Հանում

Հանում (նվազեցում), երկու արգումենտների (նվազելի և հանելի) օժանդակ մաթեմատիկական բինար գործողություն (թվաբանական գործողություն), որի արդյունքն իրենից ներկայացնում է նոր թիվ (տարբերություն), որը ստացվում է առաջին արգումենտը երկրորդ արգումենտի չափով պակասացնելիս։ Գրելիս հիմնականում նշանակվում է «մինուս» նշանով՝ $a-b=c$։ Հանման գործողությունը գումարման գործողության հակառակն է։

$\scriptstyle {5-2=3}$

Հանումը կարելի է գրելի հետևյալ՝ ${\overline {S}}(a,b)=c$ ընդհանուր տեսքով , որտեղ $a\in A$ և $b\in A$։ Այսինքն $(a,b)$տարրերի յուրաքանչյուր զույգին համապատասխանում է $A$բազմության $c=a-b$ տարրը, որը կոչվում է $a$ և $b$ թերի տարբերություն։

Հանումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ երկու արգումենտներն էլ պատկանում են միևնույն բազմությանը (ունեն նույն տիպը)։
Բացասակն թվերի առկայության դեպքում, տարբերությունը ավելի հարմար է դիտարկել որպես գումարման տեսակ՝ գումարում բացասական թվերով։ Օրինակ՝ $5-2=3$կարելի է դիտարկել որպես $5+(-2)=3$ գումարում։

Իրական թվերի բազմություն մեջ գումարման ֆունկցիայի որոշման տիրույթի գրաֆիկն ունի հարթության տեսք, որն անցնում է կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով և առանցքների նկատմամբ ունի 45° թեքություն։

Հանումն ունի մի քանի կարևոր հատկություններ (օրինակ $A=$$\mathbb {R}$-ի համար)՝

Հակատեղափոխականութուն՝ $a-b=-(b-a),\quad \forall a,b\in \ A$

Ոչ զուգորդականություն՝ $(a-b)-c\neq a-(b-c),\quad \forall a,b,c\in \ A$

Բաշխականություն՝ $x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A$

Երբ թվից հանում ենք $0$ արդյունքում ստանում ենք սկզբնական թիվը՝ $x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A$ː

Որպես օրինակ դիտարկենք աջ կողմի նկարում պատկերված $5-2=3$ գրությունը, նկարում հինգ խնձորից հանվում է երկու խնձոր, որի արդյունքում ստանում ենք երեք խնձոր։ Անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել, որ հինգ խնձորից երկու տանձ հանել չի կարելի։ Բացի խնձորների հաշվարկից, հանումը կարող է ներկայացնել նաև այլ ֆիզիկական և աբստրակտ մեծությունների տարբերություն, ինչպիսիք են օրինակ՝ բացասական թվերը, կոտորակային թվերը, վեկտորները, ֆունկցիաները և այլն։

Գրելաձև և տերմինաբանություն

Սիմվոլներ և նշաններ

Հանումը գրվում է արգումենտների միջև մինուս սիմվոլի «$-$» կիրառմամբ, գրության այս ձևը կոչվում է ինֆիկսային նշանագրություն։ Տվյալ կոնտեկստում մինուս նշանը համարվում է բինար գործողություն։ Արդյունքը գրվում է հավասարման նշանի «$=$» կիրառմամբ, օրինակ՝

$a-b=c$ ,

$6-3=3$ («վեց հանած երեք հավասար է երեք») ,

$64-35=29$ («վաթսունչորս հանած երեսունհինգ հավասար է քասանինը») ։

Գրության մեջ օգտագործվող հանման նշանը շատ նման է այլ սիմվոլների, օրինակ՝ գծիկի, միացման գծիկի և այլն։ Սիմվոլի սխալ մեկնաբանությունից խուսափելու համար անհրաժեշտ է ուշադիր վերլուծել արտահայտությունը։

Հատկություններ

Թվային $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ բազմություններում հանման գործողությունը ունի հետևյալ հիմնական հատությունները.

• Տարբերությունը տեղափոխական չէ, արգումենտների տեղերը փոխելիս տարբերությունը (հավասարությունը) փոխվում է

Հակատեղափոխականություն՝ $a-b\neq b-a,\quad \forall a,b\in \ A$

• Տարբերությունը զուգորդական չէ՝ երեք և ավելի թվերի հաջորդական հանման ժամանակ գործողության կատրման հաջորդականությունը կարևոր է, սրանից կախված արդյունքը փոխվում է

Հակազուգորդականություն՝ $(a-b)-c\neq a-(b-c),\quad \forall a,b,c\in \ A$

• Հանումը բաշխական է, սա երկու բինար գործողությունների համաձայնություն է, որոշված տվյալ բազմության մեջ, հայտնի է նաև, որպես բաշխական օրենք

Բաշխականություն՝ $x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A$

• $A$բազմության մեջ գոյություն ունի միակ չեզոք տարր, երբ թվից հանում ենք զրո (չեզոք տարր) ստանում ենք սկզբնականին հավասար թիվ՝

Զրոյական տարր՝ $x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A$

• Զրո հանելու գործողությունը իդեմպոտենտ է, այսինքն գործողության կրկնակի կատարումը տալիս է միևնույն արդյունքը, ինչ որ ոչ կրկնակին

Իդեմպոտետություն՝ $x=x-0=(x-0)-0=((x-0)-0)-...-0,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A$,

• Հակադիր տարրի տարբերությունը թիվը կրկնապատկում է՝ $a-(-a)=a+a=2a,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A$ː

$\mathbb {N}$ բնական թվերի համար տարբերության արդյունքը միշտ չէ, որ որոշված է, որպեսիզի տարբերության արդյունքում ստանանք բնական թիվ նվազելին պետք է մեծ լինի հանելիիցː Բնական թվերի սահմանում անհնար է փոքր թվից հանել մեծըː

$\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$բազմություններում որոշված հանման գործողության արդյունքում ստանում ենք թիվ (տարբերություն) հենց այդ բազմությունից, հետևաբար հանման գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններին (փակ են այն գործողությունները որնց արդյունքները պատկանում են միևնույն բազմությանը), այսինքն թվերի $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ բազմությունները ձևավորում են օղակներ հանման գործողությանը համապատասխանː${\displaystyle }$

Հանման գործողության կատարում

Հանման գործողությունը կարելի է պատկերացնել որպես որևէ սև արկղ որի մուտքի մոտ նվազելին և հանելին են, իսկ ելքի մոտ տարբերությունըː

Երկու թվերի հանման գործողության գործնական կատարման ժամանակ անհրաժեշտ է այն բերել ավելի պարզ գործողությունների կատարման՝ պարզ հանում, փոխառություն, համեմատություն և այլնː Սրա համար մշակվել են հանման մի քանի տարբերակներ թվերի, վեկտորների, կոտորակների և այլ մեծությունների համարː Բնական թվերի բազմության մեջ այժմ օգտագործվում է հանման կարգային ալգորիթմըː Ընդ որում հանումը անհրաժեշտ է դիտարկել որպես ընթացակարգ (ի տարբերություն գործողության)ː

Երկու թվերի կարգային հանման գործողության մոտավոր ալգորիթմ

Ինչպես տեսնում ենք գործեղությունը բավականին բարդ է, կազմված է որոշակի մեծ քանակի քայլերից և մեծ թվերի հանման ժամանակ կարող է զբաղեցնել տևական ժամանակː

6 թվից 4 թվի հանման գործողության քայլ առ քայլ կատարումը

Տվյալ կոնտեքստում պարզ հանումն իրենից ենթադրում է քսանից փոքր թվերի հանման գործողությունը, որը հերթությամբ կարող է բերվել դեկրիմենտացմանː Այն համարվում է դեկրիմենտացման հիպերօպերատոր՝

$a-b=\operatorname {hyper-1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,-1,b)=a^{(-1)}b$ $a{^{(-1)}}b=a-b=\underbrace {1+1+\dots +1} _{a}\underbrace {-1-1-\dots -1} _{b}$,

որտեղ՝ $1+1+\dots +1$ -ինկրիմենտացման գործողության հաջորդականությունն է, կատարվել է $a$ անգամ,
$-1-1-\dots -1$ - դեկրիմենտացման գործողության հաջորդականությունն է, իրականացված $b$ անգամː

Հանման գործողությունը ավելի արագ և պարզ դարձնելու համար օգտվում են պարզ հանման աղյուսակային մեթոդիցː Սրա համար նախապես կազմում են 18-ից 0 թվերի տարբերության բոլոր կոմբինացիաները և այն վերցնում են հետևյալ աղյուսակից.

Տասնորդական հաշվարկման համակարգի հանման աղյուսակ

-	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3				0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
4					0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
5						0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
6							0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
7								0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
8									0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
9										0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Այս գործընթացը կիրառելի է բնական և ամբողջ (նշանը հաշվի առնելով) թվերի բազմությունների համարː Այլ թվերի համար կիրառվում են ավելի բարդ ալգորիթմներː

Թվերի հանում

Բնական թվեր

Օգտվենք $\mathbb {N}$ բնական թվերից որպես վերջավոր բազմությունների համարժեք դասː $C,A,B$ վերջավոր բազմությունների համարժեքության դասերից բիեկցիայով առաջացած բազմությունները նշանակենք փակագծերի օգնությամբ՝ $[C],[A],[B]$ː Այս դեպքում «հանման» թվաբանական գործողությունը սահմանվում է հետևյալ կորպ.

$[C]=[A]-[B]=[A\setminus B]$,

որտեղ $A\setminus B=\{C\in A\mid C\not \in B\mid B\subset A\}$ — բազմությունների տարբերությունն էː Այս գործողությունը դասերի համար գրված է հակիրճ, այսինքն կախված չէ դասերի տարրերի ընտրությունից և համապատասխանում է ինդուկտիվ սահմանումներինː

$A$վերջավոր բազմության փոխադարձ միանշանակ պատկերումը $N_{a}$հատվածի վրա կարելի է հասկանալ որպես $A$ բազմության տարրերի համարակալում՝$\quad A\sim N_{a}$ː Համարակալման այս պրոցեսը կոչվում է «հաշիվ»ː Այսպիսով հաշիվը դա փոխադարձ միանշանակ համապատասխանությունն է բազմության տարրերի և բնական թվերի շարքի հատվածի միջևː

Կարգային համակարգում բնական թվերի հանման համար կիրառվում է թվերի նշանակման կարգային ալգորիթմըː Եթե տրած են երկու, այնպիսի բնական $a$ և $b$ թվեր, որ

$a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},\quad \forall a_{k},b_{k}\in \{P\},\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0,\quad a\geqslant b,\quad \exists 0\in \mathbb {N}$

որտեղ՝ $a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k}$, $n$ - թվի թվանշանների քանակն է $n\in \{1,2,\dots ,n\}$, $k$ - կարգի հերթական համարն է (դիրքը), $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$, $P$ - հաշվարկման հիմնական համակարգն է, $\{P\}$-ն տվյալ հաշվարկման համակարգի թվային նշանների (թվերի) բազմությունն է$\{P_{2}\}=\{0,1\}$, $\{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, $\{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F\}$, երբ

$c=a-b,\quad c_{n-1}c_{n-2}\dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}-b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},$

Հանելով ըստ կարգերի կստանանք՝

• $c_{0}={\begin{cases}a_{0}-b_{0},\quad &{\text{if }}a_{0}\geqslant b_{0}{\text{ }}\\a_{0}+P-b_{0},\quad a_{1}=a_{1}-1&{\text{if }}a_{0}<b_{0}{\text{ }}\end{cases}}$
• $c_{1}={\begin{cases}a_{1}-b_{1},\quad &{\text{if }}a_{1}\geqslant b_{1}{\text{ }}\\a_{1}+P-b_{1},\quad a_{2}=a_{2}-1&{\text{if }}a_{1}<b_{1}{\text{ }}\end{cases}}$
• $...\quad \quad ...\quad \quad ...$
• $c_{n-1}={\begin{cases}a_{n-1}-b_{n-1},\quad &{\text{if }}a_{n-1}\geqslant b_{n-1}{\text{ }}\\a_{n-1}+P-b_{n-1},\quad a_{n}=a_{n}-1&{\text{if }}a_{n-1}<b_{n-1}{\text{ }}\end{cases}}$

Այսպիսով հանման գործեղությունը բրվում է բնական թվերի պարզ հանման $a_{k}-b_{k}$ գործողության հաջորդական կատարման, անհրաժեշտության դեպքում փոխառության կիրառմամբ, որը կատարվում է կամ աղյուսակային մեթոդով կամ դեկրիմենտացմամբ (հաշվով)ː

Ցանկացած հաշվարկման համակարգում հանման գործողությունը կատարվում է նույն կանոննորով, ինչ որ տասնորդական հաշվարկման համակարգում, քանի որ դրանք բոլորը կատարվում են բազմանդամների համապատասխան գործողությունների կատարման կանոններին համապատասխանː Ընդ որում անհրաժեշտ է օգտվել տվյալ հաշվարկման համակարգի $P$հիմքին համապատասխան հանման աղյուսակիցː

Երկուական, տասնորդական և տասնվեցական համակարգերում հանման գործողության օրինակներ, հարմարավետության համար թվերը համապատասխան կարգերով գրված են իրար տակ, փոխառման նշանը գրվում է վերևից, բացակայող կարգերը ավելացվում են զրոներով՝

${\begin{array}{ccccccccc}&.&.&_{10}&&.&_{10}\\&1&1&0&1&1&0\\-&0&1&1&1&0&1\\\hline &&1&1&0&0&1\end{array}},\quad \quad {\begin{array}{ccccccc}&.&_{10}&\\&8&4&5&6&7\\-&3&7&5&4&1\\\hline &4&7&0&2&6\end{array}},\quad \quad {\begin{array}{ccccccc}&.&_{10}&&&_{.}&_{10}\\&C&5&6&D&E&4\\-&0&F&2&A&1&F\\\hline &B&6&4&3&C&5\end{array}}$

Ամբողջ թվեր

Ամբողջ թվերի բազմությունը $\mathbb {N}$բնական թվերի ընդլայնումն է, որն առաջանում է $-n$ տեսքի բացասական թվերի ավելացմաբː Ամբողջ թվերի բազմությունը նշանակում են $\mathbb {Z}$-ովː Ամբողջ թվերի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես բնական թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակությունː

Բացասական թվերի առկայությունը թույլ է տալիս հանումը դիտարկել (և սահմանել), որպես գումարման տարատեսակ՝ բացասական թվի գումարումː Ի տարբերություն բնական թվերի ամբողջ թվերը թվային առանցքի վրա ուղղված են հակառակ ուղղությամբ, սա որոշակիորեն փոխում է հանման գործողության ընթացքըː Անհրաժեշտ է հաշվի առնել թվերի փոխադարձ ուղվածությունները, այստեղ հնարավոր են մի քանի տարբերակներ.

Դրական և բացասական թվերը թվային առանցքի վրա

• Եթե երկու արգումենտներն էլ դրական են, ապա՝ $c=a-b$,
• Եթե բացասական է արգումենտներից միայն մեկը, ապա՝ $c=-a-b=-(a+b)$կամ $c=a-(-b)=a+b$,
• Եթե երկու արգումենտներն էլ բացասական են, ապա՝ $c=(-a)-(-b)=-a+b=b-a$ː

Այստեղ և հաջորդիվ ևս օգտագործվելու է կարգային հանման ալգորիթմըː Օրինակ դիտարկենք հետևյալ արտահայտությունը՝ $-6-4=-10$, քանի որ $-6$և $4$ թվերն ունեն տարբեր նշաններ, մինուսը դուրս բերենք փակագծերից $-6-4=-(6+4)$, շարունակելով կատարել հանման գործողությունը կստանանք $-10$ː

Ռացիոնալ թվեր

Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են $\mathbb {Q}$(անգլ.՝ quotient «քանորդ») և կարող է գրվել հետևյալ կերպ՝ $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}$

Սովորական՝ $\pm {\frac {m}{n}}$ տեսքի կոտորակային ռացիոնալ թվերի հանման համար, անհրաժեշտ է դրանք ընդհանուր հայտարարի բերելː

Եթե տրված են երկու այնպիսի $a$ և $b$ռացիոնալ թվեր, որ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_{a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0$ (կոտորակները չեն կրճատվում), ապա՝$c=a-b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}-{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}-{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}-m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}$ , կամ անհրաժեշտ է գտնել հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըː Գործողությունների հաջորդականությունը հետևյալն է.

• • Գտնում ենք հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը՝ $M=[n_{a},n_{b}]$ː
  • Բազմապատկում ենք առաջին կոտորակի համարիչը և հայտարարը՝ ${\frac {M}{n_{a}}}$ː
  • Բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի համարիչ և հայտարարը՝ ${\frac {M}{n_{b}}}$ː

Այս գործողությունից հետո կոտորակների հայտարարները համընկնում են (հավասար են $M$-ի)ː Մի շարք պարզ դեպքերում սա հերթացնում է հանման գործեղությունը, բայց մեծ թվերի դեպքում հաշվարկները զգալիորեն բարդանում ենː $M$-ի փոխարեն կարելի է վերցնել ցանկացած այլ ընդհանուր բազմապատիկː

Հանման օրինակ՝

${\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}-{\frac {3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5-3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10-3}{15}}={\frac {7}{15}}$

Եթե երկու կոտորակների հայտարարները համընկնում են ապա՝

${\frac {1}{4}}-{\frac {2}{4}}={\frac {1-2}{4}}=-{\frac {1}{4}}$

Եթե հայտարարները բազմապատիկ են մեկ այլ թվի, ապա ձևավորում ենք միայն մի կոտորակ՝

${\frac {3}{8}}-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}-{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2}}={\frac {3-1\cdot 2}{8}}={\frac {1}{8}}$

Ռացիոնալ թվերի «հանման» թվաբանական գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններինː

Իրական թվեր

Անվերջ տասնորդական կոտորակների տեսքով ներկայացված իրական թվերի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես ռացիոնալ թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակություն ː

Եթե տրված են երկու անվերջ տանորդական կոտորակային թվեր՝

$\alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\}$, $\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\}$

սահմանված համապատասխան ռացիոնալ թվերի ֆունկցիոնալ հաջորդականություններով, նշանակված որպես՝ $\alpha =[a_{n}]$ և $\beta =[b_{n}]$, ապա նրանաց տարբերությունը կլինի $\gamma =[c_{n}]$, սահմանված $\{a_{n}\}$ և $\{b_{n}\}$ հաջորդականությունների տարբերությամբ՝

$\gamma =\alpha -\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]-[b_{n}]=[a_{n}-b_{n}]$,

$\gamma =\alpha -\beta$ իրական թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

$\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'-b'\leqslant \alpha -\beta \leqslant a''-b'')\Rightarrow (a'-b'\leqslant \gamma \leqslant a''-b'')$ː

Այսպիսով երկու  $\alpha$ և $\beta$ իրական թվերի տարբերությունը այնպիսի $\gamma$ իրական թիվ է, որը մի կողմից պարունակվում է բոլոր $a'-b'$, մյուս կողմից բոլոր $a''-b''$ տարբերություններումː

Գործնականում որպեսիզի հանենք երկու $\alpha$ և $\beta$թվերը, անհրաժեշտ է դրանք փոխարինել պահանջվող ճշտությամբ մոտավոր ռացիոնալ $a$ և $b$թվերեվː Որպես $\alpha -\beta$-ի մոտավոր տարբերություն վերցնում են $a-b$ ռացիոնալ թվերի տարբերությունըː Ընդ որում կարևոր չէ, թե որ կողմից (պակասորդի թե ավելցուկի) են վերցված թվերը, դրանք մոտեցնում են $\alpha$-ին և $\beta$-ինː Գումարումը կատարվում է համաձայն կարգաին գումարման ալգորիթմիː

Մոտավոր թվերի հանման ժամանակ նրանց բացարձակ սխալանքները գումարվում են $\Delta (a-b)=\Delta a+\Delta b$, որպես թվի բացարձակ սխալանք վերցվում է տվյալ թվի վերջին թվանշանի կեսըː Տարբերության հարաբերական սխալանքը հավասար է արգումենտների ամենամեծ և ամենափոքր հարաբերական սխալանքների տարբերությանը, գործնականում վերցվում է ամենամեծ սխալանքը $\delta (a-b)=max(\delta a,\delta b)$ː Ստացված արդյունքը կլորացվում է մինչև թվի առաջին ճիշտ իրական արժեքը, մոտավոր թվի իրական արժեքը համարվում է ճիշտ, եթե թվի բացարձակ սխալանքը չի գերազանցում այդ թվին համապատասխանող կարգի միավորի կեսըː

Հանման օրինակ՝ $\gamma =\pi -e$, ստորակետից հետո մինչև 3 թվի ճշտությամբ՝

• Կլորացնում ենք տրված թիվը ստորակետից հետո մինչև 4-րդ թվանշանը (հանման ճշտության բարձրցման համար),
• Կստանանք՝ $\pi \approx 3.1416,\quad e\approx 2.7183$,
• Հանում ենք ըստ կարգերի՝ $\gamma =\pi -e\approx 3.1416-2.7183\approx 0.4233$,
• Կլորացնում ենք մինչև ստորակետից հետո 3-րդ թվանշանը՝ $\gamma \approx 0.423$ː

Գրաֆիկ

Իրական թվերի տարբերության ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հարթության տեսք, որն անցնում է կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով և թեքվում է առանցքի հանդեպ 45° աստիճան անկյան տակː

f(c)=a-b ֆունկցիայի գրաֆիկ

Քանի որ $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$, ապա այս բազմությունների համար ևս հանման ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կպատկանի այս հարթությանըː

Կոմպլեքս թվեր

Երկու կոմպլեքս թվերի c=a-b տարբերությունը կարող է ներկայացվել երկրաչափորեն եռանկյան կառուցման տեսքով

Կոմպլեքս թվերի բազմությունը թվաբանական գործողություների հետ միասին համարվում է դաշտ և սովորաբար նշանակվում է $\mathbb {C}$ սիմվոլովː

Կոմպլեքս թվերը մեկը մյուից հանվում են իրական և կեղծ մասերի իրարից հանելու ճանապարհովː Սա նշանակում է, որ՝

$c+fi=(a+di)-(b+ei)=(a-b)+(d-e)i,\$

որտեղ՝ $c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R}$, $i$ — կեղծ միավորն էː Կոմպլեքս հարթության մեջ կոմպլեքս թվերը որպես վեկտորներ օգտագործելու ժամանակ կոմպլեքս թվերի հանմանը կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը՝ $a+di$ և $b+ei$ կոմպլեքս թվերի տարբերությունը, որոնք կոմպլեքս հարթության մեջ ներկայացված են վեկտորներ տեսքով, իրենից ներկայացնում է վեկտոր, որը միացնում է նավազելի և հանելի վեկտորների ծայրերը և ուղղված է հանելիից դեպի նվազելի, այն համարվում է վեկտորների տարբերություն և համապատասխանաբար կոմպլեքս թվերի տարերություն (նույն արդյունքը կստանանք եթե նվազելի վեկտորին ավելացնենք հանելի վեկտորի հակադարձը)ː

Համանմանորեն n չափանի կոմպլեքս թվերի համար. $A=a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n},~~~B=b_{1}1+b_{2}i_{2}+\dots +b_{n}i_{n}$$C=A-B=(a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n})-(b_{1}1+b_{2}i_{2}+\dots +b_{n}i_{n})=$ $=(a_{1}-b_{1})1+(a_{2}-b_{2})i_{2}+\dots +(a_{n}-b_{n})i_{n}=c_{1}1+c_{2}i_{2}+\dots +c_{n}i_{n}$

Էքսպոնենցիալ գրելաձև

Էքսպոնենցիալ գրության ժամանակ թվերը գրվում են $a=\pm x\cdot P^{\pm n}$ տեսքով, որտեղ $x$-ը մանտիսն է, $P^{n}$-ը թվի բնութագիրն է, $P$ -ն հաշվարկման համակարգի հիմքըː Էքսպոնենցիալ ձևով գրված երկու թվերի հանման համար անհրաժեշտ է որպեսիզի նրանց բնութագրերը լինեն նույնըː Համաձայն բաշխականության հատկության՝ $a\cdot P^{n}-b\cdot P^{n}=(a-b)\cdot P^{n}$ː

Օրինակ՝

$2.3\cdot 10^{-5}-5.67\cdot 10^{-6}=2.34\cdot 10^{-5}-0.567\cdot 10^{-5}=(2.34-0.567)\cdot 10^{-5}=1.773\cdot 10^{-5}$

Կամայական թվերի հանում

Տարբեր բազմությունների պատկանող թվերի հանման ժամանակ անհրաժեշտ է ավելի թույլ հզորությամբ բազմության թվերը ընդլայնել ավելի հզոր թվերի կողմը, կամ հնարավորության դեպքում երկու թվերն էլ ընդլայնել դրանք հավասարեցնելովː Օրինակ եթե անհրաժեշտ է $9,56$ ռացիոնալ թվից հանել բնական $4$ թիվը, ապա օգտվելով այն բանից որ բնական թվերը համարվում են ռացիոնալ թվերի ենթախումբ $4$ բնական թիվը ընդլայնոմ ենք մինչև $4,00$ ռացիոնալ թիվ և իրարից հանում ենք երկու ռացիոնալ թվեր $9,56-4,00=5,56$ː Համանմանորեն հաշվի առնելով, որ $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H}$ կարելի է իրարից հանել նաև տարբեր բազմությունների թվերː

Տես նաև

• Գումար
• Գումարում
• Բազմապատկում

Գրականություն

• Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс.. — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
• Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7
• Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов.. — Просвещение, 1966. — 296 с.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы, книга для учащихся.. — Просвещение, 1988. — 416 с.
• Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение.. — Ассоциация XXI век, 2005. — 272 с. — ISBN 5-89308-193-5
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6
• В.И. Игошин КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА : статья. — Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2010.
• Кононюк А.Е. Обобщенная теория моделирования.. — Освіта України, 2012. — Т. 2. — 548 с. — ISBN 978-966-7599-50-8
• Тире, минус и дефис, или Черты русской типографики : [арх. 24 Օգոստոսի 2011] // Ководство / Артемий Лебедев. — 2003. — § 97 (15 հունվարի).
• Conway, John B. Функция одной комплексной переменной = Functions of One Complex Variable I. — Springer Science, 1986. — 322 с. — ISBN 0-387-90328-3

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Հանում» հոդվածին։