Ցուցչային ֆունկցիա

Ցուցչային ֆունկցիա,$f(x)=a^{x}$ տեսքի մաթեմատիկական ֆունկցիա է, որտեղ $a$-ն կոչվում է ցուցչի հիմք, իսկ $x$-ը՝ ցուցչի աստիճան։

• Իրական դեպքում ցուցչի $a$ հիմքը որոշակի ոչբացասական իրական թիվ է, իսկ ֆունկցիայի արգումենտը հանդիսանում է իրական ցուցչի աստիճան։
• Կոմպլեքս ֆունկցիաների տեսությունում դիտարկվում է առավել ընդհանուր դեպք, երբ արգումենտը և աստիճանի ցուցիչը կարող են լինել կամայական կոմպլեքս թիվ։
• Առավել ընդհանուր տեսքով՝ $u^{v}$, մտցվել է Լեյբնիցի կողմից 1695 թվականին։

Հատուկ առանձնացվում է այն դեպքը, երբ որպես աստիճանի հիմք հանդես է գալիս $e$ թիվը։ Այդպիսի ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենտային (իրական կամ կոմպլեքս)։

Իրական ֆունկցիա

Ցուցչային ֆունկցիայի սահմանումը

Դիցուք $a$-ն ոչբացասական իրական թիվ է, իսկ $x$-ը ռացիոնալ թիվ՝${\frac {m}{n}}$։ Այդ դեպքում $a^{x}$-ը որոշվում է հետևյալ կանոններով՝

• Եթե $x>0$, ապա $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ ։
• Եթե $x=0$ և $a\neq 0$ , ապա $a^{x}=1$։
• $0^{0}$ -ի արժեքը որոշված չէ։
• Եթե $x<0$ և $a>0$ , ապա$a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}$։
• $a^{x}$-ի արժեքը $x<0$, $a=0$-ի դեպքում որոշված չէ։

Ցանկացած $x$ իրական ցուցչի դեպքում $a^{x}$-ը կարելի է որոշել որպես $a^{r_{n}}$ հաջորդականության սահման, որտեղ $r_{n}$-ը $x$-ին ձգտող ռացիոնալ թիվ է։ Էքսպոնենտայի համար գոյություն ունեն նաև այլ սահմանում սահմանի օգնությամբ, օրինակ՝

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$։

Հատկություններ

Ցուցչային ֆունկցիայի գրաֆիկը

• $a^{0}=1$
• $a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}$
• $(a^{x})^{y}=a^{xy}$
• $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$

Օգտագործելով $\ln x$ բնական լոգարիթմի ֆունկցիան, կարելի է ցուցչային ֆունկցիան արտահայտել կամայական դրական հիմքով էքսպոնենտայի միջոցով՝

$a^{x}=e^{x\cdot \ln a}$։

Այս կապը հնարավորություն է տալիս սահմանափակվել էքսպոնենտայի հատկության ուսումնասիրմամբ։ Անալիտիկ հատկություններ՝

${\frac {d}{dx}}a^{x}=(\ln a)a^{x}$.

Մասնավորապես՝

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

Ապացույց  

I. Ապացուցենք, որ ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

$\lim _{\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{x+\triangle x}-e^{x}}{\triangle x}}=\lim _{\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{x}\cdot (e^{\triangle x}-1)}{\triangle x}}=e^{x}\cdot \lim _{\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{\triangle x}-1}{\triangle x}}=e^{x}\cdot 1=e^{x}$

Ինչ որ պահանջվում էր ապացուցելու։

II. Ապացուցենք, որ $\lim {\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{\triangle x}-1}{\triangle x}}=1$: Դիցուք $e^{\triangle x}-1=u$, այդ դեպքում $e^{\triangle x}=u+1\Rightarrow \triangle x=\ln(u+1)$: Եթե $\triangle x\rightarrow 0$, ապա $u=e^{\triangle x}-1\rightarrow 0$,

$\lim _{\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{\triangle x}-1)}{\triangle x}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {u}{\ln(u+1)}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {1}{{\frac {1}{u}}\ln(u+1)}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {1}{\ln(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {\lim _{u\rightarrow 0}\cdot 1}{\lim _{u\rightarrow 0}}}\ln(u+1)^{\frac {1}{u}}={\frac {1}{\ln \lim _{u\rightarrow 0}(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {1}{\ln e}}=1$

III. ${\frac {d}{dx}}a^{x}={\frac {d}{dx}}(e^{\ln a})^{x}={\frac {d}{dx}}e^{x\cdot \ln a}=e^{x\ln a}\cdot \ln a=a^{x}\cdot \ln a$

Ինչ որ պահանջվում էր ապացուցելու։

Շարքի վերածում՝ $e^{x}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...$

Ասիմպտոտիկա

Ցուցչային ֆունկցիան աճում է դեպի անվերջություն ցանկացած աստիճանային ֆունկցիայից արագ՝

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$

Աճի արագ տեմպը կարող է նկարագրվել, օրինակ, թղթերը միմյանց վրա դնելու խնդրի օրինակով։

Կոմպլեքս ֆունկցիա

Կոմպլեքս հարթության վրա էքսպոնենտայի ընդլայնման համար որոշենք այն նույն շարքի օգնությամբ, փոխարինելով իրական արգումենտը կոմպլեքսով՝

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+...$

Այդ ֆունկցիան ունի նույն հիմնական հանրահաշվական և անալիտիկ հատկությունները, ինչ որ իրականը։$e^{ix}$շարքում առանձնացնելով իրական մասը կեղծից, մենք ստանում ենք հանրահայտ Էյլերի բանաձևը՝

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Այսպիսով, կոմպլեքս էքսպոնենտան պարբերական է կեղծ առանցքի շուրջ։ Ցուցչային ֆունկցիան կամայական կոմպլեքս հիմքով և աստիճանի ցուցչով հեշտ է հաշվել կոմպլեքս էքսպոնենտայի և կոմպլեքս լոգարիթմի օգնությամբ։

Օրինակ՝ $i^{i}=e^{i\ln(i)}$, քանի որ $\ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}$(լոգարիթմի հիմնական արժեքը), վերջապես ստանում ենք՝

$i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$։

Տես նաև

• Աստիճանի բարձրացում
• Աստիճանային ֆունկցիա
• Էքսպոնենտային ֆունկցիա

Գրականություն

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.։ ФИЗМАТЛИТ, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2.