Վիքիպեդիա

Պատահական պրոցես

Հավանականությունների տեսությունում և առնչվող բնագավառներում պատահական, հավանականային կամ ստոխաստիկ պրոցեսը մաթեմատիկական օբյեկտ է, որը սովորաբար սահմանվում է որպես պատահական մեծությունների ընտանիք։ Պատմականորեն պատահական մեծությունները կապվել կամ ինդեքսավորվել են թվերի բազմությամբ և սովորաբար դիտարկվել են որպես ժամանակի կետեր՝ պատահական պրոցեսները մեկնաբանելով որպես ժամանակի ընթացքում ինչ-որ համակարգի պատահական փոփոխությունների թվային արժեքները ներկայացնեող մեծություններ (օրինակ՝ բակտերիաներ բնակչության աճ, ջերմային աղմուկի պատճառով էլեկտրական հոսանքի փոփոխություն կամ գազի մոլեկուլների շարժ)[1][4][5][6]։ Պատահական պրոցեսները լայնորեն կիրառվում են թվացիալ պատահական փոփոխվող համակարգերի կամ երևույթների մաթեմատիկական մոդելավորման համար։ Ունեն կիրառություններ բազմաթիվ բնագավառներում, ինչպես օրինակ՝ կենսաբանություն[7], Քիմիա[8], էկոլոգիա[9], նյարդագիտություն[10], ֆիզիկա[11], պատկերի թվային մշակում, ազդանշանի մշակում[12], ինֆորմացիայի տեսություն[13], ինֆորմատիկա[14], գաղտնագրություն[15] և հեռահաղորդակցություն[16]։ Բացի դա, ֆինանսական շուկայում թվացիալ պատահական փոփոխությունները հիմք են հանդիսացել ֆինանսներում պատահական պրոցեսների լայնորեն կիրառման համար[17][18][19]։

Գնդի մակերևույթի վրա Վիներյան կամ Բրոունյան շարժման պրոցեսի համակարգչային իրացում։ Վիներյան պրոցեսը համարվում է հավանականությունների տեսությունում ամենաուսումնասիրված և հիմնարար պատահական պրոցեսը[1][2][3]։

Կիրառությունները և երևույթների ուսումնասիրությունները դրդել են նոր պատահական պրոցեսների առաջարկների։ Նման պատահական պրոցեսների օրինակ է Վիներյան պրոցեսը կամ Բրաունյան շարժման պրոցեսը[Ն 1], որն օգտագործվել է Լուի Բաշելերը Փարիզի ֆոնդային բորսաում գնի փոփոխությունը ուսումնասիրելու համար[22] և Պուասոնի պրոցեսը, որն օգտագործել է Ա․ Կ․ Էրլանգը՝ որոշակի ժամանակահատվածում հեռախոսազանգերի քանակն ուսումնասիրելու համար[23]։ Այս պատահական պրոցեսները համարվում են պատահական պրոցեսների տեսության ամենակարևոր և հիմնական պրոցեսները[1][4][24] և մի քանի անգամ իրարից անկախ հայտնաբերվել են ինչպես նախքան Բաշելերը կամ Էրլանգը, այնպես էլ նրանցից հետո[22][25]։

Պատահական պրոցեսները նաև կոչվում են պատահական ֆունկցիա[26][27], քանի որ պատահական պրոցեսը կարելի է մեկնաբանել որպես ֆունկցիաների տարածությունում պատահական տարրեր[28][29]։ Պատահական պրոցես կամ ստոխաստիկ պրոցես եզրերը փոխարինելիորեն կիրառվում են առանց մաթեմատիկական տարածություն նշելու (պատահական մեծությունն ինդեքսավորող բազմության համար)[28][30]։ Բայց այս եզրերը հաճախ օգտագործվում են, երբ պատահական մեծությունները ինդեքսավորված են ամբողջ թվերով կամ միջակայքերով[5][30]։ Եթե պատահական մեծությունները ինդեքսավորված են Դեկարտյան հարթությամբ կամ այլ Էվկլիդյան տարածությամբ, ապա պատահական մեծությունների հավաքածում հաճախ կոչվում է պատահական դաշտ[5][31]։ Պատահական պրոցեսների արժեքները ոչ միշտ են թվեր․ դրանք կարող են լինել վեկտորներ կամ այլ մաթեմատիկական օբյեկտներ[5][29]։

Կախված իրենց մաթեմատիկական հատկություններից պատահական պրոցեսները կարող են խմբավորվել տարբեր կատեգորիաներում, որոնցից են պատահական քայլ[32], մարտինգալներ[33], Մարկովի շղթաներ[34], Լևիի պրոցեսներ[35], Գաուսյան պրոցեսներ[36], պատահական դաշտեր[37], վերսկսվող պրոցեսներ և ճյուղավորման պրոցեսներ[38]։ Պատահական պրոցեսներն ուսումնասիրելու համար օգտագործվում է հավանականությունների տեսությունից, մաթեմատիկական անալիզից (այդ թվում՝ իրական անալիզ, չափերի տեսություն, ֆուրեի անալիզ և ֆունկցիոնալ անալիզ[39][40][41]), գծային հանրահաշվից, բազմությունների տեսությունից և տոպոլոգիայից մաթեմատիկական գիտելիքներ և մեթոդներ[42][43][44]։ Պատահական պրոցեսների տեսությունը համարվում է կարևոր ներդրում մաթեմատիկայում[45] և շարունակում է մնալ ակտիվ հետազոտությունների առարկա՝ ինչպես կիրառության, այնպես էլ տեսական հետաքրքրության պատճառով[46][47][48]։

Ներածություն խմբագրել

Ստոխաստիկ կամ պատահական պրոցեսը կարելի է սահմանել որպես պատահական մեծությունների հավաքածու, որը ինդեքսավորված է որոշակի մաթեմատիկական բազմությամբ, այսինքն՝ պատահական պրոցեսի յուրաքանչյուր պատահական մեծությունը միակորեն կապված է բազմության որևէ տարրի հետ[4][5]։ Այս բազմությունը կոչվում է ինդեքսավորման բազմություն։ Պատմականորեն ինդեքսավորման բազմությունը եղել է իրական թվերի որևէ ենթաբազմություն, ինչպես օրինակ բնական թվերը՝ ինդեքսավորման բազմությանը ժամանակի մեկնաբանություն տալով[1]։ Հավաքածու յուրաքանչյուր պատահական մեծություն արժեքներ է ընդունում նույն տարածությունից, որը հայտնի է վիճակի տարածություն անվամբ։ Այս տարածությունը կարող են լինել ամբողջ թվերը, իրական թվերը կամ   չափանի Էվկլիդյան տարածություն[1][5]։ Աճը այն չափն է, որով պատահական պորցեսը փոխվում է ինդեքսների արժեքների միջև (հաճախ մեկնաբանվում է որպես ժամանակի երկու կետ)[49][50]։ Պատահական պրոցեսը կարող են բազմաթիվ արդյունքներ ունենալ՝ իր պատահական լինելու պատճառով, իսկ պատահական պրոցեսի որևէ արդյունքը կոչում են իրացում[29][51]

 
A single computer-simulated sample function or realization, among other terms, of a three-dimensional Wiener or Brownian motion process for time 0 ≤ t ≤ 2. The index set of this stochastic process is the non-negative numbers, while its state space is three-dimensional Euclidean space.

Դասակարգում խմբագրել

Պատահական պրոցեսները կարելի է դասակարգել տարբեր ձևերով, օրինակ՝ իր վիճակի տարածությամբ, իր ինդեքսավորման բազմությամբ կամ պատահաման մեծության հետ կապով։ Դասակարգման ընդունված տարբերակ է ինդեքսավորման բազմության և վիճակի տարածության հազորությամբ ինդեքսավորումը[52][53][54]։

Եթե երըպատահական պրոցեսի ինդեքսավորման բազմությունը ունի վերջավոր քանակությամբ կամ հաշվելի անդամներ, ինչպես օրիկնակ թվերի որևէ վերջավոր բազմություն, ամբողջ կամ բնական թվերի բազմությունը, և այն մեկնաբանվում է որպես ժամանակ, ապա ասում են, որ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում դիսկրետ ժամանակում[55][56]։ Նմանապես, եթե ինդեքսավորման բազմությունը իրական առանցքի որևէ միջակայք է և այն մեկնաբանվում է որպես ժամանակ, ապա ասում են, որ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում անընդհատ ժամանակում։ Այս երկու տեսակի տեսակի պատահական պրոցեսները համապատասխանաբար կոչվում են դիսկրետ և անընդհատ պարամետրով պատահական պրոցեսներ[49][57][58][59]։ Համարվում է, որ դիսկրետ պարամետրով պատահական պրոցեսները ավելի հեշտ է ուսումնասիրել, քանի որ անընդհատ պարամետրով պատահական պրոցեսները պահանջում են ավելի բարդ մաթեմատիկական գիտելիքներ, հիմնականում անհաշվելի ինդեքսավորման բազմության պատճառով[60][61]։ Եթե ինդեքսավորման բազմությունը ամբողջ թվերի բազմությունն է կամ դրա ինչ-որ ենթաբազմություն, ապա պատահական պրոցեսը նաև կոչում են պատահական հաջորդականություն[56]։

Եթե վիճակի տարածությունը ամբողջ կամ բնական թվերն են, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է դիսկրետ կամ ամբողջարժեքանի պատահական պրոցես։ Եթե վիճակի տարածությունը իրական առանցքն է, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է իրական անընդհատ վիճակի տարածությամբ պրոցես։ Եթե վիճակի տարածությունը   չափանի Էվկլիդյան տարածությունն է, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է   չափանի վեկտորական պրոցես[52][53]։

Տերմինաբանություն խմբագրել

Պատահական պրոցեսի սահմանումները տարբերվում են[62], բայց ավանդաբար պատահական պրոցեսը սահմանվում է որպես պատահական մեծությունների հավաքածու, որոնք ինդեքսավորված են որևէ բազմությամբ[63][64]Պատահական պրոցես և ստոխաստիկ պրոցես եզրերը համարվում են հոմանիշ և փոխարինելիորեն կիրառվում են առանց ինդեքսավորման բազմությունը շեշտելու[28][30][31][65][66][67]։ Կիրառվում են և՛ «հավաքածու»[29][65], և՛ «ընտանիք» եզրերը[4][68], իսկ «ինդեքսավորման բազմության» փոխարեն հաճախ կիրառվում է «պատամետրերի բազմություն»[29] կամ «պարամետրերի տարածություն»[31] եզրերը։

Պատահական ֆունկցիա եզրը նույնպես օգտագործվում է ստոխաստիկ կամ պատահական պրոցեսի փոխարեն[5][69][70] , չնայած այս անվանումը օգտագործվում է միայն այն դեպքում, երբ պատահական պրոցեսը ընդունում է իրական արժեքներ[29][68]։ Այս եզրը նաև օգտագործվում է, երբ ինդեքսավորման բազմությունը իրական թվերի տարբեր այլ մաթեմատիկական տարածություն է[5][71] , մինչդեռ ստոխաստիկ պրոցես կամ պատահական պրոցես եզրերը սովորաբար կիրառվում է, երբ ինդեքսավորման բազմությունը մեկնաբանվում է որպես ժամանակ[5][71][72][73]։ Երբ ինդեքսավորման բազմությունը   չափանի Էվկլիդյան տարածություն է կամ որևէ բազմաձևություն, սովորաբար կիրառվում է պատահական դաշտ եզրը[5][29][31]։

Նշանակում խմբագրել

Պատահական պրոցեսները նշանակվում են  [57],  [64],  [74],   կամ պարզապես   կամ   ձևով, չնայած   նշանակումը համարվում է ֆունկցիայի նշանակման չարաշահում[75]։ Օրինակ՝  -ով կամ  -ով նշանակում են   ինդեքսով պատահական մեծությունը, ոչ թե ամբողջ պատահական պրոցեսը[74]։ Եթե   ինդեքսավորման բազմություն էմ, ապա պատահական պրոցեսը կարելի է նշանակել   ձևով[30]։

Օրինակներ խմբագրել

Բեռնուլիի պրոցես խմբագրել

Ամենապարզ պատահական պրոցեսներից մեկը Բեռնուլիի պրոցեսն է[76], որը անկախ և նույնական բաշխմամաբ պատահական մեծությունների հաջորդականություն է, որոնցից յուրաքանչյուրը ընդունում է մեկ կամ զրո արժեքը, համապատասխանաբար   և   հավանականությամբ։ Այս պրոցեսով կարելի է մոդելավորել մետաղադրամի պարբերաբար նետումը, որտեղ գիր ունենալու հավանականությունը   իսկ գերբ ունենալու հավաբականությունը՝  [77]: Այլ կերպ ասած՝ Բեռնուլիի պրոցեսը անկախ և նույնական բաշխմամաբ Բեռնուլիի պատահական մեծությունների հաջորդականություն է[78], որտեղ մետաղադրամի յուրաքանչյուր նետումը Բեռնուլիի փորձի օրինակ է[79]։

Պատահական քայլ խմբագրել

Պատահական քայլերը պատահական պորցեսներ են, որոնք սովորաբար սահմանվում են որպես իր անկախ և նույնական բաշխմամաբ պատահական մեծությունների կամ Էվկլիդյան տարածությունում պատահական վեկտորների գումար, այսինքն՝ այս պրոցեսները փոխվում են ժամանակում[80][81][82][83][84]։ Սակայն, որոշ հեղինակներ եզրը կիրառում են անընդհատ ժամանակում փոխվող պրոցեսների համար[85], մասնավորապես՝ ֆինանսներում գործածվող Վիներյան պրոցեսը, ինչը որոշ շփոթության և քննադատության առիթ է տվել[86]։ Գոյություն ունեն պատահական քայլերի այլ տարբերակներ՝ սահմանված այլ մաթեմատիկական օբյեկտների վիճակի տարածության վրա, ինչպես օրինակ՝ խմբերը կամ կավարներ, և ընդհանուր առմամաբ պատահական քայլերը լայնորեն ուսումնասիրվել և կիրառվում են տարբեր բնագավառներում[85][87]։

Պատահական քայլի դասական օրինակներից մեկը կոչվում է պարզ պատահական քայլ, որը դիսկրետ ժամանակում փոփոխվող պատահական պորցես է՝ սահմանված ամբողջ թվերի վիճակի տարածության վրա, և հիմնված է Բեռնուլիի պրոցեսի վրա, որտեղ կամայական Բեռնուլիի մեծություն ընդունում է դրական կամ բացասական մեկ արժեքը։ Այլ կարպ ասած՝ պարզ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում ամբողջ թվերում և դրա արժեքը աճում է մեկով   հավանականությամբ կամ նվազում   հավանականությամբ, հետևաբար՝ այս պատահական քայլի ինդեքսավորման բազմությունը բնական թվերն են, իսկ վիճակի տարածությունը՝ ամբողջ թվերը։ Եթե  , ապա այս պատահական քայլը կոչվում է համաչափ պատահական քայլ[88][89]։

Նշումներ խմբագրել

  1. ↑ Բրաունյան շարժում եզրը կարող է վերաբերել ինչպես ֆիզիկական երևույթին, այնպես էլ պատահական պրոցեսին, բայց երկիմաստությունից խուսափելու համար այս հոդվածում մաթեմատիկական օբյեկտի համար օգտագործվում է Վիներյան պրոցես կամ Բրոունյան շարժման պրոցես եզրերը[20][21]։

Ծանոթագրություններ խմբագրել

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Joseph L. Doob (1990). Stochastic processes. Wiley. էջեր 46, 47.
  2. ↑ L. C. G. Rogers; David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. էջ 1. ISBN 978-1-107-71749-7.
  3. ↑ J. Michael Steele (2012). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science & Business Media. էջ 29. ISBN 978-1-4684-9305-4.
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 Emanuel Parzen (2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications. էջեր 7, 8. ISBN 978-0-486-79688-8.
  5. ↑ 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. էջ 1. ISBN 978-0-486-69387-3.
  6. ↑ Gagniuc, Paul A. (2017). Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation. NJ: John Wiley & Sons. էջեր 1–235. ISBN 978-1-119-38755-8.
  7. ↑ Paul C. Bressloff (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. ISBN 978-3-319-08488-6.
  8. ↑ N.G. Van Kampen (2011). Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier. ISBN 978-0-08-047536-3.
  9. ↑ Russell Lande; Steinar Engen; Bernt-Erik Sæther (2003). Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852525-7.
  10. ↑ Carlo Laing; Gabriel J Lord (2010). Stochastic Methods in Neuroscience. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-923507-0.
  11. ↑ Wolfgang Paul; Jörg Baschnagel (2013). Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-00327-6.
  12. ↑ Edward R. Dougherty (1999). Random processes for image and signal processing. SPIE Optical Engineering Press. ISBN 978-0-8194-2513-3.
  13. ↑ Thomas M. Cover; Joy A. Thomas (2012). Elements of Information Theory. John Wiley & Sons. էջ 71. ISBN 978-1-118-58577-1. Արխիվացված է օրիգինալից 2020 թ․ մայիսի 29-ին. Վերցված է 2020 թ․ օգոստոսի 6-ին.
  14. ↑ Michael Baron (2015). Probability and Statistics for Computer Scientists, Second Edition. CRC Press. էջ 131. ISBN 978-1-4987-6060-7.
  15. ↑ Jonathan Katz; Yehuda Lindell (2007). Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols. CRC Press. էջ 26. ISBN 978-1-58488-586-3.
  16. ↑ François Baccelli; Bartlomiej Blaszczyszyn (2009). Stochastic Geometry and Wireless Networks. Now Publishers Inc. ISBN 978-1-60198-264-3.
  17. ↑ J. Michael Steele (2001). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-95016-7.
  18. ↑ Marek Musiela; Marek Rutkowski (2006). Martingale Methods in Financial Modelling. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-26653-2.
  19. ↑ Steven E. Shreve (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-40101-0.
  20. ↑ Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-69387-3.
  21. ↑ Murray Rosenblatt (1962). Random Processes. Oxford University Press.
  22. ↑ 22,0 22,1 Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). «A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970». A Festschrift for Herman Rubin. Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series. էջեր 75–80. CiteSeerX 10.1.1.114.632. doi:10.1214/lnms/1196285381. ISBN 978-0-940600-61-4. ISSN 0749-2170.
  23. ↑ Stirzaker, David (2000). «Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary». The Mathematical Gazette. 84 (500): 197–210. doi:10.2307/3621649. ISSN 0025-5572. JSTOR 3621649.
  24. ↑ Donald L. Snyder; Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. էջ 32. ISBN 978-1-4612-3166-0.
  25. ↑ Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). «What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes». International Statistical Review. 80 (2): 253–268. doi:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN 0306-7734.
  26. ↑ Gusak, Dmytro; Kukush, Alexander; Kulik, Alexey; Mishura, Yuliya; Pilipenko, Andrey (2010). Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory. Springer Science & Business Media. էջ 21. ISBN 978-0-387-87862-1.
  27. ↑ Valeriy Skorokhod (2005). Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. էջ 42. ISBN 978-3-540-26312-8.
  28. ↑ 28,0 28,1 28,2 Olav Kallenberg (2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. էջեր 24–25. ISBN 978-0-387-95313-7.
  29. ↑ 29,0 29,1 29,2 29,3 29,4 29,5 29,6 John Lamperti (1977). Stochastic processes: a survey of the mathematical theory. Springer-Verlag. էջեր 1–2. ISBN 978-3-540-90275-1.
  30. ↑ 30,0 30,1 30,2 30,3 Loïc Chaumont; Marc Yor (2012). Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning. Cambridge University Press. էջ 175. ISBN 978-1-107-60655-5.
  31. ↑ 31,0 31,1 31,2 31,3 Robert J. Adler; Jonathan E. Taylor (2009). Random Fields and Geometry. Springer Science & Business Media. էջեր 7–8. ISBN 978-0-387-48116-6.
  32. ↑ Gregory F. Lawler; Vlada Limic (2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-48876-1.
  33. ↑ David Williams (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40605-5.
  34. ↑ L. C. G. Rogers; David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-71749-7.
  35. ↑ David Applebaum (2004). Lévy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83263-2.
  36. ↑ Mikhail Lifshits (2012). Lectures on Gaussian Processes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-24939-6.
  37. ↑ Robert J. Adler (2010). The Geometry of Random Fields. SIAM. ISBN 978-0-89871-693-1.
  38. ↑ Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. ISBN 978-0-08-057041-9.
  39. ↑ Patrick Billingsley (2008). Probability and Measure. Wiley India Pvt. Limited. ISBN 978-81-265-1771-8.
  40. ↑ Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. ISBN 978-3-319-09590-5.
  41. ↑ Adam Bobrowski (2005). Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83166-6.
  42. ↑ Bruce Hajek (2015). Random Processes for Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-24124-0.
  43. ↑ G. Latouche; V. Ramaswami (1999). Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling. SIAM. ISBN 978-0-89871-425-8.
  44. ↑ D.J. Daley; David Vere-Jones (2007). An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21337-8.
  45. ↑ Applebaum, David (2004). «Lévy processes: From probability to finance and quantum groups». Notices of the AMS. 51 (11): 1336–1347.
  46. ↑ Jochen Blath; Peter Imkeller; Sylvie Rœlly (2011). Surveys in Stochastic Processes. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-072-2.
  47. ↑ Michel Talagrand (2014). Upper and Lower Bounds for Stochastic Processes: Modern Methods and Classical Problems. Springer Science & Business Media. էջեր 4–. ISBN 978-3-642-54075-2.
  48. ↑ Paul C. Bressloff (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. էջեր vii–ix. ISBN 978-3-319-08488-6.
  49. ↑ 49,0 49,1 Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. էջ 27. ISBN 978-0-08-057041-9.
  50. ↑ Applebaum, David (2004). «Lévy processes: From probability to finance and quantum groups». Notices of the AMS. 51 (11): 1337.
  51. ↑ L. C. G. Rogers; David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. էջեր 121–124. ISBN 978-1-107-71749-7.
  52. ↑ 52,0 52,1 Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. էջեր 294, 295. ISBN 978-1-118-59320-2.
  53. ↑ 53,0 53,1 Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. էջ 26. ISBN 978-0-08-057041-9.
  54. ↑ Donald L. Snyder; Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. էջեր 24, 25. ISBN 978-1-4612-3166-0.
  55. ↑ Patrick Billingsley (2008). Probability and Measure. Wiley India Pvt. Limited. էջ 482. ISBN 978-81-265-1771-8.
  56. ↑ 56,0 56,1 Alexander A. Borovkov (2013). Probability Theory. Springer Science & Business Media. էջ 527. ISBN 978-1-4471-5201-9.
  57. ↑ 57,0 57,1 Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. էջ 120. ISBN 978-3-319-09590-5.
  58. ↑ Jeffrey S Rosenthal (2006). A First Look at Rigorous Probability Theory. World Scientific Publishing Co Inc. էջեր 177–178. ISBN 978-981-310-165-4.
  59. ↑ Համբարձումյան, Գ․ Հ․ (1977). Հավանականությունների տեսություն. Երևան: «Լույս» հրատարակչություն. էջ 161.
  60. ↑ Peter E. Kloeden; Eckhard Platen (2013). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer Science & Business Media. էջ 63. ISBN 978-3-662-12616-5. Արխիվացված է օրիգինալից 2020 թ․ մայիսի 29-ին. Վերցված է 2020 թ․ օգոստոսի 7-ին.
  61. ↑ Davar Khoshnevisan (2006). Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields. Springer Science & Business Media. էջեր 153–155. ISBN 978-0-387-21631-7.
  62. ↑ Bert E. Fristedt; Lawrence F. Gray (2013). A Modern Approach to Probability Theory. Springer Science & Business Media. էջ 580. ISBN 978-1-4899-2837-5.
  63. ↑ L. C. G. Rogers; David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. էջեր 121, 122. ISBN 978-1-107-71749-7.
  64. ↑ 64,0 64,1 Søren Asmussen (2003). Applied Probability and Queues. Springer Science & Business Media. էջ 408. ISBN 978-0-387-00211-8.
  65. ↑ 65,0 65,1 David Stirzaker (2005). Stochastic Processes and Models. Oxford University Press. էջ 45. ISBN 978-0-19-856814-8.
  66. ↑ Murray Rosenblatt (1962). Random Processes. Oxford University Press. էջ 91.
  67. ↑ John A. Gubner (2006). Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. Cambridge University Press. էջ 383. ISBN 978-1-139-45717-0.
  68. ↑ 68,0 68,1 Kiyosi Itō (2006). Essentials of Stochastic Processes. American Mathematical Soc. էջ 13. ISBN 978-0-8218-3898-3.
  69. ↑ M. Loève (1978). Probability Theory II. Springer Science & Business Media. էջ 163. ISBN 978-0-387-90262-3.
  70. ↑ Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. էջ 133. ISBN 978-3-319-09590-5.
  71. ↑ 71,0 71,1 Gusak et al. (2010), p. 1
  72. ↑ Richard F. Bass (2011). Stochastic Processes. Cambridge University Press. էջ 1. ISBN 978-1-139-50147-7.
  73. ↑ Համբարձումյան, Գ․ Հ․ (1977). Հավանականությունների տեսություն. Երևան: «Լույս» հրատարակչություն. էջ 260.
  74. ↑ 74,0 74,1 John Lamperti (1977). Stochastic processes: a survey of the mathematical theory. Springer-Verlag. էջ 3. ISBN 978-3-540-90275-1.
  75. ↑ Fima C. Klebaner (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press. էջ 55. ISBN 978-1-86094-555-7.
  76. ↑ Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. էջ 293. ISBN 978-1-118-59320-2.
  77. ↑ Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. էջ 301. ISBN 978-1-118-59320-2.
  78. ↑ Dimitri P. Bertsekas; John N. Tsitsiklis (2002). Introduction to Probability. Athena Scientific. էջ 273. ISBN 978-1-886529-40-3.
  79. ↑ Oliver C. Ibe (2013). Elements of Random Walk and Diffusion Processes. John Wiley & Sons. էջ 11. ISBN 978-1-118-61793-9.
  80. ↑ Achim Klenke (2013). Probability Theory: A Comprehensive Course. Springer. էջ 347. ISBN 978-1-4471-5362-7.
  81. ↑ Gregory F. Lawler; Vlada Limic (2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press. էջ 1. ISBN 978-1-139-48876-1.
  82. ↑ Olav Kallenberg (2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. էջ 136. ISBN 978-0-387-95313-7.
  83. ↑ Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. էջ 383. ISBN 978-1-118-59320-2.
  84. ↑ Rick Durrett (2010). Probability: Theory and Examples. Cambridge University Press. էջ 277. ISBN 978-1-139-49113-6.
  85. ↑ 85,0 85,1 Weiss, George H. (2006). «Random Walks». Encyclopedia of Statistical Sciences. էջ 1. doi:10.1002/0471667196.ess2180.pub2. ISBN 978-0471667193.
  86. ↑ Aris Spanos (1999). Probability Theory and Statistical Inference: Econometric Modeling with Observational Data. Cambridge University Press. էջ 454. ISBN 978-0-521-42408-0.
  87. ↑ Fima C. Klebaner (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press. էջ 81. ISBN 978-1-86094-555-7.
  88. ↑ Allan Gut (2012). Probability: A Graduate Course. Springer Science & Business Media. էջ 88. ISBN 978-1-4614-4708-5.
  89. ↑ Geoffrey Grimmett; David Stirzaker (2001). Probability and Random Processes. OUP Oxford. էջ 71. ISBN 978-0-19-857222-0.
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 9, էջ 145)։  
Ստացված է «https://hy.wikipedia.org/w/index.php?title=Պատահական_պրոցես&oldid=9465108» էջից