Մեծ թվերի օրենք

Մեծ թվերի օրենք, մաթեմատիկայում, հավանականությունների տեսության ընդհանուր սկզբունք, ըստ որի՝ մեծ թվով պատահական գործոնների համատեղ արդյունքը, որոշ, բավականաչափ ընդհանուր դեպքերում, ըստ էության պատահական չէ (համարյա կախված չէ դիպվածից)։ Մեծ թվերի օրենքի ճշգրիտ մաթեմատիկական ձևակերպումը և կիրառման պայմանները, որ տրվում են հավանականությունների տեսության մեջ, արտահայտվում է մի շարք թեորեմների ձևով։ Առաջին խիստ ապացուցված թեորեմը պատկանում է Յակոբ Բեռնուլիին։ Այն ձևակերպվում է այսպես․

եթե ունենք անկախ փորձերի հաջորդականություն, որոնցից յուրաքանչյուրում պատահույթի հանդես գալու հավանականությունը միևնույն Р(0<Р<1) թիվն է, ապա ցանկացած ε(ε>0) թվի համար

$\lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\frac {\mu _{n}}{n}}-\mu |>\varepsilon \,\right)=0.$

այստեղ μ_п-ը առաջին ո փորձերում A-ի հանդես գալու թիվն է (${\frac {\mu _{n}}{n}}$ հաճախությունը)։

Այս թեորեմը հետագայում ընդհանրացվել է Սիմեոն Պուասոնը, որի աշխատություններից մեկում և առաջին անգամ հանդես է եկել «Մեծ թվերի օրենք» եզրը։ Պաֆնուտի Չեբիշևը տվել է ինչպես մեծ թվերի օրենքի ավելի ընդհանուր ըմբռնումը, այնպես էլ՝ Պուասոնի ստացած թեորեմի, ինչպես նաև՝ ավելի ընդհանուր թեորեմի ապացուցումը։ Մեծ թվերի օրենքին վերաբերող այսպիսի թեորեմներից մեկը կարելի է ձևակերպել այսպես․ Եթե ունենք $X_{1},X_{2},...,X_{n},..$ անկախ պատահական մեծությունները, որոնք ունեն սահմանափակ դիսպերսիա ($DX_{n}\leq C$), ապա նրանց

$X_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}$

թվաբանական միջինը 1-ին մոտ հավանականությամբ ցանկացած չափով քիչ է տարբերվում (շեղվում) այդ պատահական մեծությունների $EX_{n}$ մաթեմատիկական սպասումների

$A_{n}={\frac {EX_{1}+EX_{2}+...+EX_{n}}{n}}$

միջինից՝

$\lim _{n\to \infty }\Pr \left(|{\bar {X_{n}}}-A_{n}|>\epsilon \right)=0$։

Մեծ թվերի օրենքի տարբեր տեքստերին վերաբերող ավելի ընդհանուր թեորեմներ ապացուցել են Ա․ Մարկովը, Ս․ Բեռնշտայնը, Ա․ Խինչինը, Ա․ Կոլմոգորովը և Է․ Բորելը։

Կիրառություն

Մեծ թվերի օրենքը ապահովում է թերմոդինամիկական մեծությունների (օրինակ՝ ճնշման, ջերմաստիճանի) արժեքների կայությունը․ այլ կերպ ասած, այդ մեծությունները կախված չեն գազի կամ հեղուկի առանձին մոլեկուլների կինետիկ պարամետրերի ֆլուկտուցիաներից։

Տնտեսագիտության մեջ և սոցիալ–տնտեսական վիճակագրությունում, զանգվածային սոցիալ–տնտեսական պրոցեսների օրինաչափությունների ձևավորմանը նպաստող (և նրանց հիմքում ընկած) կարևորագույն օբյեկտիվ օրենքներից մեկը։ Հանդես է գալիս որպես ուսումնասիրվող երևույթների թվաքանակի և այդ երևույթներին ներհատուկ ընդհանուր օրինաչափությունների դրսևորման աստիճանի միջև կապի ձև․ որակապես համասեռ համախմբություններում (այդ համախմբությունները կազմված են եզակի պատահական երևույթներից) օրինաչափությունները հանդես են գալիս (և հետևաբար՝ կարող են ուսումնասիրվել) միայն եզակի պատահական երևույթների շատ մեծ քանակության դեպքում։

Վիճակագրության մեջ մեծ թվերի օրենքը ընտրանքային մեթոդի հիմքն է․ բավականաչափ մեծ ծավալով ընտրանքի դեպքում, հատկանիշի ընտրանքային ընդհանրացնող ցուցանիշները շատ մոտ են գլխավոր համակցության ընդհանրացնող ցուցանիշներին։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 7, էջ 432)։