Աստիճանային շարք մեկ փոփոխականով, դա ֆորմալ հանրահաշվական արտահայտություն է։

որում գործակիցներ ընտրվում է մի ինչ որ օղակից։

Աստիճանային շարքերի տարածություն

խմբագրել

Տարածությունը մեկ փոփոխականով աստիճանային շարքով և գործակիցներ  -ից նշանակում են .   տարածությունը ունի դիֆերենցիալ հանրահաշվի կառուցվածք (կոմուտատիվ   օղակով, ամբողջական, միավորով, եթե այդպիսին է  ) օղակը։ Այն հաճախ օգտագործում են մաթեմատիկայում նկատի առնելով, որ նրանում հեշտ ներկայացնելի և լուծելի է ֆորմալ դիֆերենցիալ-հանրահաշվական և նույնիսկ ֆունկցիոնալ հարաբերակցությունը (տես․ մեթոդ ածանցավոր ֆունկցիաներ)։ Դրա օգտագործումով այդ հարաբերակցությունը փոխակերպվում է աստիճանական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարման։ Եթե այն թույլատրվում է, ասում է ֆորմալ աստիճանային շարքի տրված խնդրի լուծման մասին։

 - ում սահմամված է գումարման, բազմապատկման, ֆորմալ դիֆերենցում և ֆորմալ վերադրում գործողությունները։

Ենթադրենք

 

Այդ ժամանակ։

 
 
  (այդ դեպում անհրաժեշտ է, որ պահպանվի  )
 

Աստիճանային շարքի զուգամիտություն

խմբագրել

Իրական կամ կոմպլեքս գործակիցներով ֆորմալ աստիճանային շարքից, գրառման ճանապարհով, ինչ որ   իրական ֆորմալ փոփոխականի մեծությունից, իրական և կոմպլեքս դաշտում կարելի է ստանալ աստիճանային շարք։ Աստիճանային շարքը համարվում է զուգամիտվող (գումարվող), եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից և կոչվում է բացարձակ զուգամիտություն, եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից, վերցրած մոդուլով (նորմայով)։

Զուգամիտության հայտանիշներ

խմբագրել

Աստիճանային շարքի համար գոյություն ունի մի քանի թեորեմ, նկարագրելով պայմանը և բնույթը զուգամիտության։

  • Աբելի առաջին թեորեմ։ Ենթադրենք   շարքը զուգամիտվում է   կետում։ Այդ ժամանակ այդ շարքը զուգամիտվում է բացարձակապես   շրջանում և հավասարաչափորեն այդ շրջանի   ցանկացած կոմպակտ ենթաբազմությունում։ Հակադարձելով այդ թեորեմային, ստանում ենք, եթե աստիճանային շարքը տարամիտվում է   դեպքում, այն տարամիտվում է ցանկացած   դեպքում, այնպիսիք որ  ։ Աբելի առաջին թեորեմայից նույնպես հետևում է, որ գոյություն ունի շրջանագծի այդպիսի   շառավիղ ( հնարավոր է, զրոյական կամ անվերջ), որ  -ի դեպքում շարքը զուգամիտում է բացարձակապես (և հավասարաչափորեն այդ շրջանի   ) կոմպակտ ենթաբազմությունում, իսկ   դեպքում տարամիտում է։ Այդ   մեծությանը անվանում են շարքի զուգամիտության շառավիղ, իսկ   շրջանը՝ զուգամիտության շրջան։
  • Կոշի-Ադամարի բանաձև։ Աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը (եթե վերևի սահման գոյություն ունի և դրական է, Աստիճանային շարքի մասին Ադամարի թեորեմ) կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով․
 

(Վերին սահմանի սահմանման առիթով   տես․ «Հաջորդականության մասնակի սահման» հոդվածը)։

Ենթադրենք   և  , երկու աստիճանային շարք են   և   զուգամիտության շառավիղներով։ Այդ ժամանակ

 
 
 

Եթե շարքի համար  -ը զրոյական ազատ անդամ է, ապա

 

Հարցը   վերին սահմանի կետերում զուգամիտության շարքի մասին բավականին բարդ է շրջանի զուգամիտությունը և այստեղ ընդհանուր պատասխան չկա։ Ահա մի քանիսը շարքի զուգամիտության սահմանային կետերում շրջանի զուգամիտության մասին թեորեմայից։

  • Դալամբերի հայտանիշ։ Եթե   և   դեպքում,
  անհավասարությունը տեղի ունի,
ապա   աստիճանային շարքը զուգամիտվում է   շրջանի բոլոր կետերում և հավասարաչափ  -ով։
  • Դիրիխլիի հայտանիշ։ Եթե   աստիճանային շարքի բոլոր գործակիցները դրական են և   հաջորդականությունը մոնոտոն զուգամիտվում է 0-ի, ապա այդ շարքը զուգամիտվում է   շրջանագծի բոլոր կետերում, բացի, գուցե   կետում։

Աստիճանային շարքի գումարը, ինչպես   կոմպլեքս պարամետրի ֆունկցիա, հանդիսանում է վերլուծական ֆունկցիայի տեսության ուսումնասիրման առարկա։

Փոփոխակումներ և ընդհանրացումներ

խմբագրել

n փոփոխականով աստիճանային շարք, դա ֆորմալ հանրահաշվական տեսքի արտահայտություն է,

  կամ բազմաինդեքս նշանակումներ,
 

որտեղ    վեկտորն է,  -ն ՝   մուլտիինդեքսը,    միանդամը։   պարամետրերով և   գործակիցներով աստիճանային շարքի տարածությունը նշանակվում է՝  ։ Նրանում սահմանված է գումարման, բազմապատկման, յուրաքանչյուր փոփոխականի դիֆերենցման և  -տեղային վերադրման գործողություններ։ Ենթադրենք

 

Ապա.

 
 
 

  տարածության մասին կարելի է գործնականում ասել նույնը, ինչ և  ։

 Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Աստիճանային շարք» հոդվածին։
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 8, էջ 469