Հավանականությունների տեսությունում և առնչվող բնագավառներում պատահական, հավանականային կամ ստոխաստիկ պրոցեսը մաթեմատիկական օբյեկտ է, որը սովորաբար սահմանվում է որպես պատահական մեծությունների ընտանիք։ Պատմականորեն պատահական մեծությունները կապվել կամ ինդեքսավորվել են թվերի բազմությամբ և սովորաբար դիտարկվել են որպես ժամանակի կետեր՝ պատահական պրոցեսները մեկնաբանելով որպես ժամանակի ընթացքում ինչ-որ համակարգի պատահական փոփոխությունների թվային արժեքները ներկայացնեող մեծություններ (օրինակ՝ բակտերիաներ բնակչության աճ, ջերմային աղմուկի պատճառով էլեկտրական հոսանքի փոփոխություն կամ գազի մոլեկուլների շարժ)[1][4][5][6]։ Պատահական պրոցեսները լայնորեն կիրառվում են թվացիալ պատահական փոփոխվող համակարգերի կամ երևույթների մաթեմատիկական մոդելավորման համար։ Ունեն կիրառություններ բազմաթիվ բնագավառներում, ինչպես օրինակ՝ կենսաբանություն[7], Քիմիա[8], էկոլոգիա[9], նյարդագիտություն[10], ֆիզիկա[11], պատկերի թվային մշակում, ազդանշանի մշակում[12], ինֆորմացիայի տեսություն[13], ինֆորմատիկա[14], գաղտնագրություն[15] և հեռահաղորդակցություն[16]։ Բացի դա, ֆինանսական շուկայում թվացիալ պատահական փոփոխությունները հիմք են հանդիսացել ֆինանսներում պատահական պրոցեսների լայնորեն կիրառման համար[17][18][19]։

Գնդի մակերևույթի վրա Վիներյան կամ Բրոունյան շարժման պրոցեսի համակարգչային իրացում։ Վիներյան պրոցեսը համարվում է հավանականությունների տեսությունում ամենաուսումնասիրված և հիմնարար պատահական պրոցեսը[1][2][3]։

Կիրառությունները և երևույթների ուսումնասիրությունները դրդել են նոր պատահական պրոցեսների առաջարկների։ Նման պատահական պրոցեսների օրինակ է Վիներյան պրոցեսը կամ Բրաունյան շարժման պրոցեսը[Ն 1], որն օգտագործվել է Լուի Բաշելերը Փարիզի ֆոնդային բորսաում գնի փոփոխությունը ուսումնասիրելու համար[22] և Պուասոնի պրոցեսը, որն օգտագործել է Ա․ Կ․ Էրլանգը՝ որոշակի ժամանակահատվածում հեռախոսազանգերի քանակն ուսումնասիրելու համար[23]։ Այս պատահական պրոցեսները համարվում են պատահական պրոցեսների տեսության ամենակարևոր և հիմնական պրոցեսները[1][4][24] և մի քանի անգամ իրարից անկախ հայտնաբերվել են ինչպես նախքան Բաշելերը կամ Էրլանգը, այնպես էլ նրանցից հետո[22][25]։

Պատահական պրոցեսները նաև կոչվում են պատահական ֆունկցիա[26][27], քանի որ պատահական պրոցեսը կարելի է մեկնաբանել որպես ֆունկցիաների տարածությունում պատահական տարրեր[28][29]։ Պատահական պրոցես կամ ստոխաստիկ պրոցես եզրերը փոխարինելիորեն կիրառվում են առանց մաթեմատիկական տարածություն նշելու (պատահական մեծությունն ինդեքսավորող բազմության համար)[28][30]։ Բայց այս եզրերը հաճախ օգտագործվում են, երբ պատահական մեծությունները ինդեքսավորված են ամբողջ թվերով կամ միջակայքերով[5][30]։ Եթե պատահական մեծությունները ինդեքսավորված են Դեկարտյան հարթությամբ կամ այլ Էվկլիդյան տարածությամբ, ապա պատահական մեծությունների հավաքածում հաճախ կոչվում է պատահական դաշտ[5][31]։ Պատահական պրոցեսների արժեքները ոչ միշտ են թվեր․ դրանք կարող են լինել վեկտորներ կամ այլ մաթեմատիկական օբյեկտներ[5][29]։

Կախված իրենց մաթեմատիկական հատկություններից պատահական պրոցեսները կարող են խմբավորվել տարբեր կատեգորիաներում, որոնցից են պատահական քայլ[32], մարտինգալներ[33], Մարկովի շղթաներ[34], Լևիի պրոցեսներ[35], Գաուսյան պրոցեսներ[36], պատահական դաշտեր[37], վերսկսվող պրոցեսներ և ճյուղավորման պրոցեսներ[38]։ Պատահական պրոցեսներն ուսումնասիրելու համար օգտագործվում է հավանականությունների տեսությունից, մաթեմատիկական անալիզից (այդ թվում՝ իրական անալիզ, չափերի տեսություն, ֆուրեի անալիզ և ֆունկցիոնալ անալիզ[39][40][41]), գծային հանրահաշվից, բազմությունների տեսությունից և տոպոլոգիայից մաթեմատիկական գիտելիքներ և մեթոդներ[42][43][44]։ Պատահական պրոցեսների տեսությունը համարվում է կարևոր ներդրում մաթեմատիկայում[45] և շարունակում է մնալ ակտիվ հետազոտությունների առարկա՝ ինչպես կիրառության, այնպես էլ տեսական հետաքրքրության պատճառով[46][47][48]։

ՆերածությունԽմբագրել

Ստոխաստիկ կամ պատահական պրոցեսը կարելի է սահմանել որպես պատահական մեծությունների հավաքածու, որը ինդեքսավորված է որոշակի մաթեմատիկական բազմությամբ, այսինքն՝ պատահական պրոցեսի յուրաքանչյուր պատահական մեծությունը միակորեն կապված է բազմության որևէ տարրի հետ[4][5]։ Այս բազմությունը կոչվում է ինդեքսավորման բազմություն։ Պատմականորեն ինդեքսավորման բազմությունը եղել է իրական թվերի որևէ ենթաբազմություն, ինչպես օրինակ բնական թվերը՝ ինդեքսավորման բազմությանը ժամանակի մեկնաբանություն տալով[1]։ Հավաքածու յուրաքանչյուր պատահական մեծություն արժեքներ է ընդունում նույն տարածությունից, որը հայտնի է վիճակի տարածություն անվամբ։ Այս տարածությունը կարող են լինել ամբողջ թվերը, իրական թվերը կամ   չափանի Էվկլիդյան տարածություն[1][5]։ Աճը այն չափն է, որով պատահական պորցեսը փոխվում է ինդեքսների արժեքների միջև (հաճախ մեկնաբանվում է որպես ժամանակի երկու կետ)[49][50]։ Պատահական պրոցեսը կարող են բազմաթիվ արդյունքներ ունենալ՝ իր պատահական լինելու պատճառով, իսկ պատահական պրոցեսի որևէ արդյունքը կոչում են իրացում[29][51]

 
A single computer-simulated sample function or realization, among other terms, of a three-dimensional Wiener or Brownian motion process for time 0 ≤ t ≤ 2. The index set of this stochastic process is the non-negative numbers, while its state space is three-dimensional Euclidean space.

ԴասակարգումԽմբագրել

Պատահական պրոցեսները կարելի է դասակարգել տարբեր ձևերով, օրինակ՝ իր վիճակի տարածությամբ, իր ինդեքսավորման բազմությամբ կամ պատահաման մեծության հետ կապով։ Դասակարգման ընդունված տարբերակ է ինդեքսավորման բազմության և վիճակի տարածության հազորությամբ ինդեքսավորումը[52][53][54]։

Եթե երըպատահական պրոցեսի ինդեքսավորման բազմությունը ունի վերջավոր քանակությամբ կամ հաշվելի անդամներ, ինչպես օրիկնակ թվերի որևէ վերջավոր բազմություն, ամբողջ կամ բնական թվերի բազմությունը, և այն մեկնաբանվում է որպես ժամանակ, ապա ասում են, որ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում դիսկրետ ժամանակում[55][56]։ Նմանապես, եթե ինդեքսավորման բազմությունը իրական առանցքի որևէ միջակայք է և այն մեկնաբանվում է որպես ժամանակ, ապա ասում են, որ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում անընդհատ ժամանակում։ Այս երկու տեսակի տեսակի պատահական պրոցեսները համապատասխանաբար կոչվում են դիսկրետ և անընդհատ պարամետրով պատահական պրոցեսներ[49][57][58][59]։ Համարվում է, որ դիսկրետ պարամետրով պատահական պրոցեսները ավելի հեշտ է ուսումնասիրել, քանի որ անընդհատ պարամետրով պատահական պրոցեսները պահանջում են ավելի բարդ մաթեմատիկական գիտելիքներ, հիմնականում անհաշվելի ինդեքսավորման բազմության պատճառով[60][61]։ Եթե ինդեքսավորման բազմությունը ամբողջ թվերի բազմությունն է կամ դրա ինչ-որ ենթաբազմություն, ապա պատահական պրոցեսը նաև կոչում են պատահական հաջորդականություն[56]։

Եթե վիճակի տարածությունը ամբողջ կամ բնական թվերն են, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է դիսկրետ կամ ամբողջարժեքանի պատահական պրոցես։ Եթե վիճակի տարածությունը իրական առանցքն է, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է իրական անընդհատ վիճակի տարածությամբ պրոցես։ Եթե վիճակի տարածությունը   չափանի Էվկլիդյան տարածությունն է, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է   չափանի վեկտորական պրոցես[52][53]։

ՏերմինաբանությունԽմբագրել

Պատահական պրոցեսի սահմանումները տարբերվում են[62], բայց ավանդաբար պատահական պրոցեսը սահմանվում է որպես պատահական մեծությունների հավաքածու, որոնք ինդեքսավորված են որևէ բազմությամբ[63][64]Պատահական պրոցես և ստոխաստիկ պրոցես եզրերը համարվում են հոմանիշ և փոխարինելիորեն կիրառվում են առանց ինդեքսավորման բազմությունը շեշտելու[28][30][31][65][66][67]։ Կիրառվում են և՛ «հավաքածու»[29][65], և՛ «ընտանիք» եզրերը[4][68], իսկ «ինդեքսավորման բազմության» փոխարեն հաճախ կիրառվում է «պատամետրերի բազմություն»[29] կամ «պարամետրերի տարածություն»[31] եզրերը։

Պատահական ֆունկցիա եզրը նույնպես օգտագործվում է ստոխաստիկ կամ պատահական պրոցեսի փոխարեն[5][69][70] , չնայած այս անվանումը օգտագործվում է միայն այն դեպքում, երբ պատահական պրոցեսը ընդունում է իրական արժեքներ[29][68]։ Այս եզրը նաև օգտագործվում է, երբ ինդեքսավորման բազմությունը իրական թվերի տարբեր այլ մաթեմատիկական տարածություն է[5][71] , մինչդեռ ստոխաստիկ պրոցես կամ պատահական պրոցես եզրերը սովորաբար կիրառվում է, երբ ինդեքսավորման բազմությունը մեկնաբանվում է որպես ժամանակ[5][71][72][73]։ Երբ ինդեքսավորման բազմությունը   չափանի Էվկլիդյան տարածություն է կամ որևէ բազմաձևություն, սովորաբար կիրառվում է պատահական դաշտ եզրը[5][29][31]։

ՆշանակումԽմբագրել

Պատահական պրոցեսները նշանակվում են  [57],  [64],  [74],   կամ պարզապես   կամ   ձևով, չնայած   նշանակումը համարվում է ֆունկցիայի նշանակման չարաշահում[75]։ Օրինակ՝  -ով կամ  -ով նշանակում են   ինդեքսով պատահական մեծությունը, ոչ թե ամբողջ պատահական պրոցեսը[74]։ Եթե   ինդեքսավորման բազմություն էմ, ապա պատահական պրոցեսը կարելի է նշանակել   ձևով[30]։

ՕրինակներԽմբագրել

Բեռնուլիի պրոցեսԽմբագրել

Ամենապարզ պատահական պրոցեսներից մեկը Բեռնուլիի պրոցեսն է[76], որը անկախ և նույնական բաշխմամաբ պատահական մեծությունների հաջորդականություն է, որոնցից յուրաքանչյուրը ընդունում է մեկ կամ զրո արժեքը, համապատասխանաբար   և   հավանականությամբ։ Այս պրոցեսով կարելի է մոդելավորել մետաղադրամի պարբերաբար նետումը, որտեղ գիր ունենալու հավանականությունը   իսկ գերբ ունենալու հավաբականությունը՝  [77]: Այլ կերպ ասած՝ Բեռնուլիի պրոցեսը անկախ և նույնական բաշխմամաբ Բեռնուլիի պատահական մեծությունների հաջորդականություն է[78], որտեղ մետաղադրամի յուրաքանչյուր նետումը Բեռնուլիի փորձի օրինակ է[79]։

Պատահական քայլԽմբագրել

Պատահական քայլերը պատահական պորցեսներ են, որոնք սովորաբար սահմանվում են որպես իր անկախ և նույնական բաշխմամաբ պատահական մեծությունների կամ Էվկլիդյան տարածությունում պատահական վեկտորների գումար, այսինքն՝ այս պրոցեսները փոխվում են ժամանակում[80][81][82][83][84]։ Սակայն, որոշ հեղինակներ եզրը կիրառում են անընդհատ ժամանակում փոխվող պրոցեսների համար[85], մասնավորապես՝ ֆինանսներում գործածվող Վիներյան պրոցեսը, ինչը որոշ շփոթության և քննադատության առիթ է տվել[86]։ Գոյություն ունեն պատահական քայլերի այլ տարբերակներ՝ սահմանված այլ մաթեմատիկական օբյեկտների վիճակի տարածության վրա, ինչպես օրինակ՝ խմբերը կամ կավարներ, և ընդհանուր առմամաբ պատահական քայլերը լայնորեն ուսումնասիրվել և կիրառվում են տարբեր բնագավառներում[85][87]։

Պատահական քայլի դասական օրինակներից մեկը կոչվում է պարզ պատահական քայլ, որը դիսկրետ ժամանակում փոփոխվող պատահական պորցես է՝ սահմանված ամբողջ թվերի վիճակի տարածության վրա, և հիմնված է Բեռնուլիի պրոցեսի վրա, որտեղ կամայական Բեռնուլիի մեծություն ընդունում է դրական կամ բացասական մեկ արժեքը։ Այլ կարպ ասած՝ պարզ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում ամբողջ թվերում և դրա արժեքը աճում է մեկով   հավանականությամբ կամ նվազում   հավանականությամբ, հետևաբար՝ այս պատահական քայլի ինդեքսավորման բազմությունը բնական թվերն են, իսկ վիճակի տարածությունը՝ ամբողջ թվերը։ Եթե  , ապա այս պատահական քայլը կոչվում է համաչափ պատահական քայլ[88][89]։

ՆշումներԽմբագրել

  1. Բրաունյան շարժում եզրը կարող է վերաբերել ինչպես ֆիզիկական երևույթին, այնպես էլ պատահական պրոցեսին, բայց երկիմաստությունից խուսափելու համար այս հոդվածում մաթեմատիկական օբյեկտի համար օգտագործվում է Վիներյան պրոցես կամ Բրոունյան շարժման պրոցես եզրերը[20][21]։

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Joseph L. Doob (1990)։ Stochastic processes։ Wiley։ էջեր 46, 47 
  2. L. C. G. Rogers, David Williams (2000)։ Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations։ Cambridge University Press։ էջ 1։ ISBN 978-1-107-71749-7 
  3. J. Michael Steele (2012)։ Stochastic Calculus and Financial Applications։ Springer Science & Business Media։ էջ 29։ ISBN 978-1-4684-9305-4 
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 Emanuel Parzen (2015)։ Stochastic Processes։ Courier Dover Publications։ էջեր 7, 8։ ISBN 978-0-486-79688-8 
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 Iosif Ilyich Gikhman, Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969)։ Introduction to the Theory of Random Processes։ Courier Corporation։ էջ 1։ ISBN 978-0-486-69387-3 
  6. Gagniuc Paul A. (2017)։ Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation։ NJ: John Wiley & Sons։ էջեր 1–235։ ISBN 978-1-119-38755-8 
  7. Paul C. Bressloff (2014)։ Stochastic Processes in Cell Biology։ Springer։ ISBN 978-3-319-08488-6 
  8. N.G. Van Kampen (2011)։ Stochastic Processes in Physics and Chemistry։ Elsevier։ ISBN 978-0-08-047536-3 
  9. Russell Lande, Steinar Engen, Bernt-Erik Sæther (2003)։ Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation։ Oxford University Press։ ISBN 978-0-19-852525-7 
  10. Carlo Laing, Gabriel J Lord (2010)։ Stochastic Methods in Neuroscience։ OUP Oxford։ ISBN 978-0-19-923507-0 
  11. Wolfgang Paul, Jörg Baschnagel (2013)։ Stochastic Processes: From Physics to Finance։ Springer Science & Business Media։ ISBN 978-3-319-00327-6 
  12. Edward R. Dougherty (1999)։ Random processes for image and signal processing։ SPIE Optical Engineering Press։ ISBN 978-0-8194-2513-3 
  13. Thomas M. Cover, Joy A. Thomas (2012)։ Elements of Information Theory։ John Wiley & Sons։ էջ 71։ ISBN 978-1-118-58577-1։ Արխիվացված է օրիգինալից 2020-05-29-ին։ Վերցված է 2020-08-06 
  14. Michael Baron (2015)։ Probability and Statistics for Computer Scientists, Second Edition։ CRC Press։ էջ 131։ ISBN 978-1-4987-6060-7 
  15. Jonathan Katz, Yehuda Lindell (2007)։ Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols։ CRC Press։ էջ 26։ ISBN 978-1-58488-586-3 
  16. François Baccelli, Bartlomiej Blaszczyszyn (2009)։ Stochastic Geometry and Wireless Networks։ Now Publishers Inc։ ISBN 978-1-60198-264-3 
  17. J. Michael Steele (2001)։ Stochastic Calculus and Financial Applications։ Springer Science & Business Media։ ISBN 978-0-387-95016-7 
  18. Marek Musiela, Marek Rutkowski (2006)։ Martingale Methods in Financial Modelling։ Springer Science & Business Media։ ISBN 978-3-540-26653-2 
  19. Steven E. Shreve (2004)։ Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models։ Springer Science & Business Media։ ISBN 978-0-387-40101-0 
  20. Iosif Ilyich Gikhman, Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969)։ Introduction to the Theory of Random Processes։ Courier Corporation։ ISBN 978-0-486-69387-3 
  21. Murray Rosenblatt (1962)։ Random Processes։ Oxford University Press 
  22. 22,0 22,1 Jarrow Robert, Protter Philip (2004)։ «A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970»։ A Festschrift for Herman Rubin։ Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series։ էջեր 75–80։ ISBN 978-0-940600-61-4։ ISSN 0749-2170։ doi:10.1214/lnms/1196285381 
  23. Stirzaker David (2000)։ «Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary»։ The Mathematical Gazette 84 (500): 197–210։ ISSN 0025-5572։ JSTOR 3621649։ doi:10.2307/3621649 
  24. Donald L. Snyder, Michael I. Miller (2012)։ Random Point Processes in Time and Space։ Springer Science & Business Media։ էջ 32։ ISBN 978-1-4612-3166-0 
  25. Guttorp Peter, Thorarinsdottir Thordis L. (2012)։ «What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes»։ International Statistical Review 80 (2): 253–268։ ISSN 0306-7734։ doi:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x 
  26. Gusak Dmytro, Kukush Alexander, Kulik Alexey, Mishura Yuliya, Pilipenko Andrey (2010)։ Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory։ Springer Science & Business Media։ էջ 21։ ISBN 978-0-387-87862-1 
  27. Valeriy Skorokhod (2005)։ Basic Principles and Applications of Probability Theory։ Springer Science & Business Media։ էջ 42։ ISBN 978-3-540-26312-8 
  28. 28,0 28,1 28,2 Olav Kallenberg (2002)։ Foundations of Modern Probability։ Springer Science & Business Media։ էջեր 24–25։ ISBN 978-0-387-95313-7 
  29. 29,0 29,1 29,2 29,3 29,4 29,5 29,6 John Lamperti (1977)։ Stochastic processes: a survey of the mathematical theory։ Springer-Verlag։ էջեր 1–2։ ISBN 978-3-540-90275-1 
  30. 30,0 30,1 30,2 30,3 Loïc Chaumont, Marc Yor (2012)։ Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning։ Cambridge University Press։ էջ 175։ ISBN 978-1-107-60655-5 
  31. 31,0 31,1 31,2 31,3 Robert J. Adler, Jonathan E. Taylor (2009)։ Random Fields and Geometry։ Springer Science & Business Media։ էջեր 7–8։ ISBN 978-0-387-48116-6 
  32. Gregory F. Lawler, Vlada Limic (2010)։ Random Walk: A Modern Introduction։ Cambridge University Press։ ISBN 978-1-139-48876-1 
  33. David Williams (1991)։ Probability with Martingales։ Cambridge University Press։ ISBN 978-0-521-40605-5 
  34. L. C. G. Rogers, David Williams (2000)։ Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations։ Cambridge University Press։ ISBN 978-1-107-71749-7 
  35. David Applebaum (2004)։ Lévy Processes and Stochastic Calculus։ Cambridge University Press։ ISBN 978-0-521-83263-2 
  36. Mikhail Lifshits (2012)։ Lectures on Gaussian Processes։ Springer Science & Business Media։ ISBN 978-3-642-24939-6 
  37. Robert J. Adler (2010)։ The Geometry of Random Fields։ SIAM։ ISBN 978-0-89871-693-1 
  38. Samuel Karlin, Howard E. Taylor (2012)։ A First Course in Stochastic Processes։ Academic Press։ ISBN 978-0-08-057041-9 
  39. Patrick Billingsley (2008)։ Probability and Measure։ Wiley India Pvt. Limited։ ISBN 978-81-265-1771-8 
  40. Pierre Brémaud (2014)։ Fourier Analysis and Stochastic Processes։ Springer։ ISBN 978-3-319-09590-5 
  41. Adam Bobrowski (2005)։ Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction։ Cambridge University Press։ ISBN 978-0-521-83166-6 
  42. Bruce Hajek (2015)։ Random Processes for Engineers։ Cambridge University Press։ ISBN 978-1-316-24124-0 
  43. G. Latouche, V. Ramaswami (1999)։ Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling։ SIAM։ ISBN 978-0-89871-425-8 
  44. D.J. Daley, David Vere-Jones (2007)։ An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure։ Springer Science & Business Media։ ISBN 978-0-387-21337-8 
  45. Applebaum David (2004)։ «Lévy processes: From probability to finance and quantum groups»։ Notices of the AMS 51 (11): 1336–1347 
  46. Jochen Blath, Peter Imkeller, Sylvie Rœlly (2011)։ Surveys in Stochastic Processes։ European Mathematical Society։ ISBN 978-3-03719-072-2 
  47. Michel Talagrand (2014)։ Upper and Lower Bounds for Stochastic Processes: Modern Methods and Classical Problems։ Springer Science & Business Media։ էջեր 4–։ ISBN 978-3-642-54075-2 
  48. Paul C. Bressloff (2014)։ Stochastic Processes in Cell Biology։ Springer։ էջեր vii–ix։ ISBN 978-3-319-08488-6 
  49. 49,0 49,1 Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ KarlinTaylor2012page27 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  50. Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ Applebaum2004page1337 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  51. Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ RogersWilliams2000page121b անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  52. 52,0 52,1 Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ Florescu2014page294 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  53. 53,0 53,1 Samuel Karlin, Howard E. Taylor (2012)։ A First Course in Stochastic Processes։ Academic Press։ էջ 26։ ISBN 978-0-08-057041-9 
  54. Donald L. Snyder, Michael I. Miller (2012)։ Random Point Processes in Time and Space։ Springer Science & Business Media։ էջեր 24, 25։ ISBN 978-1-4612-3166-0 
  55. Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ Billingsley2008page482 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  56. 56,0 56,1 Alexander A. Borovkov (2013)։ Probability Theory։ Springer Science & Business Media։ էջ 527։ ISBN 978-1-4471-5201-9 
  57. 57,0 57,1 Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ Brémaud2014page120 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  58. Jeffrey S Rosenthal (2006)։ A First Look at Rigorous Probability Theory։ World Scientific Publishing Co Inc։ էջեր 177–178։ ISBN 978-981-310-165-4 
  59. Համբարձումյան Գ․ Հ․ (1977)։ Հավանականությունների տեսություն։ Երևան: «Լույս» հրատարակչություն։ էջ 161 
  60. Peter E. Kloeden, Eckhard Platen (2013)։ Numerical Solution of Stochastic Differential Equations։ Springer Science & Business Media։ էջ 63։ ISBN 978-3-662-12616-5։ Արխիվացված է օրիգինալից 2020-05-29-ին։ Վերցված է 2020-08-07 
  61. Davar Khoshnevisan (2006)։ Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields։ Springer Science & Business Media։ էջեր 153–155։ ISBN 978-0-387-21631-7 
  62. Bert E. Fristedt, Lawrence F. Gray (2013)։ A Modern Approach to Probability Theory։ Springer Science & Business Media։ էջ 580։ ISBN 978-1-4899-2837-5 
  63. Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ RogersWilliams2000page121 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  64. 64,0 64,1 Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ Asmussen2003page408 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  65. 65,0 65,1 David Stirzaker (2005)։ Stochastic Processes and Models։ Oxford University Press։ էջ 45։ ISBN 978-0-19-856814-8 
  66. Murray Rosenblatt (1962)։ Random Processes։ Oxford University Press։ էջ 91 
  67. John A. Gubner (2006)։ Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers։ Cambridge University Press։ էջ 383։ ISBN 978-1-139-45717-0 
  68. 68,0 68,1 Kiyosi Itō (2006)։ Essentials of Stochastic Processes։ American Mathematical Soc.։ էջ 13։ ISBN 978-0-8218-3898-3 
  69. M. Loève (1978)։ Probability Theory II։ Springer Science & Business Media։ էջ 163։ ISBN 978-0-387-90262-3 
  70. Pierre Brémaud (2014)։ Fourier Analysis and Stochastic Processes։ Springer։ էջ 133։ ISBN 978-3-319-09590-5 
  71. 71,0 71,1 Gusak et al. (2010), p. 1
  72. Richard F. Bass (2011)։ Stochastic Processes։ Cambridge University Press։ էջ 1։ ISBN 978-1-139-50147-7 
  73. Համբարձումյան Գ․ Հ․ (1977)։ Հավանականությունների տեսություն։ Երևան: «Լույս» հրատարակչություն։ էջ 260 
  74. 74,0 74,1 John Lamperti (1977)։ Stochastic processes: a survey of the mathematical theory։ Springer-Verlag։ էջ 3։ ISBN 978-3-540-90275-1 
  75. Fima C. Klebaner (2005)։ Introduction to Stochastic Calculus with Applications։ Imperial College Press։ էջ 55։ ISBN 978-1-86094-555-7 
  76. Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ Florescu2014page293 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  77. Ionut Florescu (2014)։ Probability and Stochastic Processes։ John Wiley & Sons։ էջ 301։ ISBN 978-1-118-59320-2 
  78. Dimitri P. Bertsekas, John N. Tsitsiklis (2002)։ Introduction to Probability։ Athena Scientific։ էջ 273։ ISBN 978-1-886529-40-3 
  79. Oliver C. Ibe (2013)։ Elements of Random Walk and Diffusion Processes։ John Wiley & Sons։ էջ 11։ ISBN 978-1-118-61793-9 
  80. Achim Klenke (2013)։ Probability Theory: A Comprehensive Course։ Springer։ էջ 347։ ISBN 978-1-4471-5362-7 
  81. Gregory F. Lawler, Vlada Limic (2010)։ Random Walk: A Modern Introduction։ Cambridge University Press։ էջ 1։ ISBN 978-1-139-48876-1 
  82. Olav Kallenberg (2002)։ Foundations of Modern Probability։ Springer Science & Business Media։ էջ 136։ ISBN 978-0-387-95313-7 
  83. Ionut Florescu (2014)։ Probability and Stochastic Processes։ John Wiley & Sons։ էջ 383։ ISBN 978-1-118-59320-2 
  84. Rick Durrett (2010)։ Probability: Theory and Examples։ Cambridge University Press։ էջ 277։ ISBN 978-1-139-49113-6 
  85. 85,0 85,1 Weiss George H. (2006)։ «Random Walks»։ Encyclopedia of Statistical Sciences։ էջ 1։ ISBN 978-0471667193։ doi:10.1002/0471667196.ess2180.pub2 
  86. Aris Spanos (1999)։ Probability Theory and Statistical Inference: Econometric Modeling with Observational Data։ Cambridge University Press։ էջ 454։ ISBN 978-0-521-42408-0 
  87. Fima C. Klebaner (2005)։ Introduction to Stochastic Calculus with Applications։ Imperial College Press։ էջ 81։ ISBN 978-1-86094-555-7 
  88. Allan Gut (2012)։ Probability: A Graduate Course։ Springer Science & Business Media։ էջ 88։ ISBN 978-1-4614-4708-5 
  89. Geoffrey Grimmett, David Stirzaker (2001)։ Probability and Random Processes։ OUP Oxford։ էջ 71։ ISBN 978-0-19-857222-0 
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 9, էջ 145