուր առանձին արժեք։ Դանիել Բեռնուլին (1778) կարծում էր, սխալների բաշխման հարթությունը շրջանագծի լար է։ Նա կողմ էր Սիմպսոնի երահանգմանը^[55]։ Սիմպսոնի գաղափարները զարգացրեց Յ. Հ. Լամբերտը։

19-րդ դարում Լապլասը ցույց տվեց, որ չափման ուսումնասիրվող սխալները հիմնականում իրենցից ներկայացնում են բազմաթիվ պատահական սխալների գումար, հետևաբար դրանց բաշխումը պետք է մոտ լինի նորմալին։ Միջին թվաբանականի փոխարեն նա առաջարկում էր վիճակագրական միջնարժեքը։ Սակայն գրեթե միաժամանակ հրապարակվեց Գաուսի Նվազագույն քառակուսիների մեթոդը (1809), որն ավելի պրակտիկ էր և միանգամից համընդհանուր ընդունման արժանացավ։ 1853 Թվականին Կոշին նկատեց բաշխման օրինակ, որի համար միջին թվաբանականը վատ գնահըատական էր։ 19-րդ դարի վերջում չափման սխալի տեսության վիճակագրական տեսությունը հիմնականում ավարտվեց^[55]։

Բերտրանի պարադոքսները

1889 թվականին ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժոզեֆ Բերտրանը իր «Հավանականությունների վերլուծություն» մեջ առաջարկեց երկրաչափական հավանականությանը վերաբերող պարադոքսների շարք։ Յուրաքանչյուր պարադոքսում «ի օգուտ» կամ «կամայական վերցված» հասկացությունները տարբեր կերպ են մեկնաբանվում, ինչը տանում է տարբեր լուծումների։ Բերտրանի պարադոքսներից մեկի օրինակ. գտնել այն բանի հավանականությունը, որ շրջանագծի կամայական ընտրված լարն ավելի երկար կլինի այդ շրջանագծին ներջծած եռանկյան կողմից։ Կամայական լարի տարբեր ընտրությունների դեպքում ստացվում են տարբեր պատասխաններ։

Մեթոդ 1
Մեթոդ 2
Մեթոդ 3

Բերտրանի պարադոքսների քննարկումները նպաստեցին հավանականությունների տեսության ու «հավասարահավանական» տերմինի ճշգրտմանը^[56]։

Վիճակագրական ֆիզիկա

Լյուդվիգ Բոլցման

Մինչև 19-րդ դարի կեսեր հավանականությունների տեսության կիրառությունը հիմնականում սահմանափակվում էր վիճակագրությամբ ու մոտավոր հաշվարկներով։ Այդ իսկ պատճառով «պատահական մեծություն» տերմինն ի հայտ եկավ ավելի ուշ^[57]։ Առաջին պատահական ֆիզիկական երևույթներից էր 1827 թվականին Ռոբերտ Բրոունի ջրում լողացող ծաղկափոշու քաոսային շարժման ուսումնասիրությունը մանրադիտակով («բրոունյան շարժում»)։ Դրա մաթեմատիկական մոդելն ի հայտ եկավ միայն 20-րդ դարի սկզբում (Ա. Այնշտայն, Մ. Սմոլուխովսկի, Ն. Վիներ)^[58].

Հավանականությունների առաջին ֆիզիկական մոդելներն ի հայտ եկան վիճակագրական ֆիզիկայում։ Դրանք 19-րդ դարի երկրորդ կեսում զարգացրեցին Լ. Բոլցմանը, Ջ. Մաքսվելը և Ջ. Գիբսը։ Բոլցմանն իր աշխատությունների շարքում (1860-ական թթ.) ցույց տվեց, որ ջերմադինամիկական օրենքներն ունեն հավանականավիճակագրական բնույթ և կապված են ֆիզիկակական համակարգերի առավել պակաս հավանական վիճակից դեպի առավել հավանական վիճակի անցումներով, ընդ որում հավանականության չափման միավորը էնթրոպիան է։ Նույն թվականներին Մաքսվելը տվեց գազի մոլեկուլների արագությունների բաշխման օրենքը, որը հնարավորություն է տալիս հաշվել էներգիան, ազատ վազքի երկարությունը և մոլեկուլների այլ բնութագրիչներ։ 1902 թվականին Գիբսը հրապարակեց «Վիճակագրական մեխանիկայի հիմնական սկզբունքներ» մենագրությունը, որը մեծ ազդեցություն թողեց ֆիզիկային հետագա զարգացման վրա^[59]։ 19-րդ դարի վերջում հավանականությունների տեսության մեթոդների կիրառությունը համընդհանուր ճանաչում ստացավ։

Ռուսական դպրոց

Ռուսաստանում 19-րդ դարի երկրորդ կեսում սկսեցին հավանականությունների տեսության վերաբերյալ սեփական լուրջ ուսումնասիրություններ։ Առաջին ուսումնական կուրսը կարդացել է Ս. Ռեվկովսկին Վիլնյուսի համալսարանում (1829 թ.)։ Նույն տեղում 1830 թվականին ստեղծվել է հավանականությունների տեսության Ռուսական կայսրության առաջին ամբիոնը։ Սանկտ Պետերբուրգի պետական համալսարանում 1837 թվականից դասախոսություներ սկսեցին կարդալ սկզբում Բ. Ա. Անդուկովիչը, իսկ 1850 թվականից՝ Վ. Յ. Բունյակովսկին։ Բունյակովսկին 1846 թվականին հրապարակում է «Մաթեմատիկական հավանականությունների տեսության հիմքերը» հիմնարար դասագիրքը, որի շնորհիվ նրա ստեղծած ռուսական եզրույթաբանությունը համընդհանուր ճանաչում է ստանում։ Մոսկվայի պետական համալսարանում հավանականությունների տեսության առաջին դասընթացը սկսվեց 1850 թվականին։ Դասախոսությունները կարդում էր Ա. Յ. Դավիդովը՝ Մոսկովյան մաթեմատիկական հասարակության ապագա նախագահը^[60]։

Հավանականությունների տեսության վերաբերյալ հոդվածներ հրապարակեցին բազմաթիվ ռուս մաթեմատիկոսներ, այդ թվում՝ Մ. Վ. Օստրոգրադսկին, Ն. Դ. Բրաշմանը, Ն. Ի. Զերնովը։ Այդ հոդվածների մեծամասնության վրա զգացվում էր Լապլասի աշխատությունների ու հայացքների ազդեցությունը^[61]։

Պ. Լ. Չեբիշով

Առաջին համաշխարհային մակարդակի ռուս մաթեմատիկոսներ Պ. Լ. Չեբիշովը և նրա աշակերտներ Ա. Ա. Մարկովն ու Ա. Մ. Լյապունովը։ Չեբիշովը իր գիտական կարիերայի հենց սկզբից հատուկ ուշադրություն էր դարձնում հավանականությունների տեսությանը (թվերի տեսության հետ մեկտեղ)։ 1860 թվականին հավանականությունների տեսության ամբիոնում նա փոխարինում է Բունյակովսկուն և սկսում իր լեկցիաների շարքը։ Այս բնագավառում նա հրապարակում է ընդամենը չորս աշխատություն, բայց բոլորը հիմնարար դեր են ունենում։ Հատկապես հետաքրքիրն է նրա «Միջին մեծությունների մասին» հոդվածը (1866 թ.), որտեղ տրված է «Չեբիշովի անհավասարությունը», որն ավելի ուշ վերամշակել է Մարկովը՝

\mathbb {P} \left(|x-Mx|\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}

.

Չեբիշովի անհավասարությունը, որը սահմանափակում է պատահական մեծության՝ իր մաթեմատիկական սպասումից մեծ շեղումների հավանականությունը

Այդ բանաձևը ցույց է տալիս, որ ցանկացած պատահական $x$ մեծության իր $Mx$ միջին արժեքից (մաթեմատիկական սպասումից) ավելի քան $k$ ստանդարտ շեղումներից( $\sigma$ ) ավելի շեղումների հավանականությունը չի գերազանցում $~{\frac {1}{k^{2}}}$ : Օրինակ, $5$ $\sigma$ շեղման հավանականությունը $1/25$ է, այսինքն, $4\%$ :

Որպես իր անհավասարության հետևանք Չեբիշովը ստացավ մեծ թվերի օրենքի ընդհանրացված ձևակերպումը. եթե $n$ պատահական մեծությունների շարքի մաթեմատիկական սպասումներն ու այդ սպասումների քառակուսիները սահմանափակված են մեկ ամբողջության մեջ, ապա այդ մեծությունների միջին թվաբանականը համընկնում է իրենց մաթեմատիկական սպասումների միջին թվաբանականի հետ։ Այս թեորեմից որպես հետևանքներ ստացվում են Բեռնուլլիի և Պուասոնի թեորեմները։ Չեբիշովն առաջինն էր, ով խիստ գնահատեց այդ և այլ մոտավորությունների ճշգրտությունները^[62]։

1887 թվականին հրապարակվեց Չեբիշովի «Հավանականությունների տեսության երկու թեորեմների մասին» հոդվածը։ Այդ աշխատությունում նա ցույց է տալիս, որ որոշ (բավականին ընդհանրացված) պայմաններում տեղի ունի սահմանային թեորեմը. անկախ պատահական մեծությունների մեծ թվի արժեքը (օրինակ, չափման սխալները) մոտ է նորմալ օրենքի համաձայն ստացվող արժեքին, ընդ որում ինչքան շատ են մեծությունները, այնքան ճշգրիտ է հաշվարկը։ Իր ընդհանրացվածության առումով այս պնդումն առավել ամբողջական է քան Մուավրի, Լապլասի և այդ ժամանակաշրջանում ընդունված այլ թեորեմները^[63]։ Ավելի ուշ Ա. Ա. Մարկովն ու Ա. Մ. Լյապունովը մշակեցին ու ավելի ընդհանրացրին Չեբիշովի թեորեմը։

Չեբիշովի նշված երկու թեորեմներն էլ կարևոր նշանակություն ունեն հավանականությունների տեսության համար։ Հատկապես կարևոր է այն հանգամանքը, որ Չեբիշովը ոչ միայն նշել է սահմանային բաշխումը, այլ երկու դեպքում էլ վերլուծության է ենթարկել տվյալ սահմանից շեղումների չափերը^[64]։

Եթե Չեբիշովն ուսումնասիրում էր անկախ պատահական մեծությունները, ապա Ա. Ա. Մարկովը 1907 թվականին ընդլլայնվեց հետազոտությունների շրջանակը դիտարկելով նաև այն դեպքը, երբ նոր պատահական արժեքը կախված է նախկինից։ Մարկովն ապացուցեց մեծ թվերի օրենքը մի քանի տարածված կախյալ մեծությունների համար համաշխարհային գիտության տերմինալոգիայի մեջ մտցնելով «Մարկովի շղթաներ» եզրույթը։ Նա մի քանի աշխատություն է նվիրել այդ շղթաների վերլուծությանն ու դասակարգմանը։ Մարկովի շղթաներն ու պատահական պրոցեսները կիրառվել են ոչմիայն մաթեմատիկայում, այլ նաև այնպիսի գիտություններում, ինչպիսիք են վիճակագրական ֆիզիկան, քվանտային մեխանիկան և այլն^[65]։ Մարկովին է պատկանում նաև նվազագույն քառակուսիների մեթոդի հավանականությունների տեսությամբ հիմնավորումը^[66]։

Ա. Մ. Լյապունովին է պատկանում հավանականությունների տեսության սահմանային թեորեմների ուսումնասիրության մեջ բնութագրական ֆունկցիաների ներմուծումը^[66]։

20-րդ դար

Տեսական հարցեր ու մաթեմատիկական մեթոդներ

XX դարում Չեբիշովի ու Մարկովի ուսումնասիրությունները շարունակեցին Ա. Յ. Խինչինը, Ա. Ն. Կոլմոգորովը և ուրիշներ։ Մասնավորապես Յառլ Վ. Լինդբերգը (1922) և Կոլմոգորովը (1926) գտան պայմանները, որոնք անհրաժեշտ և բավարար էին մեծ թվերի օրենքի համար^[67]։

Քաոսային շարժումը երեք մարմինների առաջադրանքում (համակարգչային մոդելավորում)

Հավանականությունների տեսության մաթեմատիկական ապարատը բավականին զարգացավ մի քանի ուղղություններով։ Չափերի տեսության մշակումից հետո պարզ դարձավ, որ այդ հասկացությունը կարելի է օգտագործել նաև հավանականությունների տեսությունում, այսինքն հավանականությունը կարելի է դիտարկել որպես «բարենպաստ իրադրությունների» բազմության (վերջավոր կամ անվերջ) չափ։ Նման մոտեցումըհնարավորություն էր տալիս նկարագրել ու հետազոտել հավանականության հատկությունները լավ մշակված բազմությունների տեսության լեզվով^[68]։

Դինամիկ համակարգերի տեսությունում պարզ դարձավ, որ որոշ համակարգերի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումները իրենց դրսևորում են ինչպես պատահական պրոցեսներ։ Այդ մեծ հայտնագործությունը տարավ «դինամիկ քաոս» հասկացության և ընդհանուր «քաոսի տեսության» առաջացմանը։ Ամենահայտնի օրինակներից է երկնային մեխաիկայի «երեք մարմինների առաջադրանքը»^[69]։

Մինչև 20-րդ դար հիմնականում օգտագործվում էր նորմալ, բինոմալ և (երբեմն) պուասոնյան բաշխում, սակայն կիրառության մեջ հարմար էին նաև այլ տեսական օրենքներ։ Օրինակ, լոգոնորմալ բաշխումը հաճախ հանդիպում է իրադրություններում երբ ուսումնասիրվող մեծությունը իրենից ներկայացնում է մի քանի անկախ դրական պատահական մեծությունների արտադրյալ^[70]։

Հավանականությունների տեսության մեթոդները օգտակար եղան նաև տեսական և կիրառական մաթեմատիկաների այլ ոլորտներում, անգամ այնպիսի դասական բնագավառներում, ինչպիսիք են թվերի տեսությունն^[71] ու տրամաբանությունը^[72]։ Ժամանակակից հավանականությունների տեսությունն էլ իր հերթին օգտագործում է ֆունկցիոնալ անալիզում, տոպոլոգիայում և մաթեմատիկայի 20-րդ դարում առաջացած այլ բնագավառներում մշակված մեթոդներն ու մոտեցումները^[73]։

Մաթեմատիկական վիճակագրության ստեղծումը

Կարլ Պիրսոն

Մաթեմատիկական մեթոդը` որպես պատահական մեծությունների վերաբերյալ խնդիրները հուսալիորեն լուծելու հիմնական եղանակ, ի հայտ է եկել XIX-XX դարերի ընթացքում՝ Կարլ Պիրսոնի հիմնարար աշխատանքների շնորհիվ։ Պիրսոնը մշակել է կոռելյացիայի տեսությունը, համաձայնության չափանիշերը, ռեգրեսիոն անալիզը, հիպոթեզերի ստուգման ալգորիթմը, որոշումների կայացումն ու պարամետրերի գնահատումը^[74]։ Պիրսոնի առաջարկած ալգորիթմները լայնորեն կիրառվում են ֆիզիկայում, բժշկությունում, կենսաբանությունում, սոցիոլոգիայում, գյուղատնտեսությունում և այլն^[75]։

20-րդ դարի առաջին կեսում Պիրսոնի կիրառական մաթեմատիկայի վիճակագրությանը վերաբերող աշխատանքների արժանի շարունակողը դարձավ Ռոնալդ Էյլմեր Ֆիշերը։ Նա հրապարակեց էքսպերիմենտի կազմակերպման մասին աշխատություն, մշակեց առավելագույն ճշմարտանմանության մեթոդը, վիճակագրական արժեքավորության թեստը, դիսպերսիոն անալիզը և այլ շատ կարևոր վիճակագրական խնդիրների լուծման սեփական տարբերակներ։ Ջերզի Նեյմանի հետ համատեղ մշակել է վստահության միջակայքի կոնցեպցիան (1937)։ Հենց Ֆիշերն է համընդհանուր ընդունում ստացած «պատահական մեծության դիսպերսիա» հասկացության հեղինակը (անգլ.՝ variance)^[76]։

Սկսած մոտավորապես 1920-ական թվականներից սկսեց արագորեն զարգանալ արդյունաբերական արտադրանքի որակի վիճակագրական վերահսկման տեսությունը։ Այս թեմայի առաջին խնդիրներն ուսումնասիրել էր դեռևս Թոմաս Սիմպսոնը 1846 թվականին։ Զանգվածային արտադրանք ստեղծելիս պետք ա նախապես որոշել, թե ինչ սկզբունքով է պետք ստուգել ապրանքի որակը․ նույն թողարկումից ապրանքներ վերցնել, թե արտադրման տարբեր թողարկումներից^[77]։

Մեր օրերում վիճակագրական ուսումանսիրությունների բազմազանությունը, որը շատ հաճախ հանգեցնում է տրամագծորեն տարբեր արդյունքների (օրինակ, բջջային հեռախոսների կամ գենետիկորեն մոդիֆիկացված օրգանիզմների հարուցած վնասի առկայության կամ բացակայության մասին), առաջացրել է ճշգրիտ վիճակագրական հետազոտությունների ապահովման լուրջ խնդիր։ Ամենահաճախ հանդիպող սխալը՝ հայտարարելը, իբր ուսումնասիրվող գործոնների վիճակագրական կախվածությունը (կորելյացիա) վկայում է դրանց միջև պատճառային կապի մասին, մինչդեռ իրականում այդ գործոնների միջև կապը հաճախ երրորդական գործոնների կախվածությունն է^[78]։ «Վիճակագրական կախվածությունը, ինչքան էլ ուժեղ լինի, չի կարող պատճառային կապ առաջացնել․ պատճառի մասին մեր գաղափարները ետք է դուրս լինեն վիճակագրությունից, կարող են անգամ լրիվ այլ տեսությունից լինել»^[79]։

Պատահական պրոցեսներ

Պատահական պրոցեսի արձանագրություն (սպիտակ աղմուկ)

Պատահական (կամ ստոհաստիկ) պրոցեսի հասկացությունը, որն առաջացել է 20-րդ դարի սկզբներում, դարձել է հավանականությունների տեսության կիրառությունների ամենակենտրոնական, արագ զարգացող ու տարատեսակ հարցերում օգտակար ձևերից մեկը։ Պատահական պրոցեսը ժամանակի ընթացքում փոփոխվող պատահական մեծություն է։ Պատահական պրոցեսների առաջին ուսումնասիրությունները հիմնականում վերաբերում էին էլեկտրոնիային ու հեռահաղորդակցության ոլորտին, բայց մեր օրերում դա կիրառվում է նաև տնտեսության, բժշկության, մեխանիզմենրի ու մեքենաների տեսության, պոպուլյացիաների կենսաբանության բնագավառներում։ Լայնորեն կիրառվում է նաև զանգվածային սպասարկման տեսությունը։ Պատահական մեծությունների վերլուծության տիպիկ առաջադրանքներից են^[80]․

պրոցեսի զարգացման կանխատեսումը՝ ելնելով դրա նախկին պատմությունից,
աղմուկի մեջ ազդանշանի հուսալի հայտնաբերումը,
պարամետրերի գնահատում և օպտիմալացում (օրինակ, անխափան աշխատանքի հավանական տևողության որոշումը),
մուտքային պատահական պրոցեսի ֆիլտրացիան ցանկալի ելքային պրոցեսը ստանալու համար։

Կատարվել է պատահական պրոցեսների տեսակների դասակարգում, մշակվել են դրանց հետազոտման վերլուծական մեթոդներ (կորելյացիոն և կովարիացիոն ֆունկցիաներ, սպեկտրալ տարալուծում)^[81]^[82]։ Պրոցեսների վերլուծության համար մշակվել են այնպիսի նոր միջոցներ, ինչպիսիք են ստոհաստիկ դիֆերենցիալ հավասարումները, ստոհաստիկ ինտեգրալը, սպեկտրալ վերլուծության ու ֆիլտրացիայի միջոցներ^[83]։

Նոր ծրագրեր

Հավանականությունների տեսության կիրառության նոր մեթոդները առաջացել են 20-րդ դարում միաժամանակ բոլոր գիտություններում։ Կարճ ներկայացնենք որոշ կարևոր էտապներ այդ ընթացքից առանձին գիտություններում։

Ֆիզիկա

1920-ականներին ստեղծված քվանտային մեխանիկայի կենտրոնական հասկացությունը կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիան է, որի մոդուլի քառակուսին՝ համաձայն տարածված կոպենհագենյան ինտերպրետացիայի, սահմանում է տարածության տվյալ կետում միկրոմասնիկի հայտնաբերման հավանականության չափը։ Եթե ընդունենք այդ ինտերպրետացիան, ապա միկրոաշխարհի մաթեմատիկական մոդելում պատահականությունն անբացառելի է, իսկ լապլասյան դետերմինիզմն ամբողջությամբ հերքված^[84]։ Միկրոաշխարհի համար մշակվեցին Բոզե-Այնշտայնի և Ֆերմի-Դիրակի հատուկ քվանտային վիճակագրությունները։

Կենսաբանություն

Մենդելի ու Մորգանի հայտնագործություններից հետո պարզ դարձավ, որ ժառանգական նշանները սերունդներին փոխանցվում են հոր երկու ալելային գեներից մեկի և մոր երկու անալոգային գեներից մեկի պատահական կոմբինացիայի արդյունքում։ Հայրական ալելային գեների պատահական ընտրությունը որոշում է նաև սեռը։ Այս պրոցեսին ավելանում է նաև մուտացիայի գործոնը, ինչի պատճառով հավանականության տեսության մեթոդները դառնում են գենետիկական հաշվարկների հիմքը։ Դրանք օգտագործվում են նաև կենսաբանական պոպուլյացիաների զարգացման վերահսկման ու ուսումնասիրման գործում^[85]։ Հավանականությունների տեսության մոտեցումները (օրինակ, Բեյեսի մեթոդները, որոնք հիմնված են առավելագույն ճշմարտանմանության սկզբունի վրա) լայնորեն կիրառվում են նաև հաշվարկային ֆիլոգենետիկայում, որն ուսումնասիրում է հատուկ հաշվողական ալգորիթմների ու համակարգչային ծրագրերի կիրառությունը ֆիլոգենետիկ ծառերի ստացման համար^[86]^[87]։

Կիբերնետիկա և ինֆորմացիայի տեսություն

Ինֆորմացիայի տեսությունը հիմնված է 1948 թվականին Կլոդ Շենոնի ներմուծած ինֆորմացիոն էնթրոպիայի հասկացության վրա^[88]։ Եթե $x$ պատահական մեծությունը կարող է ընդունել $x_{1},x_{2},\dots x_{n}$ արժեքները, որոնց հավանականությունները համապատասխանաբար հավասար են $p_{1},p_{2},\dots p_{n}$ , ապա էնթրոպիան որոշվում է հետևյալ բանաձևով․ то энтропия определяется формулой:

H(x)=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log _{2}p_{i}

Նման ձևով որոշված էնթրոպիայի արժեքը թվապես հավասար է պատահականության չափին․ այն հավասար է զրոյի, եթե պատահականություն չկա, այսինքն, մեկ անորոշ արժեք ընդունելու հավանականությունը 1 է։ Պատահականության մեծացումը կապված է էնթրոպիայի մեծացման հետ^[89]։

Ավտոմատ ղեկավարման տեսությունը ևս սկզբնական շրջանում օգտագործում էի հավանականությունների տեսության մեթոդներ։ Համակարգիչների հայտնագործումից հետո այդ մեթոդների կիրառության շրջանակը արագորեն ընդարձակվեց։ Պսևդոպատահական թվերի գեներատորի կիրառությամբ կարելի ա համակարգչի վրա մոդելավորել կամայական բաշխման պատահական մեծություններ ու պրոցեսներ, ինչն էլ, իր հերթին, հնարավորություն է տալիս ուսումնասիրել ամենատարբեր իրական պրոցեսներ դրանց համակարգչային մոդելավորումները ստանալու շնորհիվТ (Մոնտե-Կարլոյի մեթոդ)^[90]։

Լեզվաբանություն

20-րդ դարի երկրորդ կեսին լեզվաբանական հաշվարկներ կատարելու համար սկսեցին կիրառել հավանականությունների տեսության ու մաթեմատիկական վիճակագրության մեթոդներ։ Նմանատիպ մեթոդների վրա հիմնված մեծաթիվ հետազոտություններից են․ լեզվի նորմայի հավանական-ինֆորմացիոն գնահատականը ստացումը, բառաձևի սահմաններում շարահյուսական ինֆորմացիայի բաշխման վերլուծությունը, տեքստում կոնտեքստի ճիշտ պայմանավորվածության ապահովումը^[91]։

Հիմնավորումներն ու աքսիոմացումը

Հավանականությունների տեսության ստեղծման պահին պաթեմատիկայի հիմքում երկու տեսակի օբյեկտներ էին՝ թվեր ու երկրաչափական պատկերներ։ Հավանականությունների տեսության համար անհրաժեշտություն առաջացավ նոր տեսակի օբյեկտ ներմուծել՝ պատահական իրադարձություն, ինչպես նաև դրա հետ կապված այլ հասկացություններ (հավանականություն, պատահական մեծություն և այլն)։ Նոր գիտության ինքնատիպությունը կայանում էր նրանում, որ նրա պնդումները ոչ թե բացարձակ ճշմարիտ էին, ինչպես նախկին մաթեմատիկայում, այլ ունեին կանխատեսելի-հավանական բնույթ։

Հավանականությունների տեսության զարգացման հետ չպակասեցին վեճերն ու հակամարտություններն այն մասին, թե ինչքանով է ճիշտ իդեալականացված իրադարձությունը մաթեմատիկական համարելը (և այդ դեպքում հավանականությունների տեսությունը մաթեմատիկայի բաժին անվանելը) և թե արդյոք դա փորձի մեջ դիտարկվող դեպք չէ (իսկ այդ դեպքում հավանականությունների տեսությունը պետք է համարել բնական գիտություն)։ Տարբեր գիտնականներ ամբողջ աշխարհից ամենատարբեր կարծիքներ են հայտնել այս մասին։ Պաֆնուտի Չեբիշևը հավանականությունների տեսությունը վստահորեն մաթեմատիկայի մաս էր համարում, որի խնդիրն էր որոշ իրադարձությունների հայտնի հավանականություններն իմանալով գտնել անհայտ իրադարձության հավանականությունը։ Դեյվիդ Հիլբերտի կարծիքով հավանականությունների տեսությունը ավելի մոտ է մեխանիկային, այսինքն իրենից ներկայացնում է մաթեմատիկացված «ֆիզիկական դիսցիպլինա»^[92]։ Օգաստես դե Մորգանն ու նրա հետևորդ Ու․ Ս․ Ջևոնսը որպես հիմնական հասկացություն ընդունում են «սուբյեկտիվ հավանականությունը», այսինքն հետազոտվող օբյեկտի մեր անձնական ընկալման թվային չափը։ Նրանք հավանականությունների տեսոըթյունը կապում էին տրամաբանության հետ^[93]։ Սուբյեկտիվ, ոչ միանշանակ հավանականության խնդիրը խորապես ուսումնասիրվել է։ Դրա հիմնական բաղադրամասերը ներկայացվում են առանձին հավանականույթունների պարադոքսների միջոցով (օրինակ, «երեք բանտարկյալների պարադոքսը» կամ «տղայի ու աղջկա պարադոքսը»)։

Դեռևես Բեռնուլին տվել էր հավանականությունների երկու սահմանում․ «բարենպաստ իրադարձության» բաժիններ և վիճակագրական հաճախություններ։ Որպեսզի երկրորդ սահմանումը կապվեր առաջինի հետ կիրառվեց մեծ թվերի օրենքը։ Ավստրիացի մաթեմատիկոս և մեխանիկ Ռիխարդ ֆոն Միզեսը հակառակ մոտեցումն առաջարկեց (1914 թվական)․ համարել, որ հավանականության սահմանումը հենց հաճախության սահմանն է։ Միզեսը հավանականությունների տեսությունը մաթեմատիկայի մաս չէր համարում, նա գտնում էր որ դա փորձնական գիտություն է^[92]։ Միզեսի սահմանումն ու նրա առաջարկած աքսիոմատիկան խիստ քննադատության են ենթարկվել հիմնականում անբովանդակալից լինելու համար, քանի որ չկա անհրաժեշտ նյութ, որը կկարողանա բացատրել ունի արդյոք տրված իրադարձության հաճախությունը որևէ սահման^[94]։ Միզեսի կոնցեպցիայի քննարկումները շարունակվում են մինչև մեր օրեր^[95]։ Հիմնավորման այլ փորձեր ևս եղան․ Ջոն Մեյնարդ Քեյնսը (1921) և Հարոլդ Ջեֆրիսը (1939) առաջարկում էին պնդման հավանականությունը ընկալել, որպես այդ պնդման «ճշմարտանմանության աստիճան»։ Այս առաջարկը ևս բազմիցս քննարկվել է հավանականությունների տեսությանը վերաբերող հարցերի քննարկումների ժամանակ^[96]։

Անդրեյ Կոլմոգորով

20-րդ դարի սկզբում Դ․ Հիլբերտի դպրոցը աքսիոմատիկ հիմքեր դրեց մաթեմատիկայի այնպիսի դասական բաժիների, ինչպիսիք են երկրաչափությունն ու անալիզը։ Աքսիոմատիկա դրվեց նաև մաթեմատիկայի այլ բաժիններում․ բազմությունների տեսություն, մաթեմատիկական տրամաբանություն և ուրիշներ։ Հասունացավ հավանականությունների տեսությունը ևս աքսիոմատիկ մեթոդով ամրապնդելու անհրաժեշտությունը, քանի որ Բեռնուլիի ու Լապլասի հին, կիսաինտուիտիվ և ոչ պաշտոնական հիմավորումներըվաղուց արդեն բավարար չէին։ Անհրաժեշտ աքսիոմատիկայի առաջին տարբերակն առաջարկեց սովետական գիտնական Ս. Ն. Բերնշտեյնը իր «Հավանականությունների տեսություն» աշխատության կուրսում (1927 թվական)։ Գիտության մեջ ավելի ամբողջական ընդունում ստացավ Ա․ Ն․ Կոլմոգորովի առաջարկած տարբերակը, որը հրապարակվել էր 1929—1933 թվականներին ր հիմնված էր չափերի տեսության վրա^[97]։ 20-րդ դարի երկրորդ կեսին Ալֆրեդ Ռեյնին ու Ա․ Ն․ Կոլմոգորովը ուսումնասիրեցին հավանականույունների տեսության՝ ինֆորմացիայի տեսությամբ հիմնավորման հնարավորությունը^[98]։ Մեր օրերում «ձևավորվել է հստակ ընկալում, որ հավանականությունների տեսությունը մաթեմատիկական գիտություն է, որը բավականին ամուր կապեր ունի բնական գիտությունների մի մեծ շղթայի ու տեխնիկական, սոցիալական, հասարակական բնագավառների հետ»^[99]։

Չնայած հավանականությունների տեսության մեթոդների փորձով ապացուցված էֆեկտիվությանը, բնության մեջ պատահականության դերը, վիճակագրական դիմացկունության պատճառն ու սահմանները դեռ քննարկման առարկա են^[100]։ «Լապլասի ու Գաուսի ժամանակներից հետո անցած 200 տարիների ընթացքում գիտությունը ֆունդամենտալ հարցի լուծման ուղղությամբ առաջխաղացում չի ունեցել. վիճակագրական դիմացկունության առաջացման ժամանակը դեռ անհայտ է^[101]։

Հավանականությունների տեսությունը Հայաստանում

Ինչպես մաթեմատիկայի այլ ուղղություններ հավանականությունների տեսությունը ևս լայնորեն ուսումնասիրվել է Հայաստանում։ Դա հիմնականում տեղի է ունեցել հետպատերազմյան տարիներին։ Ստացվել են մի շարք արդյունքներ պատահական շարժընթացների տեսության (Գոհար Համբարձումյան), իսկ ավելի ուշ՝ x² հայտանիշի վերաբերյալ (Ս. Թումանյան)։ Ռուբեն Համբարձումյանի աշխատանքներով ստեղծվել է նոր ուղղություն՝ կոմբինատորային ինտեգրալ երկրաչափությունը, որը կարևոր կիրառություններ է ստացել ստոխաստիկ երկրաչափության խնդիրների հետազոտություններում, մասնավորապես լուծվել են երկրաչափական պատահական շարժընթացների տարածաբանությանը (ստերեոլոգիա, շերտագրություն) վերաբերող խնդիրներ։ Ստացված արդյունքները շարադրված են Ռ. Համբարձումյանի

«Com binatorial Integral Geometry With Applications to Mathematical Stereology»
J.Wiley, 1982; «Factorization Calculus and Geometric Probability», Cambridge University Press, 1990 թ.
«Введение в стохастическую гео метрию», М., Наука, 1989 թ.
«Geomet rische Wahrscheinlichkeiten und Stochas tische Geometrie, Teil I, AkademieVerlag, Berlin», 1993 թ.
«Einfuhrung in Stochastik Geometrie, AkademieVerlag, Berlin», 1995 թ., մենագրություններում։

Լուծվել են նաև զանգվածային սպասարկման տեսության խնդիրներ (էդուարդ Դանիելյան), որոշ արդյունքներ են Լուծվել են նաև զանգվածային սպասարկման տեսության խնդիրներ (էդուարդ Դանիելյան), որոշ արդյունքներ են ստացվել ստոխաստիկ դիֆերենցիալ հավասարումների, վիճակագրական ֆիզիկայի, ինֆորմացիաների տեսության, պատահական շարժընթացների տեսության ասպարեզներում։

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

↑ Гнеденко Б. В. О работах М. В. Остроградского по теории вероятностей. — Историко-математические исследования. — М.: ГИТТЛ, 1951. — С. 120.
↑ Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. — М.-Л.: ОГИЗ, 1946. — С. 201.
↑ Майстров Л. Е.,1967,с=303․
↑ Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1969. — С. 17. — 577 с.
↑ Колмогоров А. Н. Роль русской науки в развитии теории вероятностей // Учёные записки МГУ. - Μ., 1947. - В. 91, кн.1. - Т. I. - С. 53-64.
↑ Шейнин О. Б., 1978, էջ 284-285.
↑ Шейнин О. Б., 1978, էջ 285-288.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 366.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 22.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 368.
↑ ^11,0 ^11,1 ^11,2 ^11,3 ^11,4 Реньи А. Об истории теории вероятностей // Реньи А. Трилогия о математике. — М.: Мир, 1980. — 376 с. - С. 184-186.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 23-31.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 370-371.
↑ Майстров Л. Е. Элементы теории вероятностей у Галилея. — Вопросы истории естествознания и техники. — Μ.: Наука, 1964. — С. 94-98.
↑ ^15,0 ^15,1 ^15,2 Стройк Д. Я., 1984, էջ 143.
↑ Ван дер Варден Б. Л. Переписка между Паскалем и Ферма по вопросам теории вероятностей. — Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1976. — С. 228-232.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 375-376, 379.
↑ ^18,0 ^18,1 ^18,2 История математики, том II, 1970, էջ 89-91.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 379-380.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 399-400.
↑ Витерби Э. Д. Принципы когерентной связи. — М.: Советское радио, 1970. — С. 102. — 392 с.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 58-60.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 64-65.
↑ Alter G. Plague and the Amsterdam Annuitant: A New Look at Life Annuities as a Source for Historical Demography // Population Studies, 37, 1983. - P. 23-41.
↑ ^25,0 ^25,1 Гнеденко Б. В., 2005, էջ 387-389, 73.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 67-79.
↑ Бернулли Я., 1957
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 81-89.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 402.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 95-96.
↑ ^31,0 ^31,1 Стройк Д. Я., 1984, էջ 175.
↑ Никифоровский В. А., 1992, էջ 48.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, с. 390-391.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 390-391.
↑ Badger L. Lazzarini’s Lucky Approximation of $\pi$ // Mathematics Magazine, 67 (2), 1994. - P. 83-91. - doi:10.2307/2690682.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 394-397.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 119-125.
↑ Гнеденко Б. В. О работах Леонарда Эйлера по теории вероятностей, теории обработки наблюдений, демографии и страхованию // К 250-летию со дня рождения Л. Эйлера. — Сборник. — Изд-во АН СССР, 1958.
↑ Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1969. — С. 20. — 577 с.
↑ История математики, том III, 1972, էջ 138, 148-149, 151.
↑ Шейнин О. Б. Теория вероятностей П. С. Лапласа // Историко-математические исследования. - М.: Наука, 1977. - № 22. - С. 212-224..
↑ Григорян А. А. Теория вероятностей Р. фон Мизеса: история и философско-методологические основания. — Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 1999. — С. 198-220.
↑ История математики, том III, 1972, էջ 149.
↑ История математики, том III, 1972, с. 150-151.
↑ ^45,0 ^45,1 Математика XIX века. Том I, 1978, էջ 208, 239.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 178-187.
↑ История математики, том III, 1972, էջ 150-151.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 414.
↑ Шейнин О. Б. Теория вероятностей П. С. Лапласа. — Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1977. — С. 212-224..
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 167-175.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 163.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 187-189.
↑ Никифоровский В. А., 1992, էջ 113-114.
↑ Щиголев Б. М. Математическая обработка наблюдений. — Изд. 2-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 1962. — С. 209-215. — 344 с.
↑ ^55,0 ^55,1 Гнеденко Б. В., 2005, էջ 408-411.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 279-285.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 417-418.
↑ Спасский Б. И. История физики. — М.: Высшая школа, 1977. — Т. II. — С. 74-75.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 268-276.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 191-197, 204-213.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 197-204, 214.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 225-238.
↑ Чебышёв П. Л. Полное собрание сочинений. — Изд-во АН СССР, 1948. — Т. III. — С. 404.
↑ Колмогоров А. Н. Роль русской науки в развитии теории вероятностей. — Учёные записки МГУ. — Μ., 1947. — Т. I. — С. 53-64.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 253-259.
↑ ^66,0 ^66,1 Стройк Д. Я., 1984, էջ 255.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 310-311.
↑ Чернова Н. И. «Мера и вероятностная мера». Վերցված է 2014 թ․ հունվարի 11-ին.
↑ Тихомиров В. Математика во второй половине XX века. — Квант. — 2001.
↑ Логарифмически нормальное распределение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
↑ Постников А. Г. Вероятностная теория чисел. — М.: Знание, 1974. — 63 с.
↑ «Вероятностная логика». Վերցված է 2014 թ․ հունվարի 10-ին.
↑ Теория вероятностей // Математика в СССР за сорок лет, 1917-1957. — М.: Физматгиз, 1959. — Т. I.
↑ «Կառլ Պիրսոն». Արխիվացված է օրիգինալից 2016 թ․ սեպտեմբերի 15-ին. Վերցված է 2016 թ․ օգոստոսի 19-ին.
↑ Porter, T. M. Karl Pearson: The Scientific Life in a Statistical Age. — Princeton University Press, 2004. — ISBN 978-0-691-12635-7
↑ «The correlation between relatives on the supposition of Mendelian Inheritance» (PDF). 1918. Վերցված է 2013 թ․ դեկտեմբերի 29-ին.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 403—405
↑ Майерс Дэвид Дж. «Корреляция или причинно-следственная связь». Արխիվացված է օրիգինալից 2014 թ․ հունվարի 6-ին. Վերցված է 2014 թ․ հունվարի 6-ին.
↑ Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1972. — С. 374. — 900 с.
↑ Розанов Ю. А. Случайные процессы. Краткий курс. — Изд. 2-е, перераб. и дополн. — М.: Наука, 1979. — С. 174—183. — 184 с.
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 430—434
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — С. 522—534. — 720 с.
↑ Розанов Ю. А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. — М.: Наука, 1985. — С. 236—282. — 320 с.
↑ Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. Учебное пособие. — Изд. 2-е. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 514. — 719 с. — ISBN 5-06-003556-5
↑ Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели: учеб. пособие по направлению «Биология». — Μ.: Академия, 2009. — 315 с. — ISBN 978-5-7695-4704-1
↑ Kolaczkowski B., Thornton J. W. Long-Branch Attraction Bias and Inconsistency in Bayesian Phylogenetics // PLoS One, 4 (12), 2009. — P. e7891. — doi:10.1371/journal.pone.0007891.
↑ Simmons M. P. Misleading Results of Likelihood-based Phylogenetic Analyses in the Presence of Missing Data // Cladistics, 28 (2), 2012. — P. 208—222. — doi:10.1111/j.1096-0031.2011.00375.x.
↑ «Информации теория». Энциклопедия «Кругосвет». Վերցված է 2013 թ․ դեկտեմբերի 29-ին.
↑ Волькенштейн М. В. Энтропия и информация. — М.: Наука, 2006. — 325 с.
↑ Соболь И. М. Метод Монте-Карло. — Μ.: Наука, 1968. — (Популярные лекции по математике, вып. 46).
↑ Пиотровский Р. Г., Бектаев К. Б., Пиотровская А. А. Математическая лингвистика. — М.: Высшая школа, 1977. — 383 с. — С. 8—10, 110, 142, 189, 205—207, 233.
↑ ^92,0 ^92,1 Григорян А. А. Теория вероятностей Р. фон Мизеса: история и философско-методологические основания // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 1999. — № 38 (4). — С. 198—220.
↑ Математика XIX века. Том I, 1978, էջ 238—239
↑ Хинчин А. Я. Частотная теория Р. Мизеса и современные идеи теории вероятности. — Вопросы философии. — 1961. — С. 91—102 (вып. 1), 77—89 (вып. 2).
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 407
↑ Robert C. P., Chopin N., Rousseau J. Harold Jeffreys’s Theory of Probability Revisited // Statistical Science, 24 (2), 2009. — P. 141—172.
↑ Майстров Л. Е., 1967, էջ 297—302, 311—313
↑ Гнеденко Б. В., 2005, էջ 407—408
↑ Математика XIX века. Том I, 1978, էջ 240
↑ Алимов Ю. И., Кравцов Ю. А. Является ли вероятность «нормальной» физической величиной?. — Успехи физических наук. — М., 1992. — С. 149—182.
↑ Тутубалин В. Н. Вероятность, компьютеры и обработка результатов эксперимента. — Успехи физических наук. — М., 1993. — С. 93—109.

Գրականություն

Հիմնադիրների աշխատությունները

Бернулли Я. О законе больших чисел. — Μ.: Наука, 1986. — 176 с.
Гаусс К. Ф. Избранные геодезические сочинения. Т. 1. Метод наименьших квадратов. — Μ.: Изд-во геодезической литературы, 1957. — 234 с.
Лаплас П. С. Опыт философии теории вероятностей. 2-е изд. — Μ.: URSS, 2011. — 208 с. — (Физико-математическое наследие: математика (философия математики)). — ISBN 978-5-397-01695-7
Марков А. А. Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятностей.. — Л.: Изд-во АН СССР, 1951. — 719 с.
Реньи А. Письма о вероятности: письма Паскаля к Ферма. — Μ.: Мир, 1970. — 96 с.
- Рецензия: Майстров Л. Е. О вероятностной концепции Паскаля у А. Реньи. — Историко-математические исследования. — Μ.: Наука, 1977. — С. 200-211.
Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — 224 с.
Чебышёв П. Л. Теория вероятностей. Лекции акад. П. Л. Чебышёва, читанные в 1879/80 г.. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1936. — 253 с.

Ժամանակակից հետազոտություններ

Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — 468 с.
Гнеденко Б. В. К истории основных понятий теории вероятностей. — История и методология естественных наук. — М.: Изд. МГУ, 1986. — С. 81-88.
Гнеденко Б. В. Очерк по истории теории вероятностей // Курс теории вероятностей. 8-е изд. — Μ.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8 - С. 366-435.
Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. Том I / Под ред. А. Н. Колмогорова, А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1978. — 255 с.
Майстров Л. Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. — Μ.: Наука, 1967. — 321 с.
История математики. Т. II. Математика XVII столетия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — 301 с.
История математики. Т. III. Математика XVIII столетия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1972. — 496 с.
Никифоровский В. А. Вероятностный мир. — М.: Наука, 1992. — С. 48. — (История науки и техники). — ISBN 5-02-003523-8
Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — Изд. 3-е. — М.: Наука, 1984. — 285 с.
Шейнин О. Б. Теория вероятностей до П. Л. Чебышёва. — Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1978. — С. 284-306.

Արտաքին հղումներ

Jui-Pin Cheng. (2000). «The Origin of Probability and The Problem of Points» (անգլերեն). Վերցված է 2013 թ․ դեկտեմբերի 30–ին-ին..
Glenn Shafer. «The Early Development of Mathematical Probability» (PDF) (անգլերեն). Վերցված է 2013 թ․ դեկտեմբերի 30–ին-ին..

[1] Гнеденко Б. В. О работах М. В. Остроградского по теории вероятностей. — Историко-математические исследования. — М.: ГИТТЛ, 1951. — С. 120.

[2] Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. — М.-Л.: ОГИЗ, 1946. — С. 201.

[3] Майстров Л. Е.,1967,с=303․

[4] Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1969. — С. 17. — 577 с.

[5] Колмогоров А. Н. Роль русской науки в развитии теории вероятностей // Учёные записки МГУ. - Μ., 1947. - В. 91, кн.1. - Т. I. - С. 53-64.

[Шейнин_О._Б.—1978——284-285.-6] Шейнин О. Б., 1978, էջ 284-285.

[Шейнин_О._Б.—1978——285-288.-7] Шейнин О. Б., 1978, էջ 285-288.

[Гнеденко_Б._В.—2005——366.-8] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 366.

[Майстров_Л._Е.—1967——22.-9] Майстров Л. Е., 1967, էջ 22.

[Гнеденко_Б._В.—2005——368.-10] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 368.

[renyi-11] 11,0 ^11,1 ^11,2 ^11,3 ^11,4 Реньи А. Об истории теории вероятностей // Реньи А. Трилогия о математике. — М.: Мир, 1980. — 376 с. - С. 184-186.

[Майстров_Л._Е.—1967——23-31.-12] Майстров Л. Е., 1967, էջ 23-31.

[Гнеденко_Б._В.—2005——370-371.-13] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 370-371.

[14] Майстров Л. Е. Элементы теории вероятностей у Галилея. — Вопросы истории естествознания и техники. — Μ.: Наука, 1964. — С. 94-98.

[Стройк_Д._Я.—1984——143.-15] 15,0 ^15,1 ^15,2 Стройк Д. Я., 1984, էջ 143.

[16] Ван дер Варден Б. Л. Переписка между Паскалем и Ферма по вопросам теории вероятностей. — Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1976. — С. 228-232.

[GN375-17] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 375-376, 379.

[IST89-18] 18,0 ^18,1 ^18,2 История математики, том II, 1970, էջ 89-91.

[Гнеденко_Б._В.—2005——379-380.-19] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 379-380.

[Гнеденко_Б._В._—2005_——399-400.-20] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 399-400.

[21] Витерби Э. Д. Принципы когерентной связи. — М.: Советское радио, 1970. — С. 102. — 392 с.

[Майстров_Л._Е.—1967——58-60.-22] Майстров Л. Е., 1967, էջ 58-60.

[Майстров_Л._Е.—1967——64-65.-23] Майстров Л. Е., 1967, էջ 64-65.

[24] Alter G. Plague and the Amsterdam Annuitant: A New Look at Life Annuities as a Source for Historical Demography // Population Studies, 37, 1983. - P. 23-41.

[GN387-25] 25,0 ^25,1 Гнеденко Б. В., 2005, էջ 387-389, 73.

[Майстров_Л._Е.—1967——67-79.-26] Майстров Л. Е., 1967, էջ 67-79.

[Бернулли_Я.—1957_——-27] Бернулли Я., 1957

[Майстров_Л._Е.—1967——81-89.-28] Майстров Л. Е., 1967, էջ 81-89.

[Гнеденко_Б._В.—2005——402.-29] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 402.

[Майстров_Л._Е.—1967——95-96.-30] Майстров Л. Е., 1967, էջ 95-96.

[Стройк_Д._Я.—1984——175.-31] 31,0 ^31,1 Стройк Д. Я., 1984, էջ 175.

[Никифоровский_В._А.—1992——48.-32] Никифоровский В. А., 1992, էջ 48.

[33] Гнеденко Б. В., 2005, с. 390-391.

[GN390-34] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 390-391.

[35] Badger L. Lazzarini’s Lucky Approximation of $\pi$ // Mathematics Magazine, 67 (2), 1994. - P. 83-91. - doi:10.2307/2690682.

[Гнеденко_Б._В.—2005——394-397.-36] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 394-397.

[Майстров_Л._Е.—1967——119-125.-37] Майстров Л. Е., 1967, էջ 119-125.

[38] Гнеденко Б. В. О работах Леонарда Эйлера по теории вероятностей, теории обработки наблюдений, демографии и страхованию // К 250-летию со дня рождения Л. Эйлера. — Сборник. — Изд-во АН СССР, 1958.

[39] Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1969. — С. 20. — 577 с.

[История_математики,_том_III—1972——138,_148-149,_151.-40] История математики, том III, 1972, էջ 138, 148-149, 151.

[41] Шейнин О. Б. Теория вероятностей П. С. Лапласа // Историко-математические исследования. - М.: Наука, 1977. - № 22. - С. 212-224..

[42] Григорян А. А. Теория вероятностей Р. фон Мизеса: история и философско-методологические основания. — Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 1999. — С. 198-220.

[История_математики,_том_III—1972——149.-43] История математики, том III, 1972, էջ 149.

[44] История математики, том III, 1972, с. 150-151.

[ISTXIX208-45] 45,0 ^45,1 Математика XIX века. Том I, 1978, էջ 208, 239.

[Майстров_Л._Е.—1967——178-187.-46] Майстров Л. Е., 1967, էջ 178-187.

[ISTIII150-47] История математики, том III, 1972, էջ 150-151.

[Гнеденко_Б._В.—2005——414.-48] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 414.

[SHEY1977-49] Шейнин О. Б. Теория вероятностей П. С. Лапласа. — Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1977. — С. 212-224..

[Майстров_Л._Е.—1967——167-175.-50] Майстров Л. Е., 1967, էջ 167-175.

[Майстров_Л._Е.—1967——163.-51] Майстров Л. Е., 1967, էջ 163.

[Майстров_Л._Е.—1967——187-189.-52] Майстров Л. Е., 1967, էջ 187-189.

[Никифоровский_В._А.—1992——113-114.-53] Никифоровский В. А., 1992, էջ 113-114.

[54] Щиголев Б. М. Математическая обработка наблюдений. — Изд. 2-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 1962. — С. 209-215. — 344 с.

[GN408-55] 55,0 ^55,1 Гнеденко Б. В., 2005, էջ 408-411.

[Майстров_Л._Е.—1967——279-285.-56] Майстров Л. Е., 1967, էջ 279-285.

[Гнеденко_Б._В.—2005——417-418.-57] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 417-418.

[58] Спасский Б. И. История физики. — М.: Высшая школа, 1977. — Т. II. — С. 74-75.

[Майстров_Л._Е.—1967——268-276.-59] Майстров Л. Е., 1967, էջ 268-276.

[Майстров_Л._Е.—1967——191-197,_204-213.-60] Майстров Л. Е., 1967, էջ 191-197, 204-213.

[Майстров_Л._Е.—1967——197-204,_214.-61] Майстров Л. Е., 1967, էջ 197-204, 214.

[Майстров_Л._Е.—1967——225-238.-62] Майстров Л. Е., 1967, էջ 225-238.

[63] Чебышёв П. Л. Полное собрание сочинений. — Изд-во АН СССР, 1948. — Т. III. — С. 404.

[KOLMO1947-64] Колмогоров А. Н. Роль русской науки в развитии теории вероятностей. — Учёные записки МГУ. — Μ., 1947. — Т. I. — С. 53-64.

[Майстров_Л._Е.—1967——253-259.-65] Майстров Л. Е., 1967, էջ 253-259.

[Стройк_Д._Я.—1984——255.-66] 66,0 ^66,1 Стройк Д. Я., 1984, էջ 255.

[Майстров_Л._Е.—1967——310-311.-67] Майстров Л. Е., 1967, էջ 310-311.

[68] Чернова Н. И. «Мера и вероятностная мера». Վերցված է 2014 թ․ հունվարի 11-ին.

[69] Тихомиров В. Математика во второй половине XX века. — Квант. — 2001.

[70] Логарифмически нормальное распределение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.

[71] Постников А. Г. Вероятностная теория чисел. — М.: Знание, 1974. — 63 с.

[72] «Вероятностная логика». Վերցված է 2014 թ․ հունվարի 10-ին.

[73] Теория вероятностей // Математика в СССР за сорок лет, 1917-1957. — М.: Физматгиз, 1959. — Т. I.

[74] «Կառլ Պիրսոն». Արխիվացված է օրիգինալից 2016 թ․ սեպտեմբերի 15-ին. Վերցված է 2016 թ․ օգոստոսի 19-ին.

[75] Porter, T. M. Karl Pearson: The Scientific Life in a Statistical Age. — Princeton University Press, 2004. — ISBN 978-0-691-12635-7

[76] «The correlation between relatives on the supposition of Mendelian Inheritance» (PDF). 1918. Վերցված է 2013 թ․ դեկտեմբերի 29-ին.

[Гнеденко_Б._В.—2005——403—405-77] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 403—405

[78] Майерс Дэвид Дж. «Корреляция или причинно-следственная связь». Արխիվացված է օրիգինալից 2014 թ․ հունվարի 6-ին. Վերցված է 2014 թ․ հունվարի 6-ին.

[79] Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1972. — С. 374. — 900 с.

[80] Розанов Ю. А. Случайные процессы. Краткий курс. — Изд. 2-е, перераб. и дополн. — М.: Наука, 1979. — С. 174—183. — 184 с.

[Гнеденко_Б._В.—2005——430—434-81] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 430—434

[82] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — С. 522—534. — 720 с.

[83] Розанов Ю. А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. — М.: Наука, 1985. — С. 236—282. — 320 с.

[84] Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. Учебное пособие. — Изд. 2-е. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 514. — 719 с. — ISBN 5-06-003556-5

[85] Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели: учеб. пособие по направлению «Биология». — Μ.: Академия, 2009. — 315 с. — ISBN 978-5-7695-4704-1

[86] Kolaczkowski B., Thornton J. W. Long-Branch Attraction Bias and Inconsistency in Bayesian Phylogenetics // PLoS One, 4 (12), 2009. — P. e7891. — doi:10.1371/journal.pone.0007891.

[87] Simmons M. P. Misleading Results of Likelihood-based Phylogenetic Analyses in the Presence of Missing Data // Cladistics, 28 (2), 2012. — P. 208—222. — doi:10.1111/j.1096-0031.2011.00375.x.

[88] «Информации теория». Энциклопедия «Кругосвет». Վերցված է 2013 թ․ դեկտեմբերի 29-ին.

[89] Волькенштейн М. В. Энтропия и информация. — М.: Наука, 2006. — 325 с.

[90] Соболь И. М. Метод Монте-Карло. — Μ.: Наука, 1968. — (Популярные лекции по математике, вып. 46).

[91] Пиотровский Р. Г., Бектаев К. Б., Пиотровская А. А. Математическая лингвистика. — М.: Высшая школа, 1977. — 383 с. — С. 8—10, 110, 142, 189, 205—207, 233.

[GRIG-92] 92,0 ^92,1 Григорян А. А. Теория вероятностей Р. фон Мизеса: история и философско-методологические основания // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 1999. — № 38 (4). — С. 198—220.

[Математика_XIX_века._Том_I—1978——238—239-93] Математика XIX века. Том I, 1978, էջ 238—239

[94] Хинчин А. Я. Частотная теория Р. Мизеса и современные идеи теории вероятности. — Вопросы философии. — 1961. — С. 91—102 (вып. 1), 77—89 (вып. 2).

[Гнеденко_Б._В.—2005——407-95] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 407

[96] Robert C. P., Chopin N., Rousseau J. Harold Jeffreys’s Theory of Probability Revisited // Statistical Science, 24 (2), 2009. — P. 141—172.

[Майстров_Л._Е.—1967——297—302,_311—313-97] Майстров Л. Е., 1967, էջ 297—302, 311—313

[Гнеденко_Б._В.—2005——407—408-98] Гнеденко Б. В., 2005, էջ 407—408

[Математика_XIX_века._Том_I—1978——240-99] Математика XIX века. Том I, 1978, էջ 240

[100] Алимов Ю. И., Кравцов Ю. А. Является ли вероятность «нормальной» физической величиной?. — Успехи физических наук. — М., 1992. — С. 149—182.

[101] Тутубалин В. Н. Вероятность, компьютеры и обработка результатов эксперимента. — Успехи физических наук. — М., 1993. — С. 93—109.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

[98]

[99]

[100]