Բացել գլխավոր ցանկը
5 խնձորի բազմաբատկումը երեքով, ինչպես և 3 խնձորի բազմապատկումը 5-ով հավասար է 15

Բազմապատկում, երկու արգումենտների (բազմապատկիչ, արտադրիչ) հետ հանրահաշվական հիմնական գործողություններից մեկն է։ Երբեմն առաջին արգումենտն անվանում են բազմապատիկ, իսկ երկրորդը՝ բազմապատկիչ, երկու թվերի բազմապատկման արդյունքն անվանում են արտադրյալ։

Բազմապատկումն ունի կոնկրետ տարբեր իմաստներ և համապատասխանաբար տարբեր նշանակություն, կապված արտադրիչների տեսակից և արտադրյալից[1]ː

Այսպիսով բնական թվերի համար բազմապատկումը սահմանվում է որպես գումար, որպեսզի բազմապատկենք թիվը -ով, անհրաժեշտ է իրար գումարել հատ թիվ՝

.

Արտադրիչների հաջորդականությունից կախված արտադրյալը չի փոխվում, քանի որ թվերի բազմապատկումը համարվում է տեղափոխական գործողություն։ Օրինակ՝ և թվերի արտադրյալը կարելի է գրել ինչպես , այնպես էլ (արտասանվում է «երեք անգամ հինգ», «հինգ անգամ երեք»), և երկու դեպքում էլ արդյունքում ստանում ենք ։ Ստուգում գումարման միջոցով՝

,
։

Բազմապատկումը սահմանվում է նաև ամբողջ, ռացիոնալ և կոմպլեքս թվերի համար, համակարգային ընդհանրացման միջոցով։

Այլ մաթեմատիկական, ֆիզիկական և աբստրակտ մեծությունների բազմապատկումը (օրինակ քվատերիոնների, մատրիցների, վեկտորների, բազմությունների և այլ) ոչ միշտ է համարվում տեղափոխական գործողություն։ Ֆիզիկական մեծությունների բազմապատկման ժամանակ կարևոր դեր է խաղում դրանց չափականությունը։ Բազմապատկման գործողության ընդհանուր հատկությունների ուսումնասիրումը մտնում է աբստրակտ հանրահաշվի խնդիրների, մասնավորապես խմբերի և օղակների տեսության մեջ[1]։

Բովանդակություն

Գրառման ձևեր և տերմինաբանությունԽմբագրել

Բազմպատկումը գրվում է արգումենտների միջև բազմապատկման նշանի (∙, ×, *) օգտագործմամբ, գրառման տվյալ ձևն անվանում են մաթեմատիկական նշանագրություն։ Տվյալ կոնտեքստում բազմապատկման նշանը համարվում է բինար օպերատոր։ Բազմապատկումը չունի հատուկ նշան, ինչպես օրինակ գումարման նշանն է։

Օգտագործվող սիմվոլներից ամենահինը անկյունագծային խաչն է (×)։ Առաջին անգամ այն օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկոս Ուիլյամ Օթրեդը 1631 թվականի իր «Clavis Mathematicae» աշխատությունում։

Գերմանացի մաթեմատիկոս Լայբնիցը գերադասում էր բարձրացված կետի (∙) տեսք ունեցող նշանը։ Այս նշանը նա օգտագործել է 1698 թվականի նամակում։

Յոհան Ռանը որպես բազմապատկման նշան ներմուծեց աստղանիշը (∗), այն հայտնվել է նրա 165» թվականի «Teutsche Algebra» աշխատությունից։ Այժմ աստղանիշը հիմնականում օգտագործվում է համակարգչային ծրագրային կոդերում։

Արդյունքը գրվում է օգտագործելով համասարման նշանը « », օրինակ՝

 
  («վեցը բազմապատկած երեքով հավասար է տասնութ» կամ «վեց անգամ երեք հավասար է տասնութ»)։

Հաճախ մաթեմատիկական արտահայտություններում բազմապատկման նշանը, եթե չի առաջացնում բազմանշանակության խնդիր, բաց է թողնվում։ Օրինակ՝  գրվում է  ։ Որպես կանոն բազմապատկման նշանը բաց են թողնում, երբ արտադրիչներից մեկը փոփոխական է, ֆունկցիա կամ փակագծերում գրված արտահայտություն՝  ,  ,  ։

ՀատկություններԽմբագրել

Ստորև բերված են թվային բազմությունների   բազմապատկման գործողությունների հիմնական հատկությունները.

  • Բազմապատկումը տեղափոխական է, այսինքն արտադրիչների տեղերը փոխելիս արտադրյալը չի փոխվում։ Այս հատկությունը հայտնի է նաև բազմապատկաման տեղափոխական օրենք[2].
Տեղափոխական օրենք՝  
  • Բազմապատկումը զուգորդական է, այսինքն երեք և ավելի թվերի հաջորդական բազմապատկման ժամանակ կատարման հաջորդականությունը կարևոր չէ։ Երկու թվերի արտադրյալը երրորդ թվով բազմապատկելու համար կարելի է առաջին թիվը բազմապատկել երկրորդ և երրորդ թվերի արտադրյալով։ Այն հայտնի է որպես բազմապատկման զուգորդական օրենք[2].
Զուգորդականություն՝  
  • Բազմապատկումը բաշխական է, այս հատկությունը երկու բինար գործողությունների համաձայնեցում է, միևնույն բազմության մեջ։ Գումարը թվով բազմապատկելու համար կարելի է այդ թվով բազմապատկել յուրաքանչյուր գումարելին և ստացված արտադրյալները գումարել։ Այս հատկությունը հայտնի է որպես բաշխական օրենք[2].
Բաշխականություն՝  
  •  բազմության մեջ բազմապատկմանը համար գոյություն ունի միակ չեզոք տարրը՝  («մեկ» թիվը)։ Ցանկացած թվի և  -ի (չեզոք տարրի) արտադրյալը հավասար է այդ թվին.
Չեզոք տարր՝  
  •  -ով բազմապատկումը իդեոմպոտենտ է, այսինքն որևէ օբյեկտի նկատմամբ գործողության կրկնակի օգտագործումը տալիս է նույն արդյունքը, ինչ որ ոչ կրկնակին․
Իդեոմպոտենտություն՝  
  •  -ով (զրոյական տարր) բազմապատկման արդյունքում ստանում ենք   (զրո).
Զրոյական տարր՝  ։

Որևէ   բազմության թվերի բազմապատկման արդյունքում ստացված արդյունքը պատկանում է այդ նույն բազմությանը։ Հետևաբար, բազմապատկման գործողությունը պատկանում է փակ գործողություններին, այսինքն   թվերի բազմությունները առաջացնում են օղակներ բազմապատկման գործողություններին համապատասխան։

Աբստրակտ հանրահաշվում վերոնշյալ հատկությունները խոսում են այն մասին, որ  համարվում են բազմապատկմանը վերաբերող աբելյան խումբ։ Մաթեմատիկական արտահայտություններում բազմապատկումը գումարման և տարբերության հանդեպ ունի առավել բարձր առաջնություն, այսինքն բազմապատկումը կատարվում է դրանցից առաջ։

Իրական թվերի բազմության մեջ բազմապատկման ֆունկցիայի որոշման տիրույթի գրաֆիկական պատկերն ունի կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով անցնող և երկու կողմերից սեղմվող պարաբոլի տեսք։

Բազմապատկում գործողության կատարումԽմբագրել

Գործնակնում երկու թվերի բազմապատկման համար անհրաժեշտ է այն բերել ավելի պարզ գործողություների հաջորդական կատարման՝ «պարզ բազմապատկման», գումարման, համեմատման և այլն։ Սրա համար մշակվել են բազմապատկման տարբեր եղանակներ, օրինակ՝ կոտորակային թվերի և վեկտորների բազմապատկման համար։ Բնական թվերի բազմության մեջ ներկայումս օգտագործվում է կարգային ալգորիթմը։ Ընդորում այս դեպքում արտադրյալը դիտարկվում է որպես միջամտություն (այլ ոչ թե գործողություն)։

 
3 ∙ 3 = 9 գործողության քայլ առ քայլ կատարման օրինակը, թվային առանցքի վրա

Բազմապատկման գործողությունը բավականին բարդ է, այն բաղկացած է հարաբերականորեն մեծ թվով գործողություններից և մեծ թվերի բազմապատկման դեպքում կարող է զբաղեցնել տևական ժամանակահատված։ «Հասարակ բազմապատկումը» տվյալ համատեքստում նշանակում է միանիշ թվերի բազմապատկում, որը հերթությամբ կարող է բերվել գումարման գործողության։ Այն համարվում է գումարման հիպերօպերատոր՝

 

 

որտեղ   —ն,   տարրերի հաջորդական գումարն է։

Բազապատկման ընթացքը պարզեցնելու և արագ դարձնելու համար օգտագործում են «պարզ բազմապատկման» աղյուսակային մեթոդը, սրա համար նախապես հաշվում են 0-ից 9 թվերի արտադրյալի բոլոր կոմբինացիաները, արդյունքը պատկերված է բազմապատկման աղյուսակում[3]՝

Այս գործողությունը կիրառելի է բնական և ամբողջ (նշանը հաշվի առնելով) թվերի համար։ Այլ թվերի համար կիրառվում են ավեի բարդ ալգորիթմներ։

Թվերի բազմապատկումԽմբագրել

Բնական թվերԽմբագրել

Օգտվենք  բնական թվերի սահմանումից, որպես վերջավոր բազմությունների համարժեք դաս։ Նշանակենք վերջավոր բազմությունների համարժեք դասերը  , նրանցից առաջացած բիյեկցիաները՝  ։ Այս դեպքում հանրահաշվական «բազմապատկման» գործողությունը կորոշվի հետևյալ կերպ՝

 

որտեղ   բազմությունների անմիջական արտադրյալն է   բազմությունը, որի տարրերն են հանդիսանում կարգավորված   զույգը, հնարավոր բոլոր   համար։ Այս գործողությունը դասերի համար գրված է ավելի կոռեկտ, այսինքն կախված չէ դասերի տարրերի ընտրությունից և համընկնում է ինդուկտիվ սահմանման հետ։

Փոխադարձ միարժեք   վերջավոր բազմության պատկերումը   հատվածի վրա, կարելի է հասկանալ որպես   բազմության տարրերի համարակալում  ։ Համարակալման այս տարբերակն անվանում են «հաշիվ»։ Այսպիսով «հաշիվը» դա փոխադարձ միանշանակ համապատասխանության հաստատումն է բազմության տարրերի և բնական շարքի թվերի հատվածի միջև։

Բնական թվերի բազմապատկման ժամանակ դիրքային համակարգում թվերի նշանակման համար կիրառվում է բազմապատկման դասակարգային ալգորիթմը։

Եթե տվյալ երկու   և  թվերը այնպիսին են, որ

 

որտեղ  ,   — թվի թվանշանների քանակն է  ,   — կարգի հերթական համարն է (դիրքը),  ,   — հաշվարկման համկարգի հիմքը,  կոնկրետ հաշվարկման համակարգի թվանշանների (թվերի) բազմությունը  ,  ,  , ապա՝

 

բազմապտկելով ըստ դասակարգերի, կստանանք   միջանկյալ արդյունքներ՝

  •  
  •  
  •  
  •  

որտեղ՝ r — փոխանցվող արժեքն է, mod() — բաժանումից առաջացած մնացորդը գտնելու ֆունկցիան է, div() —  ոչ ամբողջ քանորդը գտնելու ֆունկցիան։

Այնուհետև ստացված   միջանկյալ արդյունքները գումարում ենք՝  ։

Այսպիսով բազմապատկման գործողությունը բերվում է միանիշ թվերի պարզ բազմապատկման գործեղությունների հաջորդականության  , անհրաժեշտության դեպքում տեղափոխության ձևակերպմամբ, որն իրականցվում է կամ աղյուսակային մեթոդով կամ հաջորդական գումարումով։

Թվերի հետ թվաբանական գործողությունները ցանկացած համակարգում կատարվում է նույն սկզբունքով, ինչ-որ տասական համակարգում, քանի որ դրանք բոլորը հիմնվում են բազմանդամների հետ համապատասխան գործողության կատարման կանոնների վրա։ Ընդորում անհրաժեշտ է օգտվել բազմապատկման աղյուսակից, տվյալ հաշվարկման համակարգի   հիմքի համապատասխան։

Բնական թվերի բազմապատկման օրինակներ երկուական, տասնորդական և տասնվեցական հաշվարկման համակարգերով, հարմարավետության համար թվերը գրվում են իրար տակ, համապատասխան կարգերով՝

 

Ամբողջ թվերԽմբագրել

Ամբողջ թվերի բազմությունը  բնական թվերի բազմության ընդլայնումն է, որը ստացվում է  տեսքի բացասական թվերի ավելացմամբ[4]։ Ամբողջ թվերի բազմությունը նշանակում են  ։ Ամբողջ թվերի հետ հանրահաշվական գորողությունները սահմանվում են որպես բնական թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակություն։

 
Դրական և բացասական թվերը թվային առանքի վրա

Ի տարբերությունը բնական թվերի, բացասական թվերը թվային առանցքի վրա ուղղված են հակառակ ուղղությամբ, սա որոշակիորեն փոխում է բազմապատկման գործողությունը։ Անհրաժեշտ է հաշվի առնել թվերի փոխադարձ ուղավծությունները, այստեղ հնարավոր է մի քանի տարբերակ․

  • Եթե երկու արգումենտներն էլ դրական են, ապա՝  
  • Եթե արգումենտներից մեկը բացասական է, ապա՝   կամ  
  • Եթե երկու արգումենտներն էլ բացասական են, ապա՝  ։

Այստեղ և հաջորդիվ ևս օգտագործվելու է կարգային բազմապատկման ալգորիթմը։ Օրինակ դիտարկենք  արտահայտությունը, քանի որ   և  թվերը ունեն տարբեր նշաններ, մինուսը դուրս ենք բերում փակագծերից, կստանանք հետևյալ արտադրյալը՝  , որն էլ հավասար է  ։

Ռացիոնալ թվերԽմբագրել

Ռացիոնլ թվերի բազմությունը նշանակում են՝  (անգլ.՝ quotient «քանորդ») և կարող է գրվել հետևյալ տեսքով․

 ։

Սովորական (կամ պարզ) կոտորակի տեսքով   ռացիոնալ թվերի բազմապատկման համար, անհրաժեշտ է իրար բազմապատկել կոտորակների համարիչներն ու հայտարարները։

Եթե տրված են երկու այնպիսի ռացիոնալ   և   թվեր, որ՝   (կոտորակները չեն կրճատվում), ապա՝[5]

 ։

Օրինակ՝

 ։

Իրական թվերԽմբագրել

Ավերջ տասնորդական կոտորակների տեսքով ներկայացված իրական թվերի հետ թվաբանական գործողությունները սահմանվում են որպես ռացիոնալ թվերի հետ կատարվող համապատասխան գործողությունների անըդհատ շարունակություն[6]։

Եթե տրված են երկու իրական թվեր, ներկայացված անվերջ տասնորդական կոտորակով՝

 
 

սահմանված համապատասխանաբար, ռացիոնալ թվերի հիմնարար հաջորդականությամբ (Կոշի պայմանին բավարարող), և նշանակված՝   և  , ապա նրանց արտադրյալն անվանում են  , որոշված կամայական   և  հաջորդականություններով՝

 

իրական   թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

 ։

Այսպիսով   և   երկու իրական թվերի արտադրյալ է հանդիսանում այն   իրական թվիը, որը մի կողմից գտնվում է   տեսքի բոլոր արտարյալներում և մյուս կողմից   տեսքի բոլոր արտադրյալներում[7]։

Գործնականում որպսիզի բազմապատկենք երկու՝   և   թվերը, ահրաժեշտ է դրանք փոխարինել պահանջվող ճշտությամբ ամենամոտ ռացիոնալ   և  թվերով։ Որպես   թվերի արտադրյալի մոտավոր արժեքի, վերցնում են տրված   ռացիոնալ թվերի արտադրյալը։ Ընդորում կարևոր չէ թե որ կողմից (ըստ պակասորդի թե ավելցուկի) կվերցվեն մոտավոր ռացիոնալ թվերը   և  ։ Բազմապատկումը կատարվում է համաձայն դասկարգային բազմապատկման ալգորիթմի։

Մոտավոր թվերի արտադրյալի բացարձակ սխալ՝

 , թվի բացարձակ սխալը հավասար է այդ թվի վերջի թվանշանի կեսին։ Հարաբերական սխալը հավասար է արգումենտների հարաբերական սխալների գումարին՝  ։ Ստացված արդյունքը կլորացնում են մինչև թվի առաջին ճիշտ արժեքը, թվի մոտավոր արժեքը համարվում է ճիշտ, եթե թվի բացարձակ սխալը չի գերազանցում այդ թվին համապատսխանող կարգի միավորի կեսին։

 բազմապատկման օրինակ, ստորակետից մինչև 3 նիշ ճշտությամբ․

  • Կլորացնում ենք թիվը ստորակետից հետո մինչև 4-րդ թվանշանը (արտադրյալի ճշտության բարձրացման համար),
  • Կստանանք՝  ,
  • Բազմապատկենք ըստ կարգերի՝  
  • Կլորացնում ենք ստորակետից հետո մինչև 3-րդ թիվը՝  ։

ԳրաֆիկԽմբագրել

Իրական թվերի զույգերի բազմության վրա՝   բազմապատկման ֆունկցիայի գրաֆիկն իրենից ներկայացնում է կոորդինատների համակարգի սկզբնակետով անցնող հիպերբոլային պարաբոլոիդ։

 
с(a,b)=a*b ֆունկցիայի գրաֆիկը

Կոմպլեքս թվերԽմբագրել

 
Կոպլեքս թվեր

Կոմպլեքս թվերի բազմությունը թվաբանական գործողությունների հետ մեկտեղ իրենից ներկյացնում է դաշտ և սովորաբար նշանակվում է՝  ։

Երկու կոմպլես թվերի արտադրյալն անվանում են կոմպլեքս թիվ, հանրահաշվական գրելաձն ունի հետևյալ տեսքը՝

 

որտեղ՝  ,   — կեղծ միավոր է։

Որպսիզի բազմապատկենք երկու կոմպլեքս թվերը ըստ եռանկյունաչափական բաաձևերի, անհրաժեշտ է բազմապատկել դրանց մոդուլները, իսկ արգումենտները գումարել՝

 

 
Կոմպլեքս թվերի բազմապատկումը կոմպլեքս հարթույան վրա

որտեղ՝   կոմպլեքս թվի մոդուլը և արգոմենտն է։

  կոմպլեքս թվի բազմապատկումը  կոմպլեքս թվի հետ, բերում է վեկտորի շրջման՝ համապատասխանաբար  թվինը  աստիճան անկյունով և նրա երկարության փոփոխության՝   անգամ։ Կոմպլեքս թվերի արտադրյալի համար ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը՝

 

որտեղ՝  e թիվն է։

Էքսպոնեցիալ գրելաձևԽմբագրել

Էքսպոնեցիալ գրության ժամանակ թերը գրվում են հետևյալ տեսքով՝  , որտեղ  — մանտիսն է,  — թվի բնութագիրն է,   — հաշվարկման համակարգի հիմքն է,  ։ Էքսպոնեցիալ տեսքով գրաված երկու թվերի բազմապատկման համար անհրաժեշտ է բազմապատկել մանտիսներն ու բնութագրերը՝

 ։

Օրինակ՝

 ։

Կամայական թվերի բազմապատկումԽմբագրել

Տարբեր բազմություններից երկու թվերի բազմապատկման ժամանակ անհրաժեշտ է հաշվի առնել, որ արտադրիչնրը այնքան էլ իրավահավասար չեն՝ օրինակ — այս դեպքում ռացիոնլ թիվը վերցվում է հինգ անգամ։ Տվյալ դեպքում ահրաժեշտ է կատարել թվի տիպի փոխարկում (եթե տվյալ առաջադրանքում կա նման հնարավորություն)։ Դրա համար այն թիվը, որը պատկանում է ավելի փոքր հզորությամբ բազմություն ընդլայնվում է դեպի ավելի հզոր բազմության պատկանող թվի կողմը։ Այսինքն օգտվելով այն բանից, որ իրական թվերը հանդիսանում են ռացիոնալ թվերի ենթաբազմություն, ընդլայնում ենք  բնական թիվը մինչև   ռացիոնալ թիվը և բազմապատկում ենք երկու ռացիոնալ թվեր՝  ։ Համապատասխանաբար օգնտելով այն բանից, որ   կարող ենք իրար բազմապատկել տարբեր բազմությունների թվեր։

Ֆիզիկական մեծությունների բազմապատկումԽմբագրել

Ֆիզիկական մեծությունների չափման միավորներն ունեն որոշակի անվանումներ՝ (չափականություն) երկարության համար (L) — մետր (մ), ժամանակի համար (T) — վայրկյան (վ), զանգվածի համար (M) — գրամ (գ) և այլն։ Այդ պատճառով էլ այս կամ այն մեծության չափումը իրենից ներկայացնում է ոչ թե ուղղակի թիվ, այլ թիվ անվանումով[8]։ Անվանումն իրենից ներկայացնում է անկախ օբյեկտ, որը իրավահավասար կերպով մասնակցում է բազմապատկման գործողությանը։ Ֆիզիկական մեծությունների բազմապատկման գործողության կատարման ժամանակ բազմապատկվում են ինչպես թվային բաղկացուցիչները այնպես էլ դրանց անվանումները։

Բացի չափվող ֆիզիկական մեծություններից գոյութնուն ունեն նաև անչափ մեծություններ (քանակական), որոնք ձևականորեն համարվում են թվային առանցքի տարրեր, այսինքն թվեր, որոնք կապ չունեն որոշակի ֆիզիկական մեծությունների հետ (չափվում են «հատերով», «անգամներով» և այլն)։ Իրենցից ֆիզիկական մեծություն ներկայացնող թվերի և անչափ թվերի իրար հետ բազմապատկման ժամանակ, բազմապատկվող թիվը մեծանում է բազմապատիկի պատիկ մեծությամբ և պահպանում է չափման միավորը։ Օրինակ եթե վերցնենք 3 հատ 5 մետրանոց փայտյաձող, ապա բազմապատկման արդյունքում կստանանք փայտյաձողերի հիմնական երկարությունը՝ 5 մ · 3 = 15 մ (15 մետր)։

Տարասեռ ֆիզիկական մեծությունների բազմապատկումը անհրաժեշտ է դիտարկել որպես նոր ֆիզիկական մեծության առաջացում, այն սկզբունքորեն տարբերվում է այն մեծություններից, որոնք մենք բազմապատկում էինք։ Եթե ֆիզիկապես հնարավոր է ստեղծել այնպիսի արտադրյալ, որը ստացվում է օրինակ աշխատանքի, արագության կամ այլ մեծությնունների հաշվարկման ժամանակ, ապա այդ մեծությունը ձևավորում է բազմություն, որը գերազանցում է նախորդներին։ Այս դեպքում մեծությունների այս կմպոզիցիային վերագրվում է նոր նշան (նոր տերմին), օրինակ՝ խտություն, արագացում, հզորություն և այլն[9]։

Օրինակ եթե բազմապատկենք միևնույն ֆիզիկական գործընթացի համապատասխան V = 4 մ/վ արագությունը և T = 2 վ ժամանակը, ապա կստանանք այս ֆիզիկական գործընթացին համապատասխան անվանական թիվ (ֆիզիկական մեծություն), որը կոչվում է երկարություն և չափվում է մետրերով՝ L = 8 մ։

L = V · T = 4 մ/վ · 2 վ = 8 (մ/վ) · վ = 8 մ։

Տես նաևԽմբագրել

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. 1,0 1,1 Умножение // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  2. 2,0 2,1 2,2 Так это свойство обычно называется в школьных учебниках
  3. Истомина, 2005, էջ 165
  4. Выгодский, 2003
  5. Гусев, 1988, էջ 20
  6. Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида  
  7. Ильин, 1985, էջ 46
  8. Волинская Н. И.։ «Интегрированный урок по физике и математике, Измерение физических величин и их единицы, СШ 7 г. Бреста»։ brestschool7.iatp.by։ Վերցված է 2016-04-18 
  9. Макаров Владимир Петрович։ «О «размерности» физических величин»։ lithology.ru, Литология.РФ։ Վերցված է 2016-04-18 

ԳրականությունԽմբագրել

Արտաքին հղումներԽմբագրել