Բազմապատկման աղյուսակ

Բազմապատկման աղյուսակ, նույն ինքը՝ Պյութագորասի աղյուսակ, աղյուսակ, որտեղ տողերն ու սյունակներն արտադրիչներ են, իսկ աղյուսակի բջիջներում՝ դրանց արտադրյալն է։ Օգտագործվում է դպրոցականներին բազմապատկել սովորեցնելու նպատակով։

Տասնորդական թվային համակարգի բազմապատկման աղյուսակը ավանդաբար դասավանդվում է որպես տարրական թվաբանության անբաժանելի մաս ամբողջ աշխարհում, քանի որ այն հիմք է ստեղծում տասնորդական թվերի հետ թվաբանական գործողությունների համար։ Շատ ուսուցիչներ կարծում են, որ աղյուսակը պետք է հիշել մինչև 9 × 9^[1]։

Պատմություն խմբագրել

Պատերազմող թագավորությունների ժամանակաշրջանի բազմապատկման աղյուսակ, (Չինաստան, Մ. թ. ա. 305)

Հայտնի ամենահին բազմապատկման աղյուսակը հայտնաբերվել է Հին Բաբելոնում և մոտավորապես 4000 տարեկան է։ Այն հիմնված է վաթսունական թվային համակարգի վրա^[2]։ Բազմապատկման ամենահին տասնորդական աղյուսակը հայտնաբերվել է Հին Չինաստանում և թվագրվում է Մ. թ. ա. 305 թվականին։ Դրանք այսպես կոչված պատերազմող թագավորությունների բամբուկե տախտակներ են, ձեռք են բերվել 2008 թվականի հուլիսին հոնկոնգյան մշակութային մասունքների շուկայում և պահվում են Ցինխուայի համալսարանում․ ընդհանուր առմամբ՝ 2388 տախտակ, որոնցից ամենաերկարը 46 սմ է, իսկ ամենակարճը՝ 10 սմ^[3]։

«Պյութագորասի աղյուսակը»

Երբեմն բազմապատկման աղյուսակի գյուտը վերագրվում է հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասին, որի անունը աղյուսակը կրում է տարբեր լեզուներում, ներառյալ իսպաներենում^[4], իտալերենում, ռուսերենում, ֆրանսերենում, երբեմն անգլերենում^[5]։ Պահպանված հունական բազմապատկման ամենահին աղյուսակը գտնվում է մոմե ափսեի վրա, որը թվագրվում է 1-ին դարով և ներկայումս պահվում է Բրիտանական թանգարանում։

493 թվականին Վիկտոր Ակվիտանացին ստեղծել է 98 սյունակներից բաղկացած աղյուսակ, որը հռոմեական թվերով ներկայացնում էր 2-ից 50 թվերի բազմապատկման արդյունքը^[6]։

Մաթեմատիկոս Ջոն Լեսլին իր «Թվաբանության փիլիսոփայություն» (The Philosophy of Arithmetic) (1820) գրքում^[7] հրատարակել է մինչև 99 թվերի բազմապատկման աղյուսակը, որը թույլ է տալիս բազմապատկել թվանշանները զույգերով։ Նա նաև աշակերտներին խորհուրդ էր տալիս անգիր սովորել բազմապատկման աղյուսակը մինչև 25 × 25:

Ուսումնասիրում խմբագրել

Ժամանակին անգիր սովորած բազմապատկման աղյուսակի ներդրումը հեղափոխեց բանավոր և գրավոր հաշվումը։ Մինչ այդ օգտագործվել են միանիշ թվերի արտադրյալը հաշվարկելու տարբեր խորամանկ եղանակներ, որոնք մեծապես դանդաղեցրել են ամբողջ գործընթացը և ծառայել որպես լրացուցիչ սխալների աղբյուր։

Սովետական միությունում բազմապատկման աղյուսակը սովորաբար «հանձնարարվում էր ամռանը» 1-ին դասարանից հետո և ամրապնդվում էր 2-րդ դասարանում (8 տարեկան հասակում)։ Ռուսական դպրոցներում առավել հաճախ ուսուցանվում է 2-րդ դասարանում։ Անգլիական դպրոցական կրթության ստանդարտների համաձայն, բազմապատկման աղյուսակը պետք է սովորել 11 տարեկանում (նախատեսվում է խստացնել պահանջը մինչև 9 տարեկան)^[8]։

Սովորական ներկայացում խմբագրել

Շատ դպրոցներ օգտագործում են բազմապատկման 9 × 9 աղյուսակ, որը ցույց է տրված ստորև․

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Ինչպե՞ս գտնել արտադրյալը բազմապատկման աղյուսակից օգտվելով խմբագրել

$4\cdot 8$ արտադրյալի արժեքը պարզելու համար, պետք է գտնել չորս թիվը ձախ սյունակում և ութը՝ վերին շարքում, այնուհետև պետք է տանել 4-ից հորիզոնական գիծ և 8-ից՝ ուղղահայաց։ Բջիջը, որի վրա գծերը հանդիպում են, հենց արտադրյալն է (այս դեպքում՝ 32):

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

Կիրառում խմբագրել

Բացի բնական թվերը բազմապատկելու գործնական հմտություններ զարգացնելու համար դասական բազմապատկման աղյուսակի լայնորեն կիրառությունից, այն կարող է օգտագործվել որոշ մաթեմատիկական ապացույցներում, օրինակ՝ բնական թվերի խորանարդների գումարի բանաձևը կամ քառակուսիների գումարի համար նմանատիպ արտահայտություն ստանալիս^[9]։

Քելիի աղյուսակ խմբագրել

Ընդհանուր հանրահաշվի մեջ Քելիի աղյուսակը նկարագրում է վերջնական հանրահաշվական համակարգերի կառուցվածքը մեկ բինար գործողությամբ։ Անվանվել է անգլիացի մաթեմատիկոս Արթուր Քելիի անունով։ Կարևոր նշանակություն ունի դիսկրետ մաթեմատիկայում, մասնավորապես՝ խմբերի տեսության մեջ, որտեղ որպես գործողություններ դիտարկվում են բազմապատկումն ու գումարումը։ Աղյուսակը թույլ է տալիս որոշել, թե արդյոք խումբը աբելյան է, գտնել խմբի կենտրոնը և հակադարձ տարրերը՝ այդ խմբի մյուս տարրերի հարաբերությամբ։

Բարձրագույն հանրահաշվում Քելիի աղյուսակները կարող են օգտագործվել նաև դաշտերում, օղակներում և հանրահաշվական այլ կառույցներում բինար գործողությունները որոշելու համար։ Դրանք նաև հարմար են հետևյալ կառույցներում գործողություններ իրականացնելիս։

Մոդուլյար թվաբանություն խմբագրել

Բնական թվի վրա բաժանումից մնացած բոլոր մնացորդները կազմում են օղակ, իսկ պարզ թվի վրա բաժանումից՝ դաշտ։ Սա պատկերվում է բազմապատկման աղյուսակներով։

Բազմապատկման աղյուսակը 8 մոդուլով հանման օղակում

·	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1

Բազմապատկման աղյուսակը 5 մոդուլով հանման դաշտում

·	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

Տես նաև խմբագրել

Ծանոթագրություններ խմբագրել

↑ Trivett, John (1980), «The Multiplication Table: To Be Memorized or Mastered!», For the Learning of Mathematics, 1 (1): 21–25, JSTOR 40247697.
↑ Jane Qiu Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips(անգլ.) // Nature : journal. — 2014. — doi:10.1038/nature.2014.14482 Архивировано из первоисточника 22 հունվարի 2014.
↑ 吴晓欣 (2022 թ․ հունվարի 20). «清华大学藏战国竹简». Большая китайская энциклопедия, 3-е издание. Արխիվացված օրիգինալից 2023 թ․ ապրիլի 21-ին. Վերցված է 2023 թ․ ապրիլի 22-ին.
↑ Таблица умножения по-испански — ábaco pitagórico, то есть дословно — «пифагорова счётная таблица», см. в источнике: ábaco // Большой испанско-русский словарь. Более 150 000 слов, словосочетаний и выражений / Н. В. Загорская, Н. Н. Курчаткина, Б. П. Нарумов и др.; под ред. Б. П. Нарумова. — 9-е изд. — М.: Русский язык—Медиа; Дрофа, 2009. — С. 13. — 4000 экз. — ISBN 978-5-9576-0456-3
↑ Например, в Farrar, John An Elementary Treatise on Arithmetic.
↑ Maher, David W.; Makowski, John F. Literary evidence for Roman arithmetic with fractions(անգլ.) // Classical Philology. — 2001. — № 4 (96). — С. 383.
↑ Leslie, John (1820). The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand. Edinburgh: Abernethy & Walker.
↑ Children must learn times tables by age nine… Արխիվացված 2011-12-18 Wayback Machine // Daily Mail, 17.12.2011
↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—72.

[1] Trivett, John (1980), «The Multiplication Table: To Be Memorized or Mastered!», For the Learning of Mathematics, 1 (1): 21–25, JSTOR 40247697.

[Qiu-2] Jane Qiu Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips(անգլ.) // Nature : journal. — 2014. — doi:10.1038/nature.2014.14482 Архивировано из первоисточника 22 հունվարի 2014.

[3] 吴晓欣 (2022 թ․ հունվարի 20). «清华大学藏战国竹简». Большая китайская энциклопедия, 3-е издание. Արխիվացված օրիգինալից 2023 թ․ ապրիլի 21-ին. Վերցված է 2023 թ․ ապրիլի 22-ին.

[4] Таблица умножения по-испански — ábaco pitagórico, то есть дословно — «пифагорова счётная таблица», см. в источнике: ábaco // Большой испанско-русский словарь. Более 150 000 слов, словосочетаний и выражений / Н. В. Загорская, Н. Н. Курчаткина, Б. П. Нарумов и др.; под ред. Б. П. Нарумова. — 9-е изд. — М.: Русский язык—Медиа; Дрофа, 2009. — С. 13. — 4000 экз. — ISBN 978-5-9576-0456-3

[5] Например, в Farrar, John An Elementary Treatise on Arithmetic.

[6] Maher, David W.; Makowski, John F. Literary evidence for Roman arithmetic with fractions(անգլ.) // Classical Philology. — 2001. — № 4 (96). — С. 383.

[7] Leslie, John (1820). The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand. Edinburgh: Abernethy & Walker.

[8] Children must learn times tables by age nine… Արխիվացված 2011-12-18 Wayback Machine // Daily Mail, 17.12.2011

[9] Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—72.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

·	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

·	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

·	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1