Հիպոթեզ (մաթեմատիկա)

Հիպոթեզ, մաթեմատիկական պնդում, որը հաշվի առնելով մատչելի տեղեկությունները ենթադրվում է, որ ճիշտ է, սակայն դրա մաթեմատիկական ապացույցը տրված չէ^[1]^[2]: Մաթեմատիկական հիպոթեզը բաց մաթեմատիկական խնդիր է, և յուրաքանչյուր չլուծված մաթեմատիկական խնդիր, որը լուծելիության պրոբլեմ է, կարելի է ձևակերպել հիպոթեզի տեսքով։ Այնուամենայնիվ, յուրաքանչյուր մաթեմատիկական խնդիր չի կարող ձևակերպվել որպես հիպոթեզ։ Օրինակ, հավասարումների որոշակի համակարգի կամ 2208 անհայտ անձանց համար օպտիմիզացման խնդիրների որոշակի լուծում գտնել անհնար է, բայց այդպիսի լուծումը կարող է լինել ոչ միայն գործնական, այլև մաթեմատիկական արդյունք։

Ռիմանի զետա ֆունկցիայի իրական (կարմիր) և կեղծ (կապույտ) մասերը $\mathrm {Re} (z)=1/2$ կրիտիկական գծի վրա։ Առաջին ոչ տրիվիալ զրոները գտնվում են $\mathrm {Im} (z)=\pm 14{,}135;\pm 21{,}022;\pm 25{,}011$ կրիտիկական գծում: Ռիմանի հիպոթեզը պնդում է, որ զետա ֆունկցիայի բոլոր ոչ տրիվիալ զրոները գտնվում են կրիտիկական գծի վրա։ Այս փաստը մեզ թույլ է տալիս որոշ եզրակացություններ անել իրական առանցքի վրա պարզ թվերի տեղակայման վերաբերյալ:

Ռիմանի հիպոթեզը, Ֆերմայի մեծ թեորեմը, Վարինգի հիպոթեզը և մի շարք այլ մաթեմատիկական հիպոթեզներ նշանակալի դեր են խաղացել մաթեմատիկայում, քանի որ դրանք ապացուցելու փորձերը հանգեցրել են նոր բնագավառների և հետազոտությունների մեթոդների ստեղծմանը։

Մաթեմատիկական և բնական վարկած

Ի հակադրություն բնագիտական հիպոթեզի՝ մաթեմատիկական հիպոթեզը կարող է տրամաբանորեն ապացուցվել աքսիոմաների որոշակի համակարգում, որից հետո այն դառնում է այդ սահմանափակումների մեջ ճշմարիտ թեորեմ «բոլոր ժամանակների համար»։ Տիպիկ օրինակ է Նյուտոնի գիտական ժառանգությունը, որը հայտարարել է, որ ինքը «չի ենթադրում հիպթեզներ» և ֆիզիկայում ձգտում է դուրս չգալ մաթեմատիկական մոդելի շրջանակներից։ Նյուտոնի մաթեմատիկական թեորեմները, ինչպես հնագույն Պյութագորասի թեորեմը, մինչ օրս մնում է ճշմարիտ, սակայն նրա դասական մեխանիկան և ձգողականության տեսությունը հարաբերականության հատուկ և ընդհանուր տեսությունների հայտնվելուց հետո հերքվել են ֆիզիկական հիպոթեզներով։ Եթե լուծվող մաթեմատիկական հիպոթեզը կարող է կամ ապացուցել, կամ էլ հերքվել, ապա բնագիտական հիպոթեզների համար, բնական գիտության գիտելիքների հարաբերականության պատճառով, ստուգելիության և հերքելիության հատկությունները միմյանց չեն բացառում^[3]։ Նյուտոնյան մեխանիզմը կիրառելի չէ լույսի արագությանը մոտ արագությունների համար, բայց շատ մեծ ճշգրտությամբ նկարագրում է Արևային համակարգի մարմինների մեծ մասի շարժումը։ Հետևաբար ֆիզիկայում սովորաբար խոսվում է ոչ թե հիպոթեզների հերքման, այլ տեսության կիրառելիության շրջանակը սահմանափակելու մասին։

Մաթեմատիկական հիպոթեզների լուծում

Ապացույց

Մաթեմատիկան հիմնված է ֆորմալ ապացույցների վրա։ Անկախ նրանից, թե որքան համոզիչ կարող է թվալ հիպոթեզը, և քանի օրինակ է բերվել այն հաստատելու համար, հիպոթեզը կարող է հերքվել մեկ հակաօրինակով։ Ժամանակակից մաթեմատիկական ամսագրերը երբեմն հրապարակում են հետազոտության արդյունքներ այն շրջանակի վրա, որի սահմաններում ստուգվել է հիպոթեզի վավերականությունը։ Օրինակ՝ Կոլատցի հիպոթեզն ստուգվել է բոլոր ամբողջ թվերի համար մինչև 1,2 × 1012, այնուամենայնիվ, միայն այս փաստն ինքնին ոչինչ չի տալիս հիպոթեզի ապացուցման համար։

Հիպոթեզի ապացուցման համար պետք է ներկայացվի մաթեմատիկական ապացույց, որը տրամաբանորեն անթերի հիմնավորմամբ, հիմք ընդունելով աքսիոմաների որոշակի համակարգ, ցույց է տալիս հիպոթեզի միակ հնարավոր հաստատումը կամ տրամաբանորեն անհնար ժխտող պնդումը։

Երբ հիպոթեզն ապացուցվում է վարկածը, ապա մաթեմատիկայում այն դառնում է թեորեմ։ Թեորեմ կարող է դառնալ նաև իրական կամ ոչ իրական հիպոթեզի ժխտումը։ Մաթեմատիկայի պատմության մեջ որոշ հիպոթեզներ երկար ժամանակ գոյություն են ունեցել ենթադրյալ ձևով, և շրջանի քառակուսին կամ ռադիկալներով հինգերորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարման լուծում գտնելու բազմաթիվ փորձեր բխել են հետագայում մերժված հիպոթեզներից, թե դա հնարավոր է։

Հերքում

Հիպոթեզի հերքումն իրականացվում է նաև ապացույցի օգնությամբ, բայց հաշվի առնելով հիպոթեզների բնորոշ ձևակերպումները` հերքումն առավել հաճախ ապացույցի ամենապարզ տեսակն է` հակաօրինակը։ Նման ապացույցը տրամաբանական տեսանկյունից ամենապարզն է, այնուամենայնիվ, գրաֆների տեսության մեջ օրինակի կառուցումը կամ թվերի տեսության մեջ օրինակ գտնելը (Էյլերի հիպոթեզ) կարող է լինել շատ դժվար։ Հերքումից հետո հիպոթեզը կարող է դառնալ փաստ մաթեմատիկայի պատմության մեջ կամ կարող է վերափոխվել նոր մաթեմատիկական հիպոթեզի։ Օրինակ՝ հերքումից հետո Էյլերի հիպոթեզը վերափոխվել է Լանդեր-Պարկին-Սելֆրիջի հիպոթեզի։ Այս դեպքում գործընթացը նման է բնագիտական հիպոթեզների էվոլյուցիային։

Անլուծելի հիպոթեզներ

Ոչ բոլոր հիպոթեզների համար է հնարավոր ապացուցել դրա ճշմարտությունը կամ կեղծ լինելը աքսիոմների տվյալ համակարգում։ Անավարտության մասին Գյոդելի թեորեմի համաձայն՝ ցանկացած բավականաչափ բարդ աքսիոմատիկ տեսության մեջ, օրինակ, թվաբանության մեջ, կան դրույթներ, որոնք չեն կարող ոչ հերքվել, ոչ էլ ապացուցվել տվյալ տեսության շրջանակներում։ Հետևաբար, ցանկացած մաթեմատիկական տեսություն, որը պարունակում է թվաբանություն, պարունակում է հիպոթեզներ, որոնք իր շրջանակներում հերքելի և ապացուցելի չեն։

Օրինակ, ապացուցվել է, որ Կանտորի կոնտինուումի վարկածը բազմությունների տեսության մեջ կախված չէ ընդհանուր ընդունված Զերմելո-Ֆրենկելի աքսիոմների համակարգից։ Հետևաբար, կարելի է ընդունել այս դրույթը կամ դրա հերքումը որպես աքսիոմ, առանց որևէ հակասության այլ աքսիոմների հետ և առանց որևէ հետևանքների ավելի վաղ ապացուցված թեորեմների համար։ Երկրաչափության մեջ հինավուրց ժամանակներից ի վեր մաթեմատիկոսների կասկածները հանգեցրել են Էվկլիդեսի զուգահեռության աքսիոմին։ Ներկայում հայտնի է, որ եթե ընդունենք հակառակ աքսիոմը, ապա կարելի է կառուցել ոչ հակասական Լոբաչևսկու երկրաչափությունը, ներառյալ բացարձակ երկրաչափությունը, այսինքն՝ մնացած բոլոր աքսիոմների պահպանմամբ։

Պայմանական ապացույցներ

Որոշ չհաստատված հիպոթեզների վավերականությանից բխում են կարևոր հետևանքներ։ Եթե կա լայնորեն տարածված կարծիք, որ հիպոթեզը ճշմարիտ է, ապա մաթեմատիկոսները երբեմն ապացուցում են այն թեորեմները, որոնք ճշմարիտ են միայն այդ հիպոթեզի վավերականության դեպքում՝ հույս ունենալով, որ հիպոթեզը կապացուցվի։ Նման ապացույցները տարածված են, օրինակ՝ Ռիմանի հիպոթեզի հետ կապված։

Որոշ հայտնի օրինակներ

Այստեղ թվարկված են հայտարարություններ, որոնք մեծ ազդեցություն են ունեցել մաթեմատիկայի վրա՝ լինելով հիպոթեզի կարգավիճակում։ Դրանցից մի մասը մինչ օրս մնում է հիպոթեզ, մյուսներն ապացուցվել կամ մերժվել են։

Ֆերմայի մեծ թեորեմ

Թվերի տեսության համաձայն՝ Ֆերմայի մեծ թեորեմը պնդում է, որ ոչ մի $a,b,c$ երեք բնական թվերի համար $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ հավասարությունը ճիշտ չէ, եթե $n$ ամբողջ թիվը մեծ է 2-ից։

Պիեռ դը Ֆերմաը Պիեռ Ֆերման գրել է այս ենթադրությունը 1637 թվականին Դիոֆանտի «Թվաբանություն» լուսանցքներում այն պնդման հետ, որ ունի ապացույց, բայց դա շատ մեծ է, որպեսզի տեղավորվի այդտեղ^[4]։ Առաջին հաջող ապացույցն ստացել է Ջոն Ուայլսը 1994 թվականին և հրապարակվել 1995 թվականին՝ բազմաթիվ մաթեմատիկոսների 358 տարվա ջանքերից հետո։ 19-րդ դարում այս խնդրի լուծման փորձերը հանգեցրել են թվերի հանրահաշվական տեսության զարգացմանը և 20-րդ դարում մոդուլյարության տեսության ապացուցմանը։

Պուանկարեի հիպոթեզ

Պուանկարեի հիպոթեզը պնդում է, որ ցանկացած միակապ կոմպակտ եռաչափ բազմաձևություն առանց սահմանի հոմեոմորֆ է եռաչափ ոլորտի։ Այս վարկածը Անրի Պուանկարեն ձևակերպել է 1904 թվականին։ Մաթեմատիկոսների գրեթե մեկդարյա ջանքերից հետո Գրիգորի Պերելմանն ապացուցել է այս հիպոթեզը երեք հոդվածներում, որ 2002 թվականին և 2003 թվականին հրապարակվել են arXiv կայքում։ Ապացույցը հաջորդել է Ռիչարդ Հեմիլթոնի՝ առաջարկին` օգտագործելու Ռիչիի հոսքը^[5]։ Մաթեմատիկոսների մի քանի խմբեր ստուգել են Պերելմանի ապացույցները և հաստատել, որ այն ճիշտ է։ Հետաքրքիրն այն է, որ ավելի բարձր ծավալային տարածքների համար ապացույցներ ավելի վաղ էին ձեռք բերվել։

Ռիմանի հիպոթեզ

Ռիմանի հիպոթեզը, որն առաջարկվել է 1859 թվականին, նշում է, որ Ռիմանի զետա ֆունկցիայի բոլոր ոչ տրիվիալ արմատներն ունեն իրական մաս, որը հավասար է 1/2-ի։ Ռիմանի հիպոթեզի վավերականությունից հետևում են մի շարք արդյունքներ՝ պարզ թվերի բաշխման վերաբերյալ։ Որոշ մաթեմատիկոսներ այս հիպոթեզը համարում են «մաքուր մաթեմատիկայի» չլուծված ամենակարևոր խնդիրը։ Ռիմանի հիպոթեզը ներառված է Հիլբերտի խնդիրների և հազարամյակի խնդիրների ցանկերում։

P և NP դասերի հավասարություն

P և NP դասերի հավասարության հարցը ներառված է հազարամյակի խնդիրների ցանկում և ինֆորմատիկայի հիմնական խնդիրներից մեկն է։ Ոչ պաշտոնապես, բայց բավական ճշգրտորեն հարցը հանգում է նրան, թե արդյոք ցանկացած խնդիր, որի ներկայացրած լուծումը կարելի է հաստատել բազմանոմինալ ժամանակահատվածում, կարող է լուծվել նաև բազմանոմինալ ժամանակում՝ օգտագործելով բազմանոմինալ հիշողություն։ Ներկայում գերիշխող կարծիքն այն է, որ սա այնքան էլ այդպես չէ։ Բայց եթե այս հիպոթեզի ճշմարտության ապացույցը կարող է լինել կառուցողական (անհրաժեշտ է ներկայացնել միայն մեկ ալգորիթմ, որը շատերը փորձում են անել), ապա պարզ չէ, թե ինչպես կարելի է հակառակն ապացուցել։ Հավանաբար, խնդիրը առաջին անգամ հիշատակվել է 1956 թվականին Կուրտ Գյոդելի՝ Ջոն Նեյմանին ուղղված նամակում^[6]։ Խնդիրը ճշգրտորեն ձևակերպվել է 1971 թվականին Ստիվեն Կուկի կողմից^[7], և շատերն այն համարում են ամենակարևոր բաց խնդիրը այս ոլորտում^[8]։

Պատմություն

Հին հույն մաթեմատիկոսները հաճախ որպես մաթեմատիկական ապացույցի մեթոդ օգտագործել է մտավոր փորձը, որը ներառել է հիպոթեզի առաջքաշումն ու հետևանքների դեդուկցիայի միջոցով դրանից եզրակացություններ անելը՝ նպատակ ունենալով ստուգել սկզբնական ենթադրությունների ճշմարտությունը։ Այսօր այդպիսի դատողությունները կոչվում են հակառակից ապացույցի մեթոդ։ Պլատոնը հիպոթեզները համարել է իր կողմից մշակված ապացույցի վերլուծական սինթետիկ մեթոդի նախադրյալ, որը ունակ է ապահովել եզրակացության բացարձակ ճշմարիտ բնույթը։ Այնուամենայնիվ, հիպոթեզը՝ որպես հետազոտական մեթոդ, մերժվել է Արիստոտելի կողմից, որը, որպես որպես սիլլոգիստական ապացույցի հիմք ընդունել է միայն ընդհանուր, անհրաժեշտ և բացարձակ ճշմարտությունները։ Սա հանգեցրել է գիտնականների հետագա բացասական վերաբերմունքին հիպոթեզների նկատամբ՝ որպես կեղծ կամ հավանական գիտելիքների ձև^[3]։ Հիպոթեզների և բացարձակ ճշգրիտ գիտելիքների հակադրությունը և որպես հետևանք հիպոթեզների անտեսումը հաղթահարվել է միայն 19-րդ դարում։ Մասնավորապես, Էնգելսը, հիպոթեզը դիտարկելով որպես «բնագիտության զարգացման» ձև^[9], առաջ է քաշել դրույթ հիպոթեզներիև օրենքների ու տեսությունների՝ որպես հարաբերականորեն իրական գիտելիքի տարբեր ձևերի փոխադարձ կապի մասին։

Ծանոթագրություններ

↑ Oxford Dictionary of English. — 2010.
↑ JL Schwartz Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics. — 1995. — С. 93.
↑ ^3,0 ^3,1 Гипотеза Արխիվացված 2016-03-05 Wayback Machine // Новая философская энциклопедия
↑ Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, էջեր 203–204, ISBN 978-0-486-65620-5
↑ Hamilton, Richard S. Four-manifolds with positive isotropic curvature (und) // Communications in Analysis and Geometry. — 1997. — Т. 5. — № 1. — С. 1—92.
↑ Juris Hartmanis 1989, Godel, von Neumann, and the P = NP problem, Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101—107
↑ Cook, Stephen The complexity of theorem proving procedures // Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing. — 1971. — С. 151—158.
↑ Lance Fortnow, The status of the P versus NP problem , Communications of the ACM 52 (2009), no. 9, pp. 78-86. doi:10.1145/1562164.1562186
↑ Маркс К. и Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 555

[1] Oxford Dictionary of English. — 2010.

[2] JL Schwartz Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics. — 1995. — С. 93.

[Гипотеза-3] 3,0 ^3,1 Гипотеза Արխիվացված 2016-03-05 Wayback Machine // Новая философская энциклопедия

[4] Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, էջեր 203–204, ISBN 978-0-486-65620-5

[5] Hamilton, Richard S. Four-manifolds with positive isotropic curvature (und) // Communications in Analysis and Geometry. — 1997. — Т. 5. — № 1. — С. 1—92.

[6] Juris Hartmanis 1989, Godel, von Neumann, and the P = NP problem, Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101—107

[7] Cook, Stephen The complexity of theorem proving procedures // Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing. — 1971. — С. 151—158.

[8] Lance Fortnow, The status of the P versus NP problem , Communications of the ACM 52 (2009), no. 9, pp. 78-86. doi:10.1145/1562164.1562186

[9] Маркс К. и Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 555

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]