Կոմբինատորիկայի պատմություն

Կոմբինատորիկայի պատմությունը լուսաբանում է կոմբինատորիկայի զարգացումը։ Կոմբինատորիկան դիսկրետ մաթեմատիկայի բաժիններից է, որն ուսումնասիրում է վերջավոր բազմություններից որոշակի m թվով տարրերի ընտրության, համապատասխանության, տեղափոխության, կարգավորման հետ կապված մի շարք հիմնախնդիրներ։ Սկսած գլուխկոտրուկներից և ազարտային խաղերից, կոմբինատորիկան դարձավ օգտակար մաթեմատիկայի գրեթե բոլոր բաժիններում գործնական խնդիրների լուծման գործում։ Բացի դրանից, կոմբինատորիկայի մեթոդները օգտակար դարձան վիճակագրության, գենետիկայի, լեզվաբանության և գիտության այլ բնագավառներում։

Հնագույն ժամանակաշրջանԽմբագրել

 
Հեքսագրամ «Փոփոխությունների գիրք»

Կոմբինատորական մոտիվները կարելի է տեսնել չինական «Փոփոխությունների գիրք» (մ.թ.ա. V դար) աշխատության մեջ։ Ըստ նրա հեղինակների ՝ աշխարհում ամեն ինչ համադրվում է տղամարդկանց և կանանց սկզբունքների տարբեր համադրություններից, ինչպես նաև ութ տարրերից ՝ երկիր, սարեր, ջուր, քամի, ամպրոպ, կրակ, ամպ և երկինք[1]։ Պատմաբանները նշել են նաև համադրողական խնդիրներ Go և այլ խաղեր խաղալու ուղեցույցներում։ Հին ժամանակներից ի վեր, մոգական քառակուսիները միշտ մեծ հետաքրքրություն են առաջացրել։ Կոմբինատորիկայի դասական խնդիրն է եղել․ «N հնարավորներից ընտրել mտարրեր»։ Այս մասին հիշատակումներ կան հիշատակվում է Հին Հնդկաստանի սատրասներում (սկսած մ.թ.ա. 4-րդ դարից)[2]։ Հնդիկ մաթեմատիկոսները, ըստ երևույթին, առաջինն են հայտնագործել բինոմական գործակիցները և նրանց կապը Նյուտոնի երկանդամի հետ[2]։ Մ․թ․ա․ II դարում հնդիկները գիտեին, որ n աստիճանի բինոմական գործակիցների գումարը հավասար է  ։ Հնդկացիների աշխատանքը ազդեց արաբների վրա, ինչպես երևում է ալ-Խալիլ իբն Ահմադի աշխատության մեջ, որը հաշվում էր նամակների հնարավոր պայմանավորվածությունները՝ վանկեր կազմելու համար։ Անտիկ հույներըր (Հիպարքոս (մ․թ․ա․ IIդ․) և Քրիշիպուս(մ․թ․ա․ IIIդ․)) հաշվարկել էին, թե քանի հետևանք կարելի է ստանալ 10 աքսիոմայից։ Հաշվարկի եղանակը հայտնի չէ։ Միայն հայտնի է, որ Քրիշիպուսի մոտ դրանք միլիոնից ավել ստացվեցին, իսկ Հիպարքոսի մոտ՝ 100000-ից ավել։ Հունաստանում Պլուտարքոս գրեց, որ Քսենոկրատը հայտնաբերեց հունական լեզվով հնարավոր տարբեր վանկերի քանակը։ Փիլիսոփա և աստղագետ ռաբբի Աբրահամը իբն Եզրասը հաստատեց բինոմական գործակիցների համաչափությունը, մինչդեռ փակ բանաձևը հետագայում ստացավ թալմուդիստ և մաթեմատիկոս Լևի բեն Գերսոնին (ավելի լավ հայտնի է որպես Գերսոնիդես) ՝ 1321 թվականին։ Դա թվաբանական եռանկյուն է `գրաֆիկական դիագրամ, որը ցույց է տալիս երկանդամի գործակիցները։ Այն ներկայացվել է դեռեւս 10-րդ դարում, և, ի վերջո, դառնում է հայտնի որպես Պասկալի եռանկյան։ Ավելի ուշ, միջնադարյան Անգլիայում, կամպանոլոգիան բերեց օրինակներ, որոնց այժմ անվանում են Համիլթոնյան ցիկլեր[3]։ Պյութագորականները կոմբինատորիկայի օրենքները օգտագործում էին իրենց թվերի տեսությունը և թվաբանությունը կառուցելու համար(կատարյալ թվեր, պյութագորասյան թվեր

ՄիջնադարԽմբագրել

XII դարում հնդիկ մաթեմատիկոս Բհասկարան, իր գլխավոր աշխատության ՝ «Lilavati»ում, մանրամասնորեն ուսումնասիրել է տեղափոխությունների և զուգորդությունների հետ կապված խնդիրները, ներառյալ կրկնությունների հետ կապված զուգորդությունները։ Արևմտյան Եվրոպայում կոմբինատորիկայի ոլորտում մի շարք խորը հայտնագործություններ արվել են երկու հրեա հետազոտողների ՝ Աբրահամ իբն Էզրայի (XII դ.) և Լևի բեն Գերշոմի (նույն ինքը՝ Գերսոնիդ, XIV դար)։ Իբն Էզրան հաշվարկեց տեղերի քանակը ՝ Աստծու անվան ձայնավոր ձայնագրություններում [4] և հայտնաբերեց համաչափություն բինոմական գործակիցների միջև, իսկ Գերսոնիդը հստակ ձևակերպումներ տվեց դրանց հաշվարկման և կիրառման համար ՝ տեղափոխությունների և զուգորդությունների քանակը հաշվարկելու խնդիրներում։ Մի քանի համատեղ գործառույթներ կան «Աբակուսի գրքում» (Ֆիբոնաչի, 13-րդ դար)։ Օրինակ ՝ նա խնդիր է դրել գտնել ամենաքիչ քաշը, որը բավարար է 1-ից 40 ֆունտ քաշ ունեցող ցանկացած արտադրանքի համար։

Նոր ժամանակներԽմբագրել

Կարդանո Ջերոլամոն գրել է զառախաղի մաթեմատիկական ուսումնասիրությունը, որը հրապարակվել է հետմահու։ Այս խաղի տեսությամբ զբաղվում էին նաև Տարտալիան և Գալիլեո Գալիլեյը։ Հավանականության տեսության պատմությունը ներառում է գայթակղիչ խաղացող դե Մերեի նամակագրությունը Պիեռ Ֆերմայի և Բլեզ Պասկալի հետ, որտեղ բարձրացվեցին մի քանի նուրբ համադրողական հարցեր։ Դրամախաղերից զատ, կրիպտոգրաֆիայում օգտագործվել են նաև կոմբինատորային մեթոդներ (և շարունակում են օգտագործվել) `ինչպես ծածկագրերի զարգացման, այնպես էլ դրանք կոտրելու համար։

Բլեզ Պասկալը հայտնաբերեց բինոմական գործակիցների հաշվարկման մի պարզ միջոց ՝ «Պասկալի եռանկյուն»ը։ Չնայած այս մեթոդը արդեն հայտնի էր Արևելքում (մոտավորապես 10-րդ դարից), Պասկալն, ի տարբերություն իր նախորդների, խստորեն հայտարարեց և ապացուցեց այս եռանկյունու հատկությունները։ Լեյբնիցի հետ մեկտեղ նա համարվում է ժամանակակից կոմբինատորիկայի հիմնադիր։ «Կոմբինատորիկա» տերմինը առաջարկել է Լեյբնիցը, ով 1666 թվականին (նա այդ ժամանակ 20 տարեկան էր) հրատարակում էր «Պատմություն կոմպոզիտորական արվեստի մասին» գիրքը։ Ճիշտ է, «կոմբինատորիկա» տերմինը Լեյբնիցը հասկանում էր չափազանց լայն, ներառյալ դիսկրետ մաթեմատիկան և նույնիսկ տրամաբանությունը [5]։ Հավանականության տեսության հիմնադիրներից Լեյբնիցի ուսանող Յակոբ Բեռնուլին իր «Ենթադրյալների արվեստը» (1713 թվական) գրքում բազմաթիվ տեղեկություններ է ներկայացրել կոմբինատորիկայի վերաբերյալ։ Նույն ժամանակահատվածում ձևավորվեց նոր գիտության տերմինաբանություն։ «Կարգավորություն» (combination) տերմինը առաջին անգամ օգտագործվում է Պասկալի կողմից (1653 թվական)։ «Տեղափոխություն» (permutation) տերմինը օգտագործվել է Բեռնուլիի կողմից նշված գրքում (թեև երբեմն նա հանդիպում էր ավելի վաղ)։ Բեռնուլին նաև օգտագործել է «զուգորդությունություն» (arrangement) տերմինը։ Մաթեմատիկական անալիզի ի հայտ գալուց հետո սերտ կապ հայտնաբերվեց կոմբինատորային և վերլուծական խնդիրների միջև։ Աբրահամ դը Մուավրը և Ջեյմս Ստիռլինգը գտան ֆակտորիալը մոտարկելու բանաձևը[6]։ Վերջնականապես կոմբինատորիկան որպես մաթեմատիկայի առանձին բաժին ձևավորվել է Էյլերի աշխատություններում։ Նա ուշադրություն էր դարձնում հետևյալ խնդիրներին․

  • ձիով քայլի խնդիրը
  • յոթ կամուրջների խնդիրը, որից սկսվեց գրաֆների տեսությունը
  • լատինո-հունական քառակուսիների կառուցման խնդիրը
  • ընդհանրացված տեղափոխություններ

Ժամանակակից զարգացումըԽմբագրել

XX դարում սկսեց զարգանալ կոմբինատորային երկրաչափությունը․ ապացուցվեցին Մինկովսկու, Ռադոնի, Հելլի, Յունգի թեորեմները։ Կոմբինատորիկայի, անալիզի և տոպոլոգիայի հիման վրա ապացուցվեցին Բորսուկ-Ուլամի և Լյուստերնիկ-Շնիրելմանի թեորեմները։ 1940-ականներին ձևավորվեց Ռամսեի տեսությունը։ Ժամանակակից կոմբինատորիկայի հայրն է համարվում Պալ Էրդյոշը, որը կոմբինատորիկայի մեջ ներմուծեց հավանականության տեսությունը։ Կոմբինատորիկայի նկատմամբ հետաքրքրությունը աճեց XX դարի կեսերին, երբ հայտնվեցին համակարգիչները։ Այժմ կոմբինատորիկան համարվում է մաթեմատիկայի ամենածավալուն և արագ զարգացող բաժիններից մեկը։

Տես նաևԽմբագրել

ԳրականությունԽմբագրել

  • Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975. — 208 с.
  • Մաթեմատիկայի պատմություն․Հին ժամանակներից մինչև նոր ժամանակների սկիզբը; Ա․Պ․ Յուշկևիչի խմբագրությամբ,հատոր 1;1970։
  • Մաթեմատիկան XVII դարում;Ա․Պ․ Յուշկևիչի խմբագրությամբ,հատոր 2;1970։
  • Մաթեմատիկան XVIII դարում;Ա․Պ․ Յուշկևիչի խմբագրությամբ,հատոր 3;1970։
  • Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Издательство МГУ, 1960-1963.

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Ն․Յա․ Վիլենկին, 1975, էջ 7
  2. 2,0 2,1 Amulya Kumar Bag. Binomial theorem in ancient India. Indian J. History Sci., 1:68-74, 1966.
  3. Արթուր Թ. Ուայթ, «Ֆաբիան Ստեդման. Առաջին խմբի տեսաբանը» ։ Մաթեմատիկա. Ամսական 103 (1996), թիվ։ 9, 771-778։
  4. Краткий комментарий к Исход, 3:13.
  5. Ն․Յա․ Վիլենկին, 1975, էջ 19
  6. O'Connor John; Edmund Robertson. (06 2004)։ «Abraham de Moivre»։ The MacTutor History of Mathematics archive։ Արխիվացված է օրիգինալից 2012-04-27-ին։ Վերցված է 2010-05-31