Դիսպերսիա (վիճակագրություն)

Հավանականության տեսության և վիճակագրության մեջ դիսպերսիան կամ վարիացիան պատահական փոփոխականի միջին քառակուսային շեղման սպասումն է դրա միջինից, և այն չափում է, թե որքան է թվերի պատահական բազմությունը դրանց միջինից ցրված: Վարիացիան ունի կենտրոնական դեր վիճակագրության մեջ: Այն օգտագործվում է նկարագրական վիճակագրության, վիճակագրական եզրակացության, վարկածի ստուգման, վիճակագրական չափանիշի, Մոնտե Կառլոի մեթոդի և այլնի մեջ: Դա դարձնում է վարիացիան կենտրոնական մեծություն տարբեր ոլորտներում՝ ֆիզիկայի, կենսաբանության, քիմիայի, տնտեսագիտության և ֆինանսների մեջ: Վարիացիան միջին քառակուսային շեղման քառակուսին է, բաշխման երկրորդ կենտրոնական մոմենտը և պատահական փոփոխականի կովարիացիան, և այն հաճախ ներկայացվում է կամ :

ՍահմանումԽմբագրել

  պատահական փոփոխականի վարիացիան  ,  -ի միջինից միջին քառակուսային շեղման սպասված արժեքն է:

 

Այս սահմանումը ներառում է պատահական փոփոխականներ, որոնք առաջանում են դիսկրետ, անընդհատ, Կանտորի բաշխման կամ խառնուրդ գործողություններից: Վարիացիան կարող է լինել նաև պատահական փոփոխականի կովարիացիա:

 

Վարիացիան նաև համարժեք է   առաջացնող հավանականային բաշխման երկրորդ կոմուլյանտին: Վարիացիան սովորաբար նշանակվում է  ,  , կամ պարզապես   (արտասանվում է "սիգմա քառակուսի"): Վարիացիայի համար արտահայտությունը կարող է ընդարձակվել:

 

Վերը նշված արտահայտության հուշօգնիչն է "քառակուսու միջին հանած միջինի քառակուսի": Թվաբանության հաշվողական տեսանկյունից այս հավասարումը չպետք է օգտագործվի, քանի որ այն նշանակալիության կորստի խնդիր ունի, եթե հավասարման երկու բաղադրիչներ նույն չափն ունեն: Գոյություն ունեն թվաբանորեն կայուն այլընտրանքներ:

Անընդհատ պատահական փոփոխականներԽմբագրել

Եթե   պատահական փոփոխականը ներկայացնում է նմուշներ՝ առաջացած անընդհատ բաշխումով հավանականային խտության ֆունկցիայի հետ  , ապա համախմբի վարիացիան տրվում է

 

where   is the expected value,

 

և որտեղ ինտեգրալները որոշյալ ինտեգրալներ են՝ վերցված of   տիրույթը ծածկող  -ի համար:

Եթե անընդհատ բաշխումը չունի սպասված արժեք, ինչպես օրինակ՝ Կոշի բաշխման դեպքում, այն նաև չունի վարիացիա: Բազմաթիվ այլ բաշխումներ, որոնց համար սպասված արժեք գոյություն ունի, չունեն վերջավոր վարիացիա, որովհետև ինտեգրալը վարիացիայի սահմանման մեջ տարամիտում է: Պարետո բաշխումը օրինակ է, որի   ինդեքսը բավարարում է  :

Դիսկրետ պատահական փոփխականներԽմբագրել

Եթե   պատահական փոփոխականի գեներատորը դիսկրետ է   հավանականային զանգվածի ֆունկցիայով, ապա

 

կամ համարժեքորեն

 

որտեղ  -ը սպասված արժեքն է, օրինակ՝

 

(Երբ այսպիսի դիսկրետ կշռված վարիացիան մասնավորված է զանգվածներով, որոնց գումարը 1 չէ, ապա այն բաժանվում է զանգվածների գումարով)

  հավասարապես հավանական արժեքների բազմության վարիացիան կարող է գրվել

 

որտեղ  -ը սպասված արժեքն է, օրինակ՝

 

  հավասարապես հավանական արժեքների բազմության վարիացիան կարող է համարժեքորեն արտահայտվել ըստ բոլոր կետերի իրարից քառակուսային շեղումների:առանց ուղղակիորեն միջինից օգտվելու[1]։

 

ՕրինակներԽմբագրել

Նորմալ բաշխումԽմբագրել

Նորմալ բաշխումը μ և σ պարամետրերով անընդհատ բաշխում է, որի հավանականային խտության ֆունկցիան տրված է

 

Այս բաշխման մեջ E(X) = μ և Var(X) վարիացիան կապված է σ-ի հետ

 -ով

Նորմալ բաշխման դերը կենտրոնական սահմանային թեորեմի մեջ հավանականության և ստատիստիկայի մեջ վարիացիայի գերակշռության համար պատասխանատու մասում է:

Էքսպոնենցիալ բաշխումԽմբագրել

Էքսպոնենցիալ բաշխումը   պարամետրով անընդհատ բաշխում է, որի աջակցությունը   կիսավերջավոր միջակայքն է: Դրա հավանականային խտության ֆունկցիան տրված է

 

և այն ունի   սպասված արժեք: Վարիացիան հավասար է

 

Այսպիսով էքսպոնենցիալ բաշխման պատահական փոփոխականի համար  .

Պուասոնյան բաշխումԽմբագրել

Պուասոնյան բաշխումը   պարամետրով դիսկրետ բաշխում է  -ի համար: Դրա հավանականային զանգվածի ֆունկցիան տրված է

 

և այն ունի սպասված արժեք  : Վարիացիան հավասար է

 

Այսպիսով Պուասոնյան բաշխման պատահական փոփոխականի համար  :

Բինոմական բաշխումԽմբագրել

Բինոմական բաշխումը   և   պարամետրերով դիսկրետ բաշխում է  -ի համար: Դրա հավանականային զանգվածի ֆունկցիան տրված է

 

և այն ունի սպասված արժեք  : Վարիացիան հավասար է

 

Նետված մետաղադրամԽմբագրել

Բինոմական բաշխումը  -ով բացատրում է   ղուշեր   նետումների ընթացքում ընկնելու հավանականությունը:Այդպիսով ղուշ ընկնելու քանակի սպասված արժեքը   է, իսկ վարիացիան՝  :

Չկեղծված զառԽմբագրել

Վեցկողմանի չկեղխված զառը կարող է մոդելավորվել դիսկրետ պատահական փոփոխականով 1 մինչև 6 արժեքները, յուրաքանչյուրը հավասար հավանականությամբ  : Սպասված արժեքը  : Վարիացիան կարելի է հաշվել

 

n կողմերով զառի X փոփոխականի վարիացիան գտնելու ընդհանուր բանաձևն է

 

ՀատկություններԽմբագրել

Հիմնական հատկություններԽմբագրել

Վարիացիան բացասական արժեք չի ընդունում, քանի որ քառակուսիները կամ դրական են կամ զրո:

 

Հաստատուն պատահական փոփոխականի վարիացիան զրո է և եթե փոփոխականի վարիացիան տվյալների բազմության մեջ 0 է, ապա բոլոր մուտքագրումները նույն արժեքն ունեն:

 

Վարիացիան ինվարիանտ է ըստ տեղակայման պարամետրի փոփոխությունների: Դա նշանակում է, որ եթե հաստատունը ավելացվել է փոփոխականի բոլոր արժեքներին, ապա վարիացիան չի փոխվել:

 

Եթե բոլոր արժեքները մասշտաբավորված են հաստատունով, վարիացիան մասշտաբավորվում է հաստատունի քառակուսով

 

Երկու պատահական փոփոխականների գումարի վարիացիան տրվում է

 
 

որտեղ Cov(⋅, ⋅)կովարիացիան է: Ընդհանուր դեպքում   պատահական փոփոխականների գումարի համար ունենք  :

 

Արդյունքները տանում են գծային կոմբինացիայի վարիացիային

 

Եթե   պատահական փոփոխականներն այնպիսին են, որ

 

դրանք կոչվում են չփոխկապակցված: Անմիջապես հետևում է նախորդում նշված արտահայտությունից, որ   պատահական փոփոխականները չփոխկապակցված են, ապա դրանց գումարի վարիացիան հավասար է իրենց վարիացիաների գումարին կամ սիմվոլներով ասած

 

Քանի որ անկախ պատահական փոփոխականները միշտ չփոխկապացված են, վերը նշված հավասարումը աշխատում է, երբ   պատահական փոփոխականներն անկախ են: Այդ պատճառով անկախությունը բավարար է, բայց ոչ պարտադիր գումարի վարիացիային վարիացիաների գումարին հավասարվելու համար:

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Yuli Zhang, Huaiyu Wu, Lei Cheng (June 2012)։ Some new deformation formulas about variance and covariance։ Proceedings of 4th International Conference on Modelling, Identification and Control(ICMIC2012)։ էջեր 987–992