Բացել գլխավոր ցանկը
As the degree of the Taylor polynomial rises, it approaches the correct function. This image shows sin x and its Taylor approximations, polynomials of degree 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.
The exponential function ex (in blue), and the sum of the first n + 1 terms of its Taylor series at 0 (in red).

Թեյլորի շարք, մաթեմատիկայում ֆունկցիան անվերջ շարքի տեսքով ներկայացում, որի անդամները ստացվում են որոշակի կետում ֆունկցիայի ածանցյալների արժեքներից։

Թեյլորի շարքերի հասկացությունը ձևակերպել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Ջեյմս Գրեգորին, սակայն ֆորմալ ներկայացրել է անգլիացի մաթեմատիկոս Բրուկ Թեյլորը 1715 թվականին։ Եթե Թեյլորի շարքի կենտրոնը 0-ն է, այն նաև կոչվում է Մակլորենի շարք՝ ի պատիվ շոտլանդացի մաթեմատիկոս Քոլին ՄաքԼորինի, որը 18-րդ դարում լայնորեն օգտագործել է Թեյլորի շարքի մասնավոր դեպքերը։

Ֆունկցիան կարելի է մոտարկել՝ օգտագործելով իր Թեյլորի շարքի վերջավոր քանակությամբ անդամներ։ Թեյլորի թեորեմը նման մոտարկման համար քանկական գնահատական է տալիս։ Թեյլորի շարքերի վերջավոր քանակությամբ անդամներով կազմված բազմանդամը կոչվում է Թեյլորի բազմանդամ։ Ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը այդ ֆունկցիայի Թեյլորի բազմանդամի սահմանն է, երբ աստիճանը աճում է, եթե սահմանը գոյություն ունի։ Ֆունկցիան կարող է հավասար չլինել իր Թեյլորի շարքին, նույնիսկ եթե Թեյլորի շարքը ցանկացած կերտում զուգամետ է։ Այն ֆունկցիաները որոնք բաց միջակայքում (կամ շրջան կոմպլեքս հարթությունում) հավասար են իրենց Թեյլորի շարքին կոչվում են անալիտիկ ֆունկցիաներ այդ միջակայքում։

ՍահմանումԽմբագրել

a կետում ցանկացած կարգի ածանցյալ ունեցող իրական կամ կոմպլեքս f (x) ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը աստիճանային շարք է,

 

կամ

 

որտեղ n!nֆակտորիալն է, իսկ f(n)(a)a կետում f ֆունկցիայի n-րդ կարգի ածանցյալն է։ Ըստ սահմանման՝ f-ի 0-րդ ածանցյալը հավասար է հենց f-ին, իսկ (xa)0-ը և 0!-ը՝ 1-ի։ a = 0 դեպքում շարքը կոչվում է Մակլորենի շարք[1]։

ՕրինակներԽմբագրել

Բազմանդամի Թեյլորի շարքը հենց այդ բազմանդամն է։

11 − x-ի Մակլորենի շարքը երկրաչափական շարք է

 

հետևաբար՝ a = 1 կետում 1x-ի Թեյլորի շարքն է՝

 

Ինտեգրելով այս շարքը՝ ստանում ենք, որ log(1 − x)-ի Մակլորենի շարքը՝

 

Համապատասխանաբար՝ a = 1 կետում log x-ի Թեյլորի շարքն է՝

 

Ընդհանուր առմամբ a = x0 կետում log x-ի Թեյլորի շարքն է՝

 

a = 0 կետում ex աստիճանային ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը ունի

 

տեսքը, քանի որ x-ի նկատմամբ ex-ի ածանցյալը հավասար է ex-ի, իսկ e0-ը՝ 1-ի։ Արդյունքում՝ համարիչը ունենում է (x − 0)n տեսքը, իսկ հայտարարը՝ n!։

ՊատմությունԽմբագրել

Հույն փիլիսոփա Զենոն Էլեացին քննարկել է անվերջ շարքի անդամները գումարելով վերջավոր արժեք ստանալու խնդիրը, սակայն այն անհնար է համար, ինչի արդյունքն է Զենոնի պարադոքսը։ Հետագայում, Արիստոտելը ներկայացրել է պարադոքսի փիլիսոփայական լուծում, բայց մաթեմատիկական մասը չլուծված է մնացել մինչև Արքիմեդեսի սպառման մեթոդի մշակումը[2]։ Լիու Հուին դարեր անց անկախ մշակել է նման մեթոդ[3]։

14-րդ դարում Թեյլորի շարքի և նման մեթոդների առաջին օրինակները տվել է հնդիկ մաթեմատիկոս Մադհավա Սանգամագրամացին[4][5]։ Չնայած իր աշխատանքները չեն պահպանվել, հետագա հնդիկ մաթեմատիկոսների գրառումները վկայում են, որ նա գտել է Թեյլորի շարքերի մի քանի մասնավոր դեպքեր, ներառյալ՝ սինուս, կոսինուս, տանգես և արկտանգես եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ներկայացումը։ Աստղագիտության և մաթեմատիկայի Կերալա դպրոցը մինչև 16-րդ դարը համալրել է այս ֆունկցիաների ցանկը։

17-րդ դարում Ջեյմս Գրեգորին աշխատել է այս բնագավառում և հրատարակել է որոշ Մակլորանի շարքերի։ 1715 թվականին Բրուկ Թեյլորը, որի անվամբ հետագայում կոչվել են այս շարքերը, ապացուցել է ցանկացած ֆուկցիայի համար այս շարքը գտնելու ընդհանուր մեթոդը (եթե նման շարք գոյություն ունի)[6]։

Մակլորանի շարքերը կոչվել են Էդինբուգի պրոֆեսոր Կոլին Մակլորենի անվամբ, որը 18-րդ դարում հրատարակել է Թեյլորի շարքի մասնավոր դեպքը։


Անալիտիկ ֆունկցիաներԽմբագրել

 
e(−1/x2) ֆունկցիան անալիտիկ չէ x = 0 կետում․ Թեյլորի շարքը հավասար է 0-ի, սակայն ֆուկցիայի արժեքը 0 չէ։

Դիցուք f (x) ֆունկցիան տրված է կոմպլեքս հարթության b կենտրոնով որևէ աստիճանային շարքով, որը զուգամետ է x բաց շրջանում (կամ բաց միջակայք)։ Այդ դեպքում կասենք, որ ֆունկցիան այս շրջանում անալիտիկ է։ Այլ կերպ ասած, ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

 

Ֆունկցան n անգամ ածանցնելով և x = b տեղադրելով կստանանք՝

 

այսինքն, աստիճանային շարքը հավասար է Թեյլորի շարքին։ Այսպիսով, ֆունկցիան b կենտրոնով x բաց շրջանում անալիտիկ է այն և միայն այն դեպքում, երբ ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը x շրջանի կամայական կետում զուգամիտում է ֆունկցիայի արժեքին։ Եթե f (x) ֆունկցիան կոմպլեքս հարթության կամայական կետում հավասար է իր Թեյլորի շարքին, ուրեմն ֆունկցիան կոչվում է ամբողջական ֆունկցիա։ Բազմանդամները, ցուցչային ex ֆունկցիան, և եռանկյունաչափական սինուս և կոսինուս ֆունկցիաները ամբողջական ֆունկցիաների օրինակներ են։ Լոգարիթմը, տանգեսը, արկտանգեսը ոչ ամբողջական ֆունկցիաների օրինակներ են։ Այս ֆունկցիաների դեպքում թեյլորի շարքը չի զուգամիտում, եթե x-ը շատ հեռու է b կետից։ Այլ կերպ ասած, Թեյլորի շարքը տարամիտում է, երբ x և b կետերի միջև հեռավորությունը մեծ է տարամտության շառավղից։ Թեյլորի շարքը կարող է օգտագործվել ամբողջական ֆունկցիաների արժեքը կամայական կետում հաշվելու համար, եթե որևէ կետում ֆունկցիայի և նրա բոլոր ածանցյալների արժեքը հայտնի է։

Թեյլորի շարքի կիրառություններից են՝

  1. Թեյլորի բազմանդամի մասնակի անդամների գումարը կարող է օգտագործվել ֆունկցիայի մոտարկման համար։ Այս մոտարկումները լավ են, եթե բավարար քանակությամբ անդամներ են ներառվում։
  2. Աստիճանային շարքերը կարել է անդամ առ անդամ ածանցել և ինտեգրել, ինչը սովորաբար ավելի հեշտ է։
  3. Հարնահաշվական գործողությունները հեշտորեն կարել է կատարել աստիճանային շարքերի ներկայացման հետ․ օրինակ՝ Էյլերի բանաձևը հետևում է եռանկյունաչափական և աստիճանային ֆունկիցաների Թեյլորի շարքից։ Այս արդյունքը հիմնարար նշանակություն ունի այնպիսի բնագավառներում ինչպիսին է հարմոնիկ անալիզը։

Որոշ հայտնի ֆունկցիաների Մակլորենի շարքերի ցանկԽմբագրել

 
Կոսինուս ֆունկցիայի իրական մասը կոմպլեքս հարթությունում
 
Կոմպլեքս հարթությունում կոսինուս ֆունկցիայի 8-րդ կարգի մոտարկումը
 
Վերևի երկու կորերը միասին
 
Մոտարկման անիմացիա

Որոշ նշանավոր Մակլորենի շարքեր[7]։ Այս բոլոր շարքերը վավեր են կոմպլեքս x արգումենտի համար։

Ցուցչային ֆունկցիաԽմբագրել

  ցուցչային ֆունկցիայի (e հիմքով) Մակլորենի շարքն է՝

 ։

Այն զուգամենտ է ցանկացած x-ի համար։

Բնական լոգարիթմԽմբագրել

Բնական լոգարիթմի (e հիմքով) Մակլորենի շարքն է՝

 

Որոնք զուգամետ են, երբ  ։

Երկրաչափական շարքերԽմբագրել

Երկրաչափական շարքերը և նրանց ածանցյալները ունեն Մակլորենի շարք՝

 

Այս բոլոր շարքերը զուգամետ են   դեպքում։ Սրանք բոլորը բինոմիական շարքերի մասնավոր օրինակներ դեպքեր են։

Բինոմիական շարքերԽմբագրել

Բինոմիական շարքերը աստիճանային շարքեր են

 

որոնց գործակիցները հավասար են՝

 

( n = 0 դեպքում արտադրյալը կոչվում է դատարկ արտադրյալ, որը հավասար է 1)։ Այն զուգամետ է   դեպքում իրական կամ կոմպլեքս թվերի α-ի համար։

Երբ α = −1, շարքը նույն նախորդ բաժնում նշված երկրաչափական շարքն է։ α = 12 և α = −12 մասնավոր դեպքերում շարքն ունի հետևյալ տեսքը՝

 

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներԽմբագրել

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների և նրանց հակադարձ ֆունկցիաների Մակլորենի շարքերն են՝

 

Բոլոր անկյունները ներկայացված են ռադիաներով։ BkԲերնուլիի թիվն է, Ek-ն՝ Էյլերի թիվը, որը սահմանված է

 

որտեղ cosh t-ը հիպերբոլական կոսինուսն է։

Հիպերբոլական ֆունկցիաներԽմբագրել

Հիպերբոլական ֆունկցիաների Մակլորենի շարքերն են՝

 

Bk-ը Բերնուլիի թիվն է։

Թեյլորի շարքի հաշվումԽմբագրել

Մեծ թվով ֆունկցիաների համար գոյություն ունեն Թեյլորի շարքի հաշվման որոշ մեթոդներ։ Այն կարելի է հաշվել օգտվելով հենց շարքի սահմանումից, սակայն այս պարագայում հաճախ անհրաժեշտ է լինում առաջին մի քանի անդամների տեսքից գտնել գործակիցների համար ընդհանուր բանաձև։ Օգտվելով արդեն հայտնի Թեյլորի շարքերից կարելի է գտնել այլ ֆուկցիաների Թեյլորի շարքերը՝ օգտագործելով գումարման, հանման, բաժանման կամ բազմապատկման գործողություններ։ Որոշ դեպքերում հնարավոր է պարբերաբար մասերով ինտեգրման միջոցով կառուցել Թեյլորի շարք։ Հնարավոր է նաև օգտագործել համակարգչային հանրահաշվական մեթոդներ՝ Թեյլորի շարք գտնելու համար։

Առաջին օրինակԽմբագրել

Այս ֆունկցիայի Մակլորենի շարքի 7-րդ անդամը գտնելու համար

  ,

կարելի է այն ներկայացնել այս տեսքով։

 :

Բնական լոգարիթմի Թեյլորի շարքը հավասար է՝ (օգտագործելով միևնույն կարգի ֆունկցիաների նշանակումը)

 

իսկ կոսինուս ֆունկցիայինը՝

 ։

Վերջինս ունի զրո հաստատուն անդամ, ինչը թույլ է տալիս առաջին շարքի մեջ տեղադրել երկրորդ շարքը՝ միևնույն կարգի ֆունկցիաների նշանակմամբ ազատվելով 7-ից բարձր կարգ ունեցող անդամներից՝

 

Քանի որ կուսինուսը զույգ ֆունկցիա է, բոլոր կենտ աստիճանի անդամների x, x3, x5, x7, ... գործակիցները զրո են։

Երկրորդ օրինակԽմբագրել

Ենթադրենք ցանկանում ենք գտնել

 

ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը 0 կետում։ Ունենալով աստիճանային ֆունկցիայի և կոսինուսի Թեյլորի շարքրը՝

 
 ,

Կարելի է ենթադրել, որ աստիճանային շարքն է՝

 ,

այնուհետև բազմապատկելով հայտարարի հետ և տեղադրելով կոսինուսի շարքը, ստանում ենք՝

 ։

Հավաքելով մինչև 4-րդ կարգի անդամները՝

 

  անդամի արժեքը կարելի է գտնել՝ համեմատելով  -ի գործակիցների հետ․

 ։

Երրորդ օրինակԽմբագրել

(1 + x)ex ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը գտնելու համար կարելի է օգտագործել ex-ի շարքը․

 

Այսպիսով,

 

Թեյլորի շարքը որպես սահմանումԽմբագրել

Սովորաբար, հանրահաշվական ֆունկցիաները սահմանվում են հանրահաշվական հավասարումներով, իսկ տրանսցենդենտալ ֆուկցիաները՝ ինչ-որ հատկությամբ, օրինակ՝ դիֆերենցիալ հավասարմամբ։ Օրինակ՝ ցուցչային ֆունկցիան այն ֆուկցիան է, որը կամայական կետում հավասար է իր ածանցյալին, իսկ սկզբնակետում՝ 1-ի։ Սակայն, անալիտիկ ֆունկցիաները կարելի է նաև սահմանել իրենց Թեյլորի շարքով։

Թեյլորի շարքը մաթեմատիկայի բազմաթիվ բնագավառներում օգտագործվում է ֆունկցիաներ և օպերատորներ սահմանելու համար։ Այս մեթոդը առավելապես օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ ֆունկցիաների դասական սահմանումները չեն աշխատում։ Օրինակ, օգտագործելով Թեյլորի շարքերը հնարավոր է անալիտիկ ֆունկցիաները ընդլայնել մատրիցների և օպերատորների բազմության վրա։

Այլ բնագավառներում, ինչպես օրինակ ֆորմալ անալիզում, ավելի հարմար է աշխատել աստիճանային շարքերի հետ։ Այսպիսով, հաճախ դիֆերենցյալ հավասարման լուծումը սահմանում են որպես աստիճանային ֆունկցիա, այն հույսով, որ հետագայում հնարավոր կլինի ապացուցել, որ այն հավասար է ցանկալի լուծման Թեյլորի շարքին։

Թեյլորի շարքը մի քանի փոփոխականների համարԽմբագրել

Թեյլորի շարքը հնարավոր է ընդհանրացնել նաև մի քանի փոփոխականով ֆունկցիաների համար[8][9]

 

Օրինակ, x և y փոփոխականներից կախված   ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը (a, b) կետում մինչև երկրորդ կարգ հավասար է՝

 

որտեղ վարգրերը ցույց են տալիս համապատասխան մասնակի ածանցյալները։

Սկալյար արժեքով և մի քանի փոփոխականից կախված ֆունկցիայի երկրորդ կարգի Թեյլորի շարքը կարելի է գրել այսպես՝

 

որտեղ D f (a)f ֆունկցիայի գրադիենտն է x = a կետում, իսկ D2 f (a)-ը՝ Հեսսյան մատրիցը։ Թեյլորի շարքը կարելի է գրել նաև հետևյալ տեսքով՝

 

որը առաջին բանաձևի կրճատ գրելաձևն է և նման է մեկ փոփոխականով ֆունկցիաների Թեյլորի շրաքի տեսքին։ Թեյլորի շարքը հնարավոր է նաև գրել հետևյալ տեսքով՝

 

որտեղ օգտագործված օպերատորը տրված է՝

 ։

ՕրինակԽմբագրել

 
Second-order Taylor series approximation (in orange) of a function f (x,y) = ex log(1 + y) around the origin.

Հետևյալ ֆունկցիայի երկրորդ կարգի Թեյլորի շարքը (a, b) = (0, 0) կետում հաշվելու համար

 

նախ պետք է հաշվել անհրաժեշտ բոլոր մասնակի ածանցյալները՝

 

Թեյլորը բազմանդամի գործակիցները գտնելու համար պետք է գտնել ածանցյալների արժեքները (a, b) կետում,

 

Տեղադրելով այս արժեքները ընդհանուր ֆունկցիայի մեջ, կստանանք՝

 

որը նույնն է ինչ՝

 

Քանի որ log(1 + y) ֆունկցիան անալիտիկ է, երբ Արտահայտության սխալ․ չճանաչված կետադրական նշան՝ «'»։ < 1, կստանանք՝

 ։

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Thomas & Finney 1996, §8.9
  2. Kline M. (1990)։ Mathematical Thought from Ancient to Modern Times։ New York: Oxford University Press։ էջեր 35–37։ ISBN 0-19-506135-7 
  3. Boyer C., Merzbach U. (1991)։ A History of Mathematics (Second revised ed.)։ John Wiley and Sons։ էջեր 202–203։ ISBN 0-471-09763-2 
  4. «Neither Newton nor Leibniz – The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala»։ MAT 314։ Canisius College։ Արխիվացված օրիգինալից 2015-02-23-ին։ Վերցված է 2006-07-09 
  5. S. G. Dani (2012)։ «Ancient Indian Mathematics – A Conspectus»։ Resonance 17 (3): 236–246։ doi:10.1007/s12045-012-0022-y 
  6. Taylor Brook (1715)։ Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (Latin)։ London։ p. 21–23 (Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2)  Translated into English in Struik D. J. (1969)։ A Source Book in Mathematics 1200–1800։ Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press։ էջեր 329–332 
  7. Այս շարքերի մեծ մասը կարելի է գտնել (Abramowitz & Stegun 1970) գրքում։
  8. Lars Hörmander (1990), The analysis of partial differential operators, volume 1, Springer, Eqq. 1.1.7 and 1.1.7′ 
  9. Duistermaat; Kolk (2010), Distributions: Theory and applications, Birkhauser, ch. 6 

ԱղբյուրներԽմբագրել

Արտաքին հղումներԽմբագրել