Աբելյան խումբ

Աբելյան (կամ տեղափոխական) խումբ, խումբ է, որում խմբային գործողությունը հանդիսանում է տեղափոխական, երբեմն ասում են,աբելյան խումբ $(G,*)$, եթե $a*b=b*a$ ցանկացած երկու տարրերի համար $a,\;b\in G$։ Սովորաբար աբելյան խմբի խմբային գործողությունների նշանակման համար օգտագործվում է հավելում (լատին․՝ additivus) գրառում,այսինքն՝ խմբային գործողությունները նշանակվում է $+$ նշանով և անվանվում է գումարում։

Անվանումը տրված է նորվեգական մաթեմատիկոս Հ. Աբելի պատվին խմբի տեղադրման հետազոտությունում իր ներդրման համար։

Օրինակներ

• Զուգահեռ խմբի տեղափոխումը գծային տարածությունում։
• Աբելյան ցանկացած ցիկլային խումբ $G=\langle a\rangle$։ Իրոք ճիշտ է ցանկացած $x=a^{n}$ և $y=a^{m}$, որ

  $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$։

  • Մասնավորապես, ամբողջ թվի $\mathbb {Z}$ բազմությունը գումարման տեղափոխական խումբ է, դա ճիշտ է և հանման դասի $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \,$ համար։
• Ցանկացած օղակ հանդիսանում է իր գումարման տեղափոխական (աբելյան) խումբ, օրինակ կարող է ծառայել $\mathbb {R}$ իրական թվերի դաշտը թվերի գումարման գործողություններով։
• Տեղափոխական օղակի հակադարձելի տարրերը (մասնավորապես, ցանկացած դաշտի ոչզրոյական տարրերը) կազմում են բազմապատկման աբելյան խումբ։ Օրինակ, աբելյան խումբ է ներկայացնում ոչզրոյական իրական թվերի բազմությունը բազմապատկման գործողություններով։

Կապակցված սահմանումներ

• Վեկտորական տարածությունում համաչափության համանմանությամբ, յուրաքանչյուր աբելյան խումբ ունի կարգ։ Այն որոշվում է ինչպես նվազագույն վեկտորական տարածության համաչափություն ռացիոնալ թվերի $\mathbb {Q}$ դաշտում, որում ներդրվում է խմբի ֆակտորի հյուսումը։

Հատկություններ

• Իհարկե, իզոմորֆ աբելյան խմբերի ծնունդը ուղղակի ցիկլային խմբի գումար է։
  • իզոմորֆ աբելյան վերջավոր խմբերը ուղղակի ցիկլային վերջավոր խմբերի գումար է։
• Ցանկացած աբելյան խմբեր ունեն սովորական կազմություն ամբողջ թվերի մոդուլը օղակի նկատմամբ։ Իրոք, դիցուք $n$ը բնական թիվ է, իսկ $x$ը տեղափոխական խմբի տարր $G$ գործողությամբ, նշանակված +, այդ ժամանակ $nx$ կարելի է որոշել ինչպես $x+x+\ldots +x$ ($n$ անգամ) և $(-n)x=-(nx)$։
  • Պնդումները և թեորեմները, ճիշտ են աբելյան խմբերի համար (այսինքն. մոդուլի նկատմամբ $\mathbb {Z}$ գլխավոր իդեալներ տիրույթ), հաճախ կարող են մոդուլը ընդհանրացնել կամայական գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ։Բնորոշ օրինակ է հանդիսանում վերջավոր աբելյան խմբի դասակարգումը, որը կարող ենք ընդհանրացնել մինչև ցանկացած վերջավոր մոդեւլի դասակարգումը գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ։
• Հոմոմորֆիզմ բազմություն $\operatorname {Hom} (G,\;H)$ բոլոր խմբային հոմոմորֆիզմներից՝ $G$-ից $H$, նույնպես հանդիսանում է աբելյան խումբ։ Իրոք, դիցուք $f,\;g:G\to H$ երկու հոմոմորֆիզմ խումբ է աբելյան խմբերի միջև, այդ ժամանակ դրանց գումարը $f+g$, տրված ինչպես $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, նույնպես հանդիսանում է հոմոմորֆիզմ (դա ճիշտ է,եթե $H$ չի հանդիսանում տեղափոխական խումբ)։
• Աբելյան հասկացությունը սերտ կապված է կենտրոն $Z(G)$ հասկացության հետ, $G$ խումբը բազմություն է, կազմված նրա այն տարրերից,որոնք տեղափոխում են $G$ խմբի յուրաքանչյուր տարրի հետ և գլխավոր դեր յուրօրինակ «աբելյան չափումներում։»Աբելյան խումբ է, այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ նրա կենտրոնը համընկնում է ամբողջ խմբի կենտրոնի հետ։

Վերջավոր աբելյան խմբեր

Վերջավոր աբելյան խմբի հիմնական թեորեմը ապացուցում է,որ ցանկացած վերջավոր աբելյան խումբը հնարավոր է ր ցիկլային ենթախմբի գումարը բաշխվում է ուղղի վրա, որի հաջորդականությունը հանդիսանում է պարզ թվերի աստիճաններ։ Վերջավոր աբելյան խմբի կազմության մասին թեորեմայի այդ հետևանքը ընդհանուր է դեպքի համար, երբ խումբը չունի անվերջ տարերի հաջորդականություն։ $\mathbb {Z} _{mn}$ իզոմորֆ է ուղղակի գումարին $\mathbb {Z} _{m}$ և $\mathbb {Z} _{n}$ այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ $m$ և $n$ փոխադարձ պարզ են։ Հետևաբար, աբելյան խումբը կարելի է գրառել $G$ ուղղակի գումարի տեսքի

$\mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}$

երկու տարբեր եղանակներով։

• Որտեղ թիվ $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$ պարզ աստիճանի է։

Վարիացիաներ և ընդհանրացումներ

• Դիֆերենցիալ խումբը կոչվում է աբելյան խումբ $\mathbf {C}$, որում տրված է այսպիսի էնդոմորֆիզմ $d\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$, որ $d^{2}=0$: Այդ էնդոմորֆիզմը անվանում են դիֆերենցիալ։ Դիֆերենցիալ խմբի տարրերին անվանում են շղթաներ, միջուկի տարրերը՝ $\ker \,d$ ցիկլ, պատկերի տարրերը՝ $\mathrm {Im} \,d$ սահմանային։

Տես նաև

• Հանրահաշվական համակարգ

Գրականություն

• Винберг Э. Б.  Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7։