Բաժանում (մաթեմատիկա)

Բաժանում (բաժանման գործողություն), բազմապատկմանը հակադարձ գործողություն։ Բաժանման պայմանական նշանն է զույգ կետերը «։», թեք «$/$» կամ հորիզոնական «—» գիծը։

20/4=5

Այնպես, ինչպես արտադրյալը փոխարինում է միանման գումարելիների կրկնվող գումարին, բաժանումը փոխարինում է կրկնվող տարբերությանը։

Դիտարկենք, օրինակ 14 -ի բաժանումը 3-ի (14/3):

Քանի՞ 3 է տեղավորվում 14-ում։

Կրկնելով հանման գործողությունը 4 անգամ կտեսնենք, որ մնացորդ է մնում 2, այսինքն 14-ի մեձ 4 հատ 3 կա և 2 մնացորդ։

Այդ դեպքում 14-ը կոչվում է բաժանելի, 3-ը բաժանարար, 4-ը թերի քանորդ, իսկ 2-ը մնացորդ։

Բաժանմակ արդյունքը կոչվում է նաև հարաբերություն։

Գրառման ձևեր և տերմինաբանություն

Բաժանումը կատարվում է բաժանման նշաններից մեկի օգտագործմամբ «$\,~/,~:,~-$» ։ Բաժանման նշանը չունի հատուկ անուն, օրինակ գումարման նշանը անվանում ենք «պլյուս»։

• Ակնհայտ է, որ ամենահին օգտագործվող նշանը թեք գիծն է(/)։ Առաջինը այն օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկ Վիլյամ Օտրեդը իր «Clavis Mathematicae» աշխատության մեջ (1631 թվական).
• Գերմանացի մաթեմատիկոս Լեյբնիցը նախընտրում Էր բաժանման (:) երկու կետով նշանը։ Այդ նշանը նա օգտագործել է իր Acta eruditorum աշխատության մեջ (1684 թվական)։ Մինչև Լեյբնիցը այդ նշանն օգտագործել է Ջոնսոնը (1633 թվական)։
• Յոհան Ռանըօգտագործեց օբելիուս (÷) նշանը իր «Teutsche Algebra» աշխատության մեջ (1659 թվական),որը անվանում են նաև «անգլիական բաժանման նշան»։

Շատ երկրներում հիմնականում օգտագործվում է (:) նշանը։ Թեք գիծը (/) օգտագործվում է հիմնականում համակարգչային տեքստերում։

Օրինակ․

$a:b=c$ ․

$6:3=2$(«վեցը բաժանած երեքի հավասար է երկու») ․

$65:5=13$(«վաթսունհինգը բաժանած հինգի հավասար է տասներեքի») .

Հատկություններ

$\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ թվային բազմությունների վրա բաժանումը ունի հետևյալ հատկությունները։

• Արգումենտների տեղափոխությունից արդյունքը փոխվում է․

$a:b\neq b:a;$

• Երեք և ավելի թվերի հերթական բաժանման արժեքը կախված է գործողության հերթականությունից։

$(a:b):c\neq a:(b:c);$

• Բաժանումը աջից դիստրեբուտիվ է, ինչը կոչվում է նաև բաշխական օրենք

$(a+b):x=(a:x)+(b:x),~x\neq 0;$

• $x:1=x;$
• $1:x={\frac {1}{x}}=x^{-1},~x\neq 0;$

• $0:x=0,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;$

• $x:0=\infty ,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;$

• $x:(-x)=-1,\quad \exists !-x\in A,~x\neq 0.$

Թվերի բաժանում

Բնական թվերի

Օգտագործում ենք բնական $\mathbb {N}$ թվերի սահմանումից, ինչպես համարժեք վերջավոր բազմության դաս։ Նշանակենք վերջավոր բազմությունների համարժեք $C,A,B,R$ դասակարգերը, փակագծերով տարբերակենք բիեկցիայով առաջացածները$[C],[A],[B],[R]$։

Այդ դեպքում մաթեմատիկական բաժանման որոշվում է հետևյալ ձևով․

1. $\quad [C]=[A]:[B]=[\rightarrow (A/B)]\quad \&\quad [R]$ -բաժանում հավասար մասերի․
2. $\quad [C]=[A]:[B]=[A/(\rightarrow B)]\quad \&\quad [R]$-բաժանում պարունակությամբ․

որտեղ․ $A/B$ դա վերջնական բազմության բաժանումը հավասարաքանակ, չհատվող ենթաբազմությունների,այնպիսի, որ

$B_{\alpha }=B_{\beta },$$\quad \bigcup \limits _{\alpha \in C}B_{\alpha }+R=A,$ $\quad \bigcap _{\alpha ,\beta \in C}(B_{\alpha },B_{\beta },R)=\{\emptyset \},$ բոլոր գործակիցների համար $\alpha ,\beta \in C$, այնպիսիք, որ $\alpha \not =\beta ;$

$R$-մնացորդն է, կամ բազմության մնացած տարրերը $\{\emptyset \}\leqslant R<B$,

Ամբողջ թվերի բաժանում

Թվերի բաժանումը էական տարբերություն չունի ամբողջ թվերի բաժանմամ ձևից, բավական է բաժանել դրանց բացարձակ արժեքները և հաշվի առնել նշանը։

Օրինակ՝ $-7/(-3)=2$ մնացորդը (-1) կամ $-7\equiv 2{\pmod {3}}$.

Ոչ միանշանկությունից դուրս գալու համար որոշված է մնացորդը ընդունել դրական թիվ։

Ռացիոնալ թվերի բաժանում

Կոտորակների բաժանում․

Իրական թվերի բաժանում

Իրական թվերի բազմությունը, անընդհատ կարգավորված դաշտ է, որը նշանակվում է $\mathbb {R}$. Իրական թվերի հետ թվաբանական գործողությունները համարվում են ռացիոնալ թվերի հետ կատարվող գործողությունների անընդհատ շարունակություն։

$\alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},$

$\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},$

Եթե ՝ $\alpha =[a_{n}]$ և $\beta =[b_{n}]$, ապա դրանց քանորդ համարվում է $\gamma =[c_{n}]$, որը որոշվում է$\{a_{n}\}$ և $\{b_{n}\}$:

$\gamma =\alpha :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]:[b_{n}]=[a_{n}/b_{n}]$,

իրական $\gamma =\alpha :\beta$ թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

$\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \gamma \leqslant a'':b'').$

Այսպիսով, երկու իրական $\alpha$ և $\beta$ թվերի քանորդ հանդիսանում է իրական $\gamma$ թիվը, որը գտնվում էբոլոր $a':b'$ տեսքի քանորդների մեջ մի կողմից, մյուս կողմից $a'':b''$քանորդների միջև։

$\gamma =\pi :e$ բաժանման օրինակ, մինչև երրորդ թվի ճշտությամբ․

• Կլորացնենք տրված թվերը մինչև 4-րդ թվի ճշտությամբ․
• Ստանում ենք՝ $\pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183$․
• Բաժանում ենք սյունակով՝ $\gamma =\pi :e\approx 3.1416:2.7183\approx 1.1557$․
• Կլորացնենք երրորդ թվի ճշտությամբ՝ $\gamma \approx 1.156$.

Տես նաև

• Բաժանելիության հայտանիշներ
• Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար
• Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ
• Բազմանդամների բաժանումը սյունակով
• Մնացորդով բաժանում

Գրականություն

• Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс.. — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
• Системы счисления. — Вологда: ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум», 2006. — С. 3. — 16 с.

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 2, էջ 223)։