Բնական թիվ

Բնական թվերը կարելի է օգտագործել հաշվելու համար

Բնական թվեր ( լատ.՝ naturalis «բնական») - թվեր, որոնք օգտագործվում են հաշվելու համար (օրինակ ՝ 1, 2, 3, 4,… ): Աճման կարգով բոլոր բնական թվերի հաջորդականությունը կոչվում է բնական շարք  :

Բնական թվերի բազմությունն անվերջ է, քանի որ ցանկացած բնական $n$ թվի համար կա ավելի մեծ թիվ։ Բացասական և ոչ ամբողջ թվերը բնական չեն համարվում:

Բնական թվերի և դրանց հետ գործողությունների հատկությունները ուսումնասիրում են թվաբանությունն ու (ավելի խորությամբ) թվերի տեսությունը :

Զրոն

Բնական թվերի սահմանման երկու մոտեցում կա.

• Թվեր, որոնք ծագում են օբյեկտները համարակալելիս. առաջին, երկրորդ, երրորդ, չորրորդ, հինգերորդ ...;
• Առարկաների քանակը ցույց տվող թվեր․ 0 առարկա, 1 առարկա, 2 առարկա, 3 առարկա, 4 առարկա, 5 առարկա…

Առաջին դեպքում բնական թվերի շարքը սկսվում է մեկից, երկրորդում ` զրոյից : Չկա հստակ կարծիք, թե որ մոտեցումն է ճիշտ (այսինքն ՝ զրոն բնական թիվ է, թե ոչ): Ռուսական աղբյուրների ճնշող մեծամասնությունը ավանդաբար որդեգրել է առաջին մոտեցումը  : Երկրորդ մոտեցումը, օրինակ, կիրառվում է Նիկոլա Բորբակիի աշխատություններում:

Բոլոր բնական համարների բազմությունը սովորաբար նշվում է $\mathbb {N}$ նշանով։ ISO 31-11 (1992) և ISO 80000-2 (2009) միջազգային ստանդարտները սահմանում են հետևյալ խորհրդանիշները ․

• $\mathbb {N}$ - բնական թվեր, ներառյալ զրո: $\{0,1,2,3,4\dots \}$ ...
• $\mathbb {N^{*}}$ - բնական թվեր առանց զրոյի. $\{1,2,3,4\dots \}$ ...

Ռուսական աղբյուրներում այս ստանդարտը դեռևս պահպանվում, դրանցում $\mathbb {N}$–ով նշում է բնական թվերը առանց զրոյի, իսկ բնական թվերը ներառյալ զրոն նշվում են $\mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{+},\mathbb {Z} _{\geqslant 0}$ и և այլն

Հավելյալ դիտարկվում են ևս երկու գործողություններ (պաշտոնապես չեն համարվում գործողություններ բնական թվերի հետ, քանի որ չեն կարող կատարվել բոլոր թվային զույգերի հետ)։

Փակ գործողություններին (գործողություններ, որոնց արդյունքը նույնպես պատկանում է բնական թվերի բազմությանը) պատկանում են հետևյալ գործողությունները․

Տեղափոխական օրենք

• Գումարելիների տեղափոխումից գումարը չի փոխվում․

Պետք է նշել, որ հիմնական գործողություններն են գումարումը և բազմապատկումը։

• Արտադրիչների տեղափոխումից արտադրյալը չի փոխվում․

Գործողություններ բնական թվերով

• գումարում ՝ գումարելի + գումարելի = գումար;
• բազմապատկում . արտադրիչ × արտադրիչ = արտադրյալ;
• աստիճան բարձրցում . $a^{b}$ , որտեղ $a$–ն հիմքն է, $b$ –ն՝ ցուցիչը: Եթե $a$–ն և $b$–ն բնական թվեր են, ապա արդյունքը նույնպես կլինի բնական թիվ:

• հանում . նվազելի - հանելի = տարբերություն: Այս դեպքում նվազելին պետք է լինի ավելի մեծ, քան հանելին (կամ հավասար լինի դրան, եթե զրոն համարվում է բնական թիվ);
• բաժանում մնացորդով . բաժանելի / բաժանարար = (քանորդ, մնացորդ): $a$–ն $b$–ի վրա բաժանումից ստացված $p$ քանորդն ու $r$ մնացորդը սահմանվում են հետևյալ կերպ. $a=p\cdot b+r$, երբ $0\leqslant r<b$ ... Պետք է հաշվի առնել, վերջին պայմանի հետևանքով արգելվում է զրոյի վրա բաժանումը, քանի որ հակառակ դեպքում $a$ կարող է ներկայացվել որպես $a=p\cdot 0+a$, այսինքն ՝ ցանկացած թիվ կարող է համարվել քանորդ, իսկ $a$–ն մնացորդ։

Հիմնական հատկությունները

$a+b=b+a$

$a\cdot b=b\cdot a$

Զուգորդական օրենք

• Մի քանի գումարելի գումարելիս կարելի է ընտրել ավելի հարմար հաջորդականություն։․

$(a+b)+c=a+(b+c)$

• Մի քանի թիվ բազմապատկելիս կարելի է ընտրել ավելի հարմար հաջորդականություն․

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Բաշխական օրենք

• Գումարը թվով բազմապատկելու համար կարելի է այդ թվով բազմապատկել յուրաքանչյուր գումարելին և ստացված արտադրյալները գումարել․

${\begin{cases}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{cases}}$