Աբելյան (կամ տեղափոխական) խումբ, խումբ է, որում խմբային գործողությունը հանդիսանում է տեղափոխական, երբեմն ասում են,աբելյան խումբ , եթե ցանկացած երկու տարրերի համար ։ Սովորաբար աբելյան խմբի խմբային գործողությունների նշանակման համար օգտագործվում է հավելում (լատիներեն՝ additivus) գրառում,այսինքն՝ խմբային գործողությունները նշանակվում է նշանով և անվանվում է գումարում[1]։

Անվանումը տրված է նորվեգական մաթեմատիկոս Հ. Աբելի պատվին խմբի տեղադրման հետազոտությունում իր ներդրման համար։

Օրինակներ Խմբագրել

  • Զուգահեռ խմբի տեղափոխումը գծային տարածությունում։
  • Աբելյան ցանկացած ցիկլային խումբ  ։ Իրոք ճիշտ է ցանկացած   և  , որ
     ։
    • Մասնավորապես, ամբողջ թվի   բազմությունը գումարման տեղափոխական խումբ է, դա ճիշտ է և հանման դասի   համար։
  • Ցանկացած օղակ հանդիսանում է իր գումարման տեղափոխական (աբելյան) խումբ, օրինակ կարող է ծառայել   իրական թվերի դաշտը թվերի գումարման գործողություններով։
  • Տեղափոխական օղակի հակադարձելի տարրերը (մասնավորապես, ցանկացած դաշտի ոչզրոյական տարրերը) կազմում են բազմապատկման աբելյան խումբ։ Օրինակ, աբելյան խումբ է ներկայացնում ոչզրոյական իրական թվերի բազմությունը բազմապատկման գործողություններով։

Կապակցված սահմանումներ Խմբագրել

Հատկություններ Խմբագրել

  • Իհարկե, իզոմորֆ աբելյան խմբերի ծնունդը ուղղակի ցիկլային խմբի գումար է։
    • իզոմորֆ աբելյան վերջավոր խմբերը ուղղակի ցիկլային վերջավոր խմբերի գումար է։
  • Ցանկացած աբելյան խմբեր ունեն սովորական կազմություն ամբողջ թվերի մոդուլը օղակի նկատմամբ։ Իրոք, դիցուք  ը բնական թիվ է, իսկ  ը տեղափոխական խմբի տարր   գործողությամբ, նշանակված +, այդ ժամանակ   կարելի է որոշել ինչպես   (  անգամ) և  ։
  • Հոմոմորֆիզմ բազմություն   բոլոր խմբային հոմոմորֆիզմներից՝  -ից  , նույնպես հանդիսանում է աբելյան խումբ։ Իրոք, դիցուք   երկու հոմոմորֆիզմ խումբ է աբելյան խմբերի միջև, այդ ժամանակ դրանց գումարը  , տրված ինչպես  , նույնպես հանդիսանում է հոմոմորֆիզմ (դա ճիշտ է,եթե   չի հանդիսանում տեղափոխական խումբ)։
  • Աբելյան հասկացությունը սերտ կապված է կենտրոն   հասկացության հետ,   խումբը բազմություն է, կազմված նրա այն տարրերից,որոնք տեղափոխում են   խմբի յուրաքանչյուր տարրի հետ և գլխավոր դեր յուրօրինակ «աբելյան չափումներում։»Աբելյան խումբ է, այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ նրա կենտրոնը համընկնում է ամբողջ խմբի կենտրոնի հետ։

Վերջավոր աբելյան խմբեր Խմբագրել

Վերջավոր աբելյան խմբի հիմնական թեորեմը ապացուցում է,որ ցանկացած վերջավոր աբելյան խումբը հնարավոր է ր ցիկլային ենթախմբի գումարը բաշխվում է ուղղի վրա, որի հաջորդականությունը հանդիսանում է պարզ թվերի աստիճաններ։ Վերջավոր աբելյան խմբի կազմության մասին թեորեմայի այդ հետևանքը ընդհանուր է դեպքի համար, երբ խումբը չունի անվերջ տարերի հաջորդականություն։   իզոմորֆ է ուղղակի գումարին   և   այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ   և   փոխադարձ պարզ են։ Հետևաբար, աբելյան խումբը կարելի է գրառել   ուղղակի գումարի տեսքի

 

երկու տարբեր եղանակներով։

  • Որտեղ թիվ   պարզ աստիճանի է։

Վարիացիաներ և ընդհանրացումներ Խմբագրել

  • Դիֆերենցիալ խումբը կոչվում է աբելյան խումբ  , որում տրված է այսպիսի էնդոմորֆիզմ  , որ  : Այդ էնդոմորֆիզմը անվանում են դիֆերենցիալ։ Դիֆերենցիալ խմբի տարրերին անվանում են շղթաներ, միջուկի տարրերը՝   ցիկլ, պատկերի տարրերը՝   սահմանային։

Տես նաև Խմբագրել

Գրականություն Խմբագրել

  • Винберг Э. Б.  Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7։

Ծանոթագրություններ Խմբագրել

  1. Ю. Л. Ершов Абелева группа (ռուս.) Математическая энциклопедия. — М. — Т. 1.