Պարզ թիվ, մեկից մեծ բնական թիվ, որը երկու ավելի փոքր բնական թվերի արտադրյալ չէ։ Մեկից մեծ բնական թիվը, որը պարզ չէ կոչվում է բաղադրյալ թիվ[1]։ Օրինակ, 5֊ը պարզ է, քանի որ այն միայն կարելի է ներկայացնել 1 × 5 և 5 × 1 արտադրյալների տեսքով։ Սակայն, 4֊ը բաղադրյալ է, քանի որ այն կարելի է ներկայացնել 2 × 2 տեսքով։ Թվաբանության հիմնական թեորեմի պատճառով պարզ թվերը հիմնարար դեր ունեն թվերի տեսությունում։ Ըստ թեորեմի՝ մեկից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ կամ պարզ է, կամ այն վերլուծվում է պարզ թվերի արտադրյալի, այն էլ միակ ձևով, այսինքն, եթե , որտեղ թվերից յուրաքանչյուրը պարզ թիվ է, ընդ որում տեղի ունեն և անհավասարությունները, ապա և ։

Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but prime numbers cannot
Բաղադռյալ թվերը հնարավոր է դասավորել ուղղանկյան տեսքով, բայց պարզ թվերը թվերը հնարավոր չէ։

Տրված թվի պարզությունը ստուգելու համար կարելի հերթով փորձել ու տեսենել արդյոք ֊ը բաժանվում է 2֊ի և միջև ընկած որևէ ամբողջ թվի։ Այս ալգորիթմը պարզ է, բայց դանդաղ։ Ավելի արագ ալգորիթմներից են՝ Միլեր֊Ռաբինի պարզության թեստը, որը արագ է, բայց ունի սխալվելու փոքր շանս, և AKS պարզության թեստը, որը միշտ բազմանդամային արագությամբ գտնում է ճիշտ պատասխանը, բայց ճափազանց դանդաղ է գործնականում օգտագործվելու համար։ Հատուկ տեսքի թվերի համար, ինչպես օրինակ Մերսենի թվերը, գոյություն ունեն ավելի արագ մեթոդներ։ 2018 թվականի դեկտեմբերի դրությամբ մեծագույն հայտնի պարզ թիվը Մերսենի թիվ է, որն ունի 24,862,048 թվանշան[2]։

Պարզ թվերն անվերջ են։ Վերջինիս ճշմարտացիության առաջին ապացույցին հանդիպում ենք Էվկլիդեսի մոտ։ Նրա ապացույցը կարճ կարելի է ձևակերպել այսպես

Պատկերացնենք, որ պարզ թվերի քանակությունը վերջավոր է։ Բոլոր պարզ թվերը բազմապատկենք իրարով ու ստացվածին գումարենք մեկ։ Ստացված թիվը չի բաժանվում մեր ունեցած և ոչ մի պարզ թվի վրա, որովհետև բաժանումից ստացված մնացորդը միշտ մեկ է լինում։ Ստացվում է, որ այդ թիվը պետք է բաժանվի մի պարզ թվի վրա, որը մենք չենք ընդգրկել մեր պարզ թվերի բազմության մեջ։ Ստացանք հակասություն։

Պարզ թվերը բաղադրյալ թվերից բաժանող հայնտի բանաձև չկա։ Սակայն, բնական թվերի մեջ պարզ թվերի բաշխումը կարելի է վիճակագրորեն մոդելավորել։ Այս ուղղությամբ առաջին արդյունքը Պարզ թվերի թեորեմն էր, որն ապացուցվել է 19֊րդ դարի վերջին։ Ըստ այս թեորեմի՝ հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված մեծ թիվը պարզ կլինի հակադարձ համեմատական է իր թվանշանների քանակին, այսինքն՝ իր լոգարիթմին։

Պարզ թվերի հետ կապված որոշ խնդիրներ դեռ չլուծված են։ Այս խնդիրներից են՝ Գոլդբախի խնդիրը (երկուսից մեծ յուրքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել երկու պարզ թվերի գումարի տեսքով) և երկվորյակների ենթադրությունը (գոյություն ունե անթիվ բազմությամբ պարզ թվերի զույգեր, որոնք իրարից երկուսով են տարբերվում)։ Նման հարցերը խթանել են թվերի տեսության տարբեր բնագավառների զարգացմանը, ինչպես օրինակ անալիտիկ կամ հանրահաշվական թվերի տեսությունը։ Պարզ թվերը նաև լայն կիրառություն ունեն տեղեկատվական տեխնոլոգիաներ, մասնավորապես՝ հանրային բանալիների գաղտնագրության մեջ։ Աբստրակտ հանրահաշվում պարզ տարրերը և պարզ իդեալները պարզ թվերի ընդհանրացված օբյեկտներ են։

Սահմանում և օրինակներ խմբագրել

Բնական թիվը (1, 2, 3, 4, 5, 6 և այլն) կոչվում է պարզ թիվ, եթե այն մեծ է 1֊ից և հնարավոր չէ ներկայացնել իրենից փոքր երկու բնական թվերի արտադրյալ տեսքով։ Այն թվերը, որոնք մեծ են 1֊ից և պարզ չեն կոչվում են բաղադրյալ թվեր[3]։ Այլ կերպ ասած,  ֊ը պարզ է, եթե   տարրերը հնարավոր չէ բաժանել մեկից մեծ տարր պարունակող ավելի փոքր հավասարաչափ խմբերի[4], կամ հնարավոր չէ   կետերը դասավորել ուղղանկյան տեսքով այնպես, որ ուղղանկյան բարձրությունն ու լայնությունը ունի մեկից շատ քանակությամբ կետեր[5]։ Օրինակ, 1֊6 միջակայքում 2, 3 և 5 թվերը պարզ են[6], քանի որ ոչ մի թվի առանց մնացորդի չեն բաժանվում (մեկից ու իրենցից բացի)։ 1֊ը պարզ չէ ըստ սահմանման։ 4 = 2 × 2 և 6 = 2 × 3 թվերը բաղադրյալ են։

 
7֊ը պարզ է, քանի որ առանց մնացորդի չի բաժանվում 2, 3, 4, 5 կամ 6 թվերից ոչ մեկին։

Բնական   թվի բաժանարարները այն բնական թվերն են, որոնց  ֊ը բաժանվում է առանց մնացորդի։ Յուրաքանչյուր   բնական թվի համար 1֊ը և  ֊ը բաժանարարներ են։ Եթե թիվն ունի այլ բաժանարարներ, ապա այն պարզ չէ։ Հետևաբար, պարզ թվերի համարժեք սահմանում է հետևյալ․ ճիշտ երկու բաժանարար ունեցող թվերն են։ Քանի որ 1֊ը ունի միայն մեկ բաժանարար, այն պարզ չէ այս սահամանմամբ նույնպես[7]։ Մեկ այլ համարժեք սահմանում է՝  ֊ը պարզ է, եթե այն մեծ է մեկից և առանց մնացորդի չի բաժանվում   թվերից ոչ մեկին[8]։

Առաջին 25 պարզ թվերն են (100 փոքր բոլոր պարզ թվերը)[9]`

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 A000040-ի հաջորդականությունը OEIS-ում:

Միակ զույգ պարզ թիվը երկուսն է, քանի որ երկուսից մեծ կամայական զույգ թիվ բաժանվում է երկուսի։ Հետևաբար, 2֊ից բացի բոլոր պարզ թվերը կենտ են[10]։ Տասնորդական հաշվման համակարգում 5֊ից մեծ բոլոր պարզ թվերը ավարտվում են 1, 3, 7 կամ 9 թվանշաններով։ Մնացած բոլոր թվանշաններով ավատրվող թվերը բաղադրյալ են, քանի որ 0, 2, 4, 6 և 8 թվանշաններով ավատրվող թվերը զույգ են, իսկ 0 կամ 5 թվանշաններով ավարտվող թվերը բաժանվում են 5֊ի[11]։

Պարզ թվերի բազմությունը հաճախ նշանակվում է  ֊ով[12] կամ  ֊ով[13]։

Պարմություն խմբագրել

 
Մաթեմատիկական պապիրուսներ

Մոտ մ․թ․ա 1550 թվակաների Մաթեմատիկական պապիրուսներում կան պարզ և բաղադրյալ թվերի տարբեր ձևերի Եգիպտական կոտորակի ընդարձակումներ[14]։ Սակայն, պարզ թվերի հայտնի ամենավաղ ուսումնասիրությունները պատկանում են հին հույն մաթեմատիկոսներին, որոնք պարզ թվերը կոչում էին prōtos arithmòs (πρῶτος ἀριθμὸςԷվկլիդեսը իր «Սկզբունքներ» (մոտ մ․թ․ա 300) աշխատությունում ապացուցել է, որ գոյություն ունեն անթիվ բազմությամբ պարզ թվեր, ինչպես նաև թվաբանության հիմնական թեորեմը և նկարագրել է Մերսենի թվից կատարյալ թիվ ստանալու եղանակ[15]։ Մեկ այլ հունական հայտնագործություն է Էրատոսթենեսի մաղը, որը մինչև այժմ կիրառվում է պարզ թվերի ցանկեր կառուցելու համար[16][17]։

Մոտ 1000 թվականին իսլամական մաթեմատիկոս Իբն ալ-Հայթամը հայտնաբերել է Ուիլսոնի թեորեմը, որը   պարզ թիվը բնութագրում է որպես  ֊ին առանց մնացորդի բաժանվող թիվ։ Նա նաև ենթադրել է, որ բոլոր զույգ կատարյալ թվերը Էվկլիդեսի՝ Մերսենի թվերի կառուցուցմից են, սակայն չի կարողացել ապացուցել այս ենթադրությունը[18]։ Մեկ այլ իսլամական մաթեմատիկոս՝ Իբն ալ Բաննա ալ Մարակուշին, նկատել է, որ Էրատոսթենեսի մաղը կարելի է արագացնել՝ միայն մինչև վերին սահմանի քառկուսի արմատ ընկած բաժանարաները դիտարկելու միջոցով[17]։ Ֆիբոնաչին իսլամական մաթեմատիկոսների հայտնագործությունները ներմուծել է Եվրոպա։ Իր «Liber Abaci» (1202) գիրքն առաջինն է, որտեղ նկարագտվել է պազության ստուգման պարզ ալգորիթմը, որտեղի ստուգվում է թե արդյոք թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է մինչև իր քառակուսի արամտը ընկած թվերից որևէ մեկին[17]։

1640 թվականին Պիեռ դը Ֆերմաը առանց ապացույցի նկարագրել է Ֆերմայի փոքր թեորեմը, որը հետագայում ապացուցել են Գոթֆրիդ Լայբնիցը և Լեոնարդ Էյլերը[19]։ Ֆերման նաև ուսումնասիրել է Ֆերմայի թվերի (  տեսքի թվեր) պազրությունը[20], իսկ Մարին Մերսենը ուսումնասիրել է Մերսենի թվերը, որոնք   տեսքի պարզ թվեր են, որտեղ  ֊ն պարզ է[21]։ Քրիստիան Գոլդբախը 1742 թվականին Էյլերին ուղղված նամակում ձևակերպել է Գոլդբախի խնդիրը, ըստ որի՝ յուրաքանչյուր զույգ թիվ հավասար է երկու պարզ թվերի գումարի[22]։ Էյլերը ապացուցել է Իբն ալ-Հայթամ ենթադրությունը (այժմ հայտնի է որպես Էվկլիդես֊Էյլերի թեորեմ), թե յուրաքանչյուր զույգ կատարյալ թիվ կարելի է կառուցել Մերսենի թվերից[15]։ Էյլերը պարզ թվերի անվերջության և   գումարի տարամիտությունը ապացուցելու համար կիրառել է տարբեր մեթոդներ մաթեմատիկական անալիզից[23]։ 19֊րդ դարի սկզբին Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը և Կառլ Գաուսը ենթադրել են, որ երբ  ֊ը ձգտում է անվերջության, մինչև   ընկած պարզ թվերի քանակը ասիմպտոտիկ է  ֊ին, որտեղ  ֊ը  ֊ի բնական լոգարիթմն է։ Պարզ թվերի այս մեծ խտության հետևանք է Բերտրանի պոստուլատը, ըստ որի՝ կամայական   թվի համար   և   միջակայքում գոյություն ունի պարզ թիվ (Պաֆնուտի Չեբիշևը ապացուցել է սա 1852 թվականին)[24]։ Բեռնարդ Ռիմանը զետա ֆունկցիայի վերաբերյալ իր 1859 թվականի հոդվածում (անգլ.՝ On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude) ուրվագծել է Լեժանդրի և Գաուսի ենթադրության ապացույցը։ Չնայած, սերտորեն կապված Ռիմանի հիպոթեզը մինչև այժմ ապացուցված չէ, Ռիմանի ուրվագիծը 1896 թվականին ամբողջացրել են Ժակ Ադամարը և Շառլ Ժան դը լա Վալե Պուսենը, ինչն այժմ հայտնի է որպես Պարզ թվերի թեորեմ[25]։ 19-րդ դարի մեկ այլ կարևոր հայտնագործություն էր թվաբանական պրոգրեսիաների մասին Դիրիխլեի թեորեմը, ըստ որի՝ որոշակի թվաբանական պրոգրեսիաներ պարունակում են անթիվ բազմությամբ պարզ թվեր[26]։

Շատ մաթեմատիկոսներ փորձել են մշակել պարզության ստուգման մեթոդներ այն դեպքերի համար, երբ բոլոր հնարավոր բաժանարարների ստուգումը գործնականում կիրառելի չէ։ Հատուկ տեսքի թվերի պարզությունն ստուգող մեթոդներից են՝ Պեպինի թեստը Ֆրամայի թվերի համար (1877)[27], Պրոտի թեորեմը (մոտ 1878 թվական)[28], Լուկաս֊Լեմարի թեստը (1856) և ընհանրացված Լուկասի պարզության թեստը[17]։

1951 թվականից սկսած բոլոր մեծագույն հայտնի պարզ թվերը հայտնաբերվել են համակարգչային թեստերի միջոցով[Ն 1]։ Ավելի մեծ պարզ թվերի որոնումը հետաքրքրություն է առաջացրել մաթեմատիկայից դուրս այլ բնագավառներում նույնպես՝ GIMPS֊ի և բաշխված հաշվարկման միջոցով[9][30]։ Այն միտքը, թե պարզ թվերը մաքուր մաթեմատիկայից դուրս կիրառություն չունեն[Ն 2] փշրվել է 1970֊ականներին, երբ ստեղծվեցին հանրային բանալիների գաղտնագրությունը և RSA֊ը՝ օգտվելով պարզ թվերից[33]։

Պարզության ստուգման աճող գործնական կարևորությունը հանգեցրել է բարելավված մեթոդների ստեղծման, որոնք կարող են ստուգել կամայական տեսքի ավելի մեծ թվեր[16][34][35]։ Պարզ թվերի մաթեմատիկական տեսության վերջին կարևոր արդյունքներից են Գրին֊Տաո թեորեմը (2004), ըստ որի՝ գոյություն ունեն կամայական երկարությամբ պարզ թվերի թվաբանական պրոգրեսիաներ և Յիտանգ Ժանգի 2013 ապացույցը, որ սահմանափակ հեռավորությամբ պարզ թվերի քանակն անվերջ է[36]։

Մեկի պարզություն խմբագրել

Հին հույս մաթեմատիկոսներից շատերը մեկը թիվ չէին համարում[37][38], հետևաբար՝ չէին դիտարկում դրա պարզության հարցը։ Հույն և հետագայում հռոմեացի գիտնականներից որոշները, որոնց թվում էին Նիկոմաքոսը, Յամբլիքոսը, Բոետիոսը և Կասիոդորուսը, պարզ թվերը համարում էին կենտ թվերի ենթաբազմություն և նրանք երկուսը նույնպես պարզ չէին համարում։ Սակայն, Էվկլիդեսն ու հույն մաթեմատիկոսների մեծ մասը երկուսը պարզ էին համարում։ Միջնադարի իսլամական մաթեմատիկոսները հիմնականում հետևում էին հույներին և մեկը թիվ չէին համարում[37]։ Միջնադարում և վերանծննդի դարաշրջանում մաթեմատիկոսները սկսեցին մեկը թիվ համարել, և նրանցից որոշներն այն ներառում էին պարզ թվերի մեջ[39]։ 18֊րդ դարի կեսին Քրիստիան Գոլդբախը Լեոնարդ Էյլերի հետ նամակագրությունում մեկը համարել է պարզ թիվ, սակայն, Էյլերը մեկը պարզ թիվ չէր համարում[40]։ 19֊րդ դարում շատ մաթեմատիկոսներ դեռ մեկը համարում էին պարզ[41], իսկ մեկը ներառող պարզ թվերի ցանկեր հրատարակվել են մինչև 1956 թվական[42][43]։

Եթե պարզ թվերը վերասահմանվեն այնպես, որ ներառեն մեկը, պարզ թվերի վերաբերյալ շատ պնդումներ ավելի անհարմար տեսք կստանան։ Օրինակ, թվաբանության հիմնական թեորեմը պետք է վերաձևակերպվի պարզ բաժանարարներից մեկը առանձնացնելու համար, քանի որ մեկը ներառելու դեպքում վերլուծումը միակը չի լինի[41]։ Նմանապես, Էրատոսթենեսի մաղը ճիշտ չի աշխատի, եթե այն մեկը դիտարկի որպես պարզ թիվ, քանի որ այն կհեռացնի մեկի բոլոր արտադրյալները, այսինքն՝ բոլոր թվերը[43]։ Պարզ թվերի այլ՝ ավելի տեխնիական հատկություններ նույնպես ճիշտ չեն լինի․ օրինակ, Էյլերի   ֆունկցիան կամ բաժանարարների գումարի ֆունկցիան[44]։ 20֊րդ դարի սկզբին մաթեմատիկոսները սկսեցին համաձայնվել, որ մեկը չպետք է ներառվի պարզ թվերի մեջ[41]։

Տարրական հատկություններ խմբագրել

Եզակի վերլուծում խմբագրել

Թիվը պարզ թվերի արտադրյալ տեսքով գրելը կոչվում է թվի վերլուծում պարզ պարտադրիչների։ Օրինակ,

 

Արտադրյալ անդամները կոչվում են պարզ արտադրիչներ։ Նույն պարզ արտադրիչը կարող է հանդիպել մեկի ավելի անգամ․ վերևի օրինակում երեքը հանդիպում է երկու անգամ։ Երբ պարզ թիվը հանդիպում է մի քանի անգամ, աստիճանի օգնությամբ կարելի է դրանք հավաքել և ավելի սեղմ գրել․ օրինակ, վերևում  ֊ի փոխարեն գրվել է  ՝ երեքի քառակուսին նշելու համար։

Մաթեմատիկայում և թվերի տեսությունում պարզ թվերի կարևորությունը պայմանավորված է թվաբանության հիմնարար թեորեմով[45]։ Ըստ այս թեորեմի, մեկի մեծ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել մեկ կամ ավելի պարզ թվերի արտադրյալի տեսքով։ Ընդ որում, այս ներկայացումը եզակի է, այսինքն՝ երկու կամայական վերլուծում կունեն նույն պարզ թվերը նույն քանակով, չնայած նրանց հերաթականությունը կարող է տարբեր լինել[46]։ Այսպիսով, պարզ թվերը կարելի է համարել բնական թվերի «հիմնական շինանյութ»[47]։

Պարզ արտադրիչների վերլուծման եզակիության ապացույցներից որոշները օգտագործում են Էվկլիդեսի լեմման, ըստ որի՝ եթե  ֊ն պարզ թիվ է և   ու   ամբողջ թվերի   արտադրյալը բաժանվում է  ֊ի, ապա  ֊ն կամ  ֊ն (կամ երկուսն էլ) բաժանվում են  ֊ի[48]։ Եթե թիվը բաժանվում է  ֊ի և թվի բաժանարարներից գոնե մեկը նույնպես բաժանվում է  ֊ի, ապա  ֊ն պարզ է[49]։

Անսահմանություն խմբագրել

Գոյություն ունեն անթիվ բազմությամբ պարզ թվեր։ Այլ կերպ ասած

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

հաջորդականությունը վերջ չունի։ Այս պնդումը կոչվում է Էվկլիդեսի թեորեմ՝ ի պատիվ հին հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսի, քանի որ պնդման հայտնի ամենահին ապացույցը պատկանոմ է նրան։ Գոյություն ունեն այս պնդման շատ այլ ապացույցներ, այդ ավում՝ անալիտիկ ապացույց Լեոնարդ Էյլերի կողմից, Գոլդբախի ապացույց հիմված Ֆերմայի թվերի վրա[50], ընդհանուր տոպոլոգիայի միջոցով Հիլել Ֆուրստենբերգի ապացույցը[51] և Էռնստ Էդուարդ Կումմերի էլեգանտ ապացույցը[52]։

Էվկլիդեսի ապացույցը[53] ցույց է տալիս, որ պարզ թվերի կամայական վերջավոր ցանկ թերի է։ Սա ցույց տալու համար պետք է ցանկի բոլոր թվերը բազմապատկել և արդյունքին գումարել մեկ։ Եթե տրված ցանկը պարունակում է   պարզ թվերը, ապա ստացված թիվը հավասար է՝

 

Ըստ թվաբանության հիմնական թեորեմի  ֊ը հնարավոր է վերլուծել պարզ արտադրիչների՝

 ։

 ֊ը առանց մնացորդի բաժանվում է այս արտադրիչներից յուրաքանչյուրին, բայց եթե  ֊ը բաժանենք տրված ցանկի պարզ թվերից յուրաքանչյուրին, մեկ մնացորդ կմնա, հետևաբար՝  ֊ի պարզ արտադրիչներից ոչ մեկը տրված ցանկում չկա։ Քանի որ բոլոր պարզ թվերի պարունակող վերջավոր ցանկ գոյություն չունի, ուրեմն գոյություն ունեն անթիվ բազմությամբ պարզ թվեր։

Ամենափոքր պարզ թվերի արտադրյալին մեկ գումարելով ստացված թվերը կոչվում են Էդկլիդեսի թվեր[54]։ Այս թվերից առաջին հինգը պարզ են, բայց վեցերորդը՝

 

բաղադրյալ է։

Պարզ թվերի բանաձև խմբագրել

Պարզ թվերի էֆեկտիվ բանաձև գոյություն չունի։ Օրինակ, գոյություն չունի ոչ հաստատուն բազմանդամ, որի բոլոր արժեքները պարզ թվեր են[55]։ Սակայն, գոյություն ունեն բազմաթիվ արտահայտություններ, որոնք պարունակում են բոլոր պարզ թվեր կամ պարունակում են միայն պարզ թվեր։ Այս արտահայտություններից մեկը հիմնված է Ուիլսոնի թեորեմի վրա և գեներացնում է երկու թիվ բազմաթիվ անգամ, բայց մնացած բոլոր պարզ թվերը ճիշտ մեկ անգամ[56]։ Գոյություն ունի ինը փոփախականով և մեկ պարամետրով Դիոֆանտյան հավասարում հետևյալ հատկությամբ՝ պարամետրը պարզ է այն և միայն այն դեպքում, երբ արդյունքում ստացված հավասարումների համակարգի ունի բնական թվերով լուծում։ Սրա միջոցով հնարավոր է ստանալ բանաձև, որի բոլոր դրական արժեքները պարզ կլինեն[55]։

Պարզ թվեր գեներացնող այլ բանաձևեր կարելի է ստանալ Միլսի կամ Ռայթ թեորեմներից։ Ըստ սրա, գոյություն ունեն իրական   և   թվեր, այնպես որ

 

պարզ թվեր են կամայական բնական  ֊ի համար (առաջին բանաձև) և կամայական թվով ցուցիչների համար (երկրորդ բանաձև)[57]։ Այստեղ  ֊ով նշանակված է ամբողջ մասը։ Սակայն, սրանք նոր պարզ թվեր գեներացնելու համար օգտակար չեն, քանի որ   կամ   թվերը գտնելու համար նախ և առաջ պետք է ունենալ պարզ թվերի ցանկ[55]։

Բաց խնդիրներ խմբագրել

Պարզ թվերի վերաբերյալ բազմաթիվ ենթադրություններ կան։ Այս ենթադրություններ հաճախ ունեն պարզ ձևակերպում, բայց չեն ապացուցվել տասնամյակներ շարունակ․ օրինակ՝ 1912 թվականից առաջարկված Լանդաուի չորս խնդիրները դեռ չեն լուծվել[58]։ Նրանցից մեկը Գոլդբախի խնդիրն է, ըստ որի երկուսից մեծ կամայական   զույգ թիվ կարելի է գրելու երկու պարզ թվերի գումարի տեսքով[59]։ 2014 թվականի դրությամբ այս պնդումը ստուգվել և հաստատվել է մինչև   թվերի համար[60]։ Սակայն, առնչվող Վինոգրադովի թեորեմը ապացուցվել է, ըստ որի՝ բավարար մեծ յուրաքանչյուր կենտ թիվ կարելի ներկայացնել երեք պարզ թվերի գումարի տեսքով[61]։ Ըստ Չենի թերոեմը, որը նույնպես ապացուցվել է, բավարար մեծ յուրաքանչյուր զույգ թիվ կարելի է ներկայացնել պարզ և կիսապարզ թվի (կիսապարզ են կոչվում երկու պարզ թվերի արտադրյալները) գումարի տեսքով[62]։ Նաև հայտնի է, որ 10֊ից մեծ կամայական զույգ թիվ կարելի է ներկայացնել վեց պարզ թվերի գումարի տեսքով[63]։ Նման հարցերով զբաղվող մաթեմատիկայի ճյուղը կոչվում է թվերի ադիտիվ տեսության[64]։

Մի շարք բաց խնդիրներ կապված են պարզ թվերի հեռավորության՝ երկու հաջորդական պարզ թվերի տարբերության հետ։   հաջորդականությունից ակնհայտ է, որ գայություն ունեն կամայական հեռավորությամբ հաջորդական պարզ թվեր, քանի որ կամայական   բնական թվի համար այն պարունակում է   բաղադրյալ թիվ ( -ը բաժանվում է  , քանի որ և՛  ֊ը, և՛  ֊ը բաժանվում են  ֊ի,  -ը բաժանվում է  , քանի որ և՛  ֊ը, և՛  ֊ը բաժանվում են  ֊ի, և այլն)[65]։ Սակայն, մեծ հեռավերությամբ պարզ թվեր կարող են հանդիպել շատ ավելի վաղ[66]։ Օրինակ, 8 հեռավերությամբ առաջին հաջորդական պարզ թվերը 89֊ն ու 97֊ն են[67], ինչը  ֊ից շատ ավելի փոքր է։ Ենթադրվում է, որ գոյություն ունեն անթիվ հազմությամբ երկվորյակ պարզ թվեր։ Պոլինյակի ենթադրության համաձայն կամայական դրական   ամբողջ թվի համար գոյություն ունեն անթիվ բազմությամբ   հեռավորությամբ հաջորդական պարզ թվեր[68]։ Անդրիցայի ենթադրությունը[68], Բրոկարի ենթադրությունը[69], Լեժանդրի ենթադրությունը[70] և Օփերմանի ենթադրությունը[69] պնդում են, որ   և   թվերի միջև ընկած հաջորդական պարզ թվերի ամենամեծ հեռավորությունը չպետք է գերազանցի մոտավորապես  ֊ը։ Այս պնդումը հետևում է Ռիմանի հիպոթեզից։ Իսկ ըստ Կրամերի ենթադրության՝ այդ վերին սահմանը հավասար է  ֊ի[68]։

Անալիտիկ հատկություններ խմբագրել

Թվերի անալիտիկ տեսությունը թվերի տեսության բաժին է, որը մաթեմատիկական անալիզի մեթոդների միջոցով, ինչպես օրինակ անընդհատ ֆունկցիաներ, սահմաններ և անվերջ շարքեր, փորձում է լուծել ամբողջ թվերի վերաբերյալ խնդիրներ։ Այս բանագավառի առաջին արդյունքներից էր Բազելի խնդրի լուծումը Լեոնարդ Էյլերի կողմից։ Խնդիրը պահանջում է գտնել   անվերջ գումարի արժեքը, որն այժմ հայտնի է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի   արժեք։ Այս ֆունկցիան սերտորեն կապված է պարզ թվերի և մաթեմատիկայի ամենակարևոր չլուծված խնդիրներից մեկը՝ Ռիմանի հիպոթեզի հետ։ Էյլերը ցույց է տվել, որ  [71]։ Այս թվի հակադարձը՝  -ը, հավասար է սահմանային հավանականությանը, որ մեծ միջակայքից հավասարաչափ բաշխմամաբ ընտրված պատահական երկու թվերը փոխադարձ պարզ կլինեն (չունենան ընդհանուր բաժանարարներ)[72]։

Պարզ թվերի թեորեմը նկարագրում է պարզ թվերի ասիմպտոտ բաշխումը դրական ամբողջ թվերի մեջ, սակայն  -րդ պարզ թվի համար էֆեկտիվ բանաձև հայտնի չէ։ Ըստ թվաբանական պրոգրեսիաների մասին Դիրիխլեի թեորեմի՝ եթե  -ն և  -ն փոխադարձ պարզ թվեր են, ապա

 

գծային բազմանդամները ընդունում անթիվ բազմությամբ պարզ արժեքներ։ Ըստ թեորեմի ավելի խիստ տարբերակի՝ այս պարզ թվերի հակադարձերի գումարը՝  -ը տարամետ է, և որ նույն  -ով կազմված տարբեր գծային բազմանդամներ ունեն մոտավորապես նույն համամասնությամբ պարզ թվեր։

Ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամների դեպքում պարզ թվերի բաշխման վերաբերյալ առաջ են քաշվել տարբեր ենթադրություններ, սակայն դրանք ապացուցված չեն։ Անհայտ է, թե արդյոք գոյություն ունի քառակուսային բազմանդամ, որը ամբողջ արգումենտների դեպքում անթիվ բազմությամբ պարզ արժեքներ է ընդունում։

Էյլերի թեորեմի անալիտիկ ապացույց խմբագրել

Պարզ թվերի անվերջության Էյլերի ապացույցը դիտարկում է պարզ թվերի հակադարձերի գումարը,

 

Էյլերը ցույց է տվել, որ կամայական   իրական թվի համար գոյություն ունի   պարզ թիվ, որի համար գումարը մեծ է  -ից[73]։ Սա ցույց է տալիս, որ գոյություն ունեն անթիվ քանակությամբ պարզ թվեր, քանի որ եթե պարզ թվերի քանակը սահմանակ լիներ, գումարը վերջավոր կլիներ և գոյություն կունենար այս գումարից մեծ որևէ  ։ Այս գումարի աճի արագությունը նկարագրում է Մերտենսի երկրորդ թեորեմը[74]։ Համեմատության համար

 

գումարը չի ձգտում անվերջության, երբ  -ը ձգտում է անվերջության (տես Բազելի խնդիր)։ Այս իմաստով, պարզ թվերը ավելի հաճախ են հանդիպում, քան բնական թվերի քառակուսիները, չնայած երկու բազմություններն էլ անվերջ են[75]։ Ըստ Բրունի թեորեմի՝ երկվորյակ պարզ թվերի հակադիրների

 

գումարը վերջավոր է։ Բրունի թեորեմի պատճառով հնարավոր չէ Էյլերի մեթոդի միջոցով ապացուցել երկվորյակ պարզ թվերի անվերջության ենթադրությունը[75]։

Տրված թվից փոքր պարզ թվերի քանակ խմբագրել

 
Պարզ թվերի քանակը մոտարկող   և   ֆունկցիաների սխալը։ Երկու ֆունկցիաների սխալներն էլ ձգտում են զրոյի, երբ  -ը ձգտում է անվերջության, բայց լոգարիթմական ֆունկցիան ավելի արագ է զուգամիտում զրոյի։

Պարզ թվերի բաշխման   ֆունկցիան սահմանված է որպես  -ը չգերազանցող պարզ թվերի քանակ[76]։ Օրինակ,  , քանի որ գոյություն ունի 11-ից փոքր կամ հավասար 5 պարզ թիվ։ Մեյսել-Լեմերի ալգորիթմի միջոցով հնարավոր է հաշվել  -ի արժեքը ավելի արագ, քան մինչև   բոլոր պարզ թվեր հաշվելը[77]։ Պարզ թվերի թեորեմը ցույց է տալիս, որ  -ը ասիմպտոտիկ է  -ին, ինչը նշանակվում է՝

 

և նշանակում է, որ  -ի և աջ կոտորակի հարաբերությունը ձգտում է 1-ի, երբ  -ը ջգտում է անվերջության[78]։ Սա նշանակում է, որ պատահականորեն ընտրված  -ից փոքր թվի պարզ լինելու հավանականությունը մոտավորապես հակադարձ համեմատական է թվի թվանշանների քանակին[79]։ Դա նաև նշանակում է, որ  -րդ պարզ թիվը համեմատական է  -ին[80], հետևաբար՝ հաջորդական պարզ թվերի տարբերության միջինը համեմատական է  [66]։  -ի ավելի ճշգրիտ մոտարկում տրվում է հետևյալ լոգարիթմական ինտեգրալով[78]՝

 

Թվաբանական պրոգրեսիաներ խմբագրել

Թվաբանական պրոգրեսիան թվերի վերջավոր կամ անվերջ հաջորդականություն է, որի բոլոր հաջորդական անդամները նույն տարբերությունն ունեն[81]։ Այս տարբերությունը կոչվում է հաջորդականության տարբերություն[82]։ Օրինակ՝

3, 12, 21, 30, 39, ...,

անվերջ թվաբանական հաջորդականություն է, որի տարբերությունը 9 է։ Սահմանումից հետևում է, որ թվաբանական պրոգրեսիայի կամայական անդամի և տարբերության հարաբերության մնացորդը նույնն է, այս դեպքում՝ 3։ Քանի որ և՛ տարբերությունը, և՛ մնացորդը բաժանվում են 3-ի, հետևաբար հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ բաժանվում է 3-ի։ Սա նշանակում է, որ հաջորդականությունը պարունակում է միայն մեկ պարզ թիվ՝ 3-ը։ Ընդհանուր դեպքում,

 

անվերջ հաջորդականությունը կարող է պարունակել մեկից ավելի պարզ թվեր, եթե դրա   մնացորդը և   տարբերությունը փոխադարձ պարզ են։ Թվաբանական պրոգրեսիաների մասին Դիրիխլեի թեորեմը ցույց է տալիս, որ եթե դրանք պարզ են, ապա հաջորդականությունը պարունակում է անթիվ բազմությամբ պարզ թվեր[83]։

Պարզ թվերը 9 տարբերությամբ թվաբանական պրոգրեսիայում։ Բարակ հորիզոնական գոտու յուրաքանչյուր տող ցույց է տալիս 9 հնարավոր մնացորդներից մեկը, իսկ պարզ թվերը ներկված են կարմիրով։ 0, 3 կամ 6 մնացորդով պրոգրեսիաները պարունակում են միայն մեկ պարզ թիվ՝ 3, իսկ 2, 4, 5, 7 և 8 մնացորդով պրոգրեսիաները պարունակում են անթիվ բազմությամբ պարզ թվեր։

Գրին-Տաո թեորեմը ցույց է տալիս, որ գոյություն ունեն միայն պարզ թվեր պարունակող կամայական երկարությամբ թվաբանական հաջորդականություններ[36][84]։

Նշումներ խմբագրել

  1. A 44-digit prime number found in 1951 by Aimé Ferrier with a mechanical calculator remains the largest prime not to have been found with the aid of electronic computers.[29]
  2. For instance, Beiler writes that number theorist Էռնստ Էդուարդ Կումմեր loved his ideal numbers, closely related to the primes, "because they had not soiled themselves with any practical applications"[31], and Katz writes that Էդմունդ Լանդաու, known for his work on the distribution of primes, "loathed practical applications of mathematics", and for this reason avoided subjects such as Երկրաչափություն that had already shown themselves to be useful.[32]

Ծանոթագրություններ խմբագրել

  1. Գ.Ա.Ղարագեբակյան, «Թվերի տեսության դասընթաց», Էդիթ պրինտ հրատարակչություն, Երևան 2008
  2. «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1». Mersenne Research, Inc. 2018 թ․ դեկտեմբերի 21. Վերցված է 2018 թ․ դեկտեմբերի 21-ին.
  3. Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. էջ 26. ISBN 978-0-19-850105-3.
  4. Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (2nd ed.). Routledge. էջ 62. ISBN 978-1-136-63662-2.
  5. Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. էջ 16. OCLC 6975809.
  6. Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. էջ 360. ISBN 978-0-7641-0768-9.
  7. Dudley, Underwood (1978). «Section 2: Unique factorization». Elementary number theory (2nd ed.). W.H. Freeman and Co. էջ 10. ISBN 978-0-7167-0076-0.
  8. Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. Vol. 31 (2nd ed.). Elsevier. էջ 113. ISBN 978-0-08-096019-7.
  9. 9,0 9,1 Ziegler, Günter M. (2004). «The great prime number record races». Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414–416. MR 2039814.
  10. Stillwell, John (1997). Numbers and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. էջ 9. ISBN 978-0-387-98289-2.
  11. Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. էջ 40. MR 0170843.
  12. Nathanson, Melvyn B. (2000). «Notations and Conventions». Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 195. Springer. ISBN 978-0-387-22738-2. MR 1732941.
  13. Faticoni, Theodore G. (2012). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. Vol. 111 (2nd ed.). John Wiley & Sons. էջ 44. ISBN 978-1-118-24382-4.
  14. Bruins, Evert Marie, review in Mathematical Reviews of Gillings, R.J. (1974). «The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?». Archive for History of Exact Sciences. 12 (4): 291–298. doi:10.1007/BF01307175. MR 0497458. S2CID 121046003.
  15. 15,0 15,1 Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. էջ 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.
  16. 16,0 16,1 Pomerance, Carl (1982 թ․ դեկտեմբեր). «The Search for Prime Numbers». Scientific American. 247 (6): 136–147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. JSTOR 24966751.
  17. 17,0 17,1 17,2 17,3 Mollin, Richard A. (2002). «A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)». Mathematics Magazine. 75 (1): 18–29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288.
  18. Կաղապար:MacTutor Biography
  19. Sandifer 2007, 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), p. 45
  20. Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. էջ 42. ISBN 978-0-88385-584-3.
  21. Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. էջ 369. ISBN 978-0-12-421171-1.
  22. Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics. Vol. 4 (2nd ed.). World Scientific. էջ 21. ISBN 978-981-4487-52-8.
  23. Narkiewicz, Wladyslaw (2000). «1.2 Sum of Reciprocals of Primes». The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. էջ 11. ISBN 978-3-540-66289-1.
  24. Tchebychev, P. (1852). «Mémoire sur les nombres premiers» (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (ֆրանսերեն): 366–390.. (Proof of the postulate: 371–382). Also see Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, pp. 15–33, 1854
  25. Apostol, Tom M. (2000). «A centennial history of the prime number theorem». In Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. (eds.). Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. էջեր 1–14. MR 1764793.
  26. Apostol, Tom M. (1976). «7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions». Introduction to Analytic Number Theory. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. էջեր 146–156. MR 0434929.
  27. Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. էջ 261. ISBN 978-3-642-18192-4.
  28. Rosen, Kenneth H. (2000). «Theorem 9.20. Proth's Primality Test». Elementary Number Theory and Its Applications (4th ed.). Addison-Wesley. էջ 342. ISBN 978-0-201-87073-2.
  29. Cooper, S. Barry; Hodges, Andrew (2016). The Once and Future Turing. Cambridge University Press. էջեր 37–38. ISBN 978-1-107-01083-3.
  30. Rosen 2000, p. 245.
  31. Beiler, Albert H. (1999) [1966]. Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. Dover. էջ 2. ISBN 978-0-486-21096-4. OCLC 444171535.
  32. Katz, Shaul (2004). «Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem». Science in Context. 17 (1–2): 199–234. doi:10.1017/S0269889704000092. MR 2089305. S2CID 145575536.
  33. Kraft, James S.; Washington, Lawrence C. (2014). Elementary Number Theory. Textbooks in mathematics. CRC Press. էջ 7. ISBN 978-1-4987-0269-0.
  34. Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. էջ 468. ISBN 978-1-4665-6186-1.
  35. Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions. Vol. 11. Cambridge University Press. էջ 224. ISBN 978-0-88385-315-3.
  36. 36,0 36,1 Neale 2017, pp. 18, 47.
  37. 37,0 37,1 Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). «The history of the primality of one: a selection of sources». Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.8. MR 3005523. For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on the status of 1 and 2, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.
  38. Tarán, Leonardo (1981). Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary. Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy. Vol. 39. Brill. էջեր 35–38. ISBN 978-90-04-06505-5.
  39. Caldwell et al. 2012, pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.
  40. Caldwell et al. 2012, p. 15.
  41. 41,0 41,1 41,2 Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). «What is the smallest prime?» (PDF). Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.7. MR 3005530.
  42. Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (2nd ed.). Basel, Switzerland: Birkhäuser. էջ 36. doi:10.1007/978-1-4612-0251-6. ISBN 978-0-8176-3743-9. MR 1292250.
  43. 43,0 43,1 Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. New York: Copernicus. էջեր 129–130. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-0-387-97993-9. MR 1411676.
  44. For the totient, see Sierpiński 1988, p. 245. For the sum of divisors, see Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. էջ 59. ISBN 978-0-88385-563-8.
  45. Smith, Karl J. (2011). The Nature of Mathematics (12th ed.). Cengage Learning. էջ 188. ISBN 978-0-538-73758-6.
  46. Dudley 1978, Section 2, Theorem 2, p. 16; Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. Oxford University Press. p. 107. ISBN 978-0-19-109243-5.
  47. du Sautoy, Marcus (2003). The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Harper Collins. էջ 23. ISBN 978-0-06-093558-0.
  48. Dudley 1978, Section 2, Lemma 5, p. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. էջեր 77–78. ISBN 978-0-19-150050-3.
  49. Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (2nd ed.). Prentice Hall. Problem 1.40, p. 56. ISBN 978-0-13-011584-3.
  50. Letter in Latin from Goldbach to Euler, July 1730.
  51. Furstenberg, Harry (1955). «On the infinitude of primes». American Mathematical Monthly. 62 (5): 353. doi:10.2307/2307043. JSTOR 2307043. MR 0068566.
  52. Ribenboim, Paulo (2004). The little book of bigger primes. Berlin; New York: Springer-Verlag. էջ 4. ISBN 978-0-387-20169-6.
  53. Euclid's Elements, Book IX, Proposition 20. See David Joyce's English translation of Euclid's proof or Williamson, James (1782). The Elements of Euclid, With Dissertations. Oxford: Օքսֆորդի համալսարանի հրատարակչություն. էջ 63. OCLC 642232959.
  54. Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. էջեր 82–89. ISBN 978-0-201-52989-0.
  55. 55,0 55,1 55,2 Matiyasevich, Yuri V. (1999). «Formulas for prime numbers». In Tabachnikov, Serge (ed.). Kvant Selecta: Algebra and Analysis. Vol. II. American Mathematical Society. էջեր 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.
  56. Mackinnon, Nick (1987 թ․ հունիս). «Prime number formulae». The Mathematical Gazette. 71 (456): 113–114. doi:10.2307/3616496. JSTOR 3616496. S2CID 171537609.
  57. Wright, E.M. (1951). «A prime-representing function». American Mathematical Monthly. 58 (9): 616–618. doi:10.2307/2306356. JSTOR 2306356.
  58. Guy 2013, p. vii.
  59. Guy 2013, C1 Goldbach's conjecture, pp. 105–107.
  60. Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). «Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to  ». Mathematics of Computation. 83 (288): 2033–2060. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1. MR 3194140.
  61. Tao 2009, 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247. See especially p. 239.
  62. Guy 2013, p. 159.
  63. Ramaré, Olivier (1995). «On Šnirel'man's constant». Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. 22 (4): 645–706. MR 1375315. Արխիվացված է օրիգինալից 2022 թ․ փետրվարի 9-ին. Վերցված է 2018 թ․ հունվարի 23-ին.
  64. Rassias, Michael Th. (2017). Goldbach's Problem: Selected Topics. Cham: Springer. էջ vii. doi:10.1007/978-3-319-57914-6. ISBN 978-3-319-57912-2. MR 3674356.
  65. Koshy 2002, Theorem 2.14, p. 109. Riesel 1994 gives a similar argument using the primorial in place of the factorial.
  66. 66,0 66,1 Riesel 1994, "Large gaps between consecutive primes", pp. 78–79.
  67. Sloane, N. J. A. (ed.). «Sequence A100964 (Smallest prime number that begins a prime gap of at least 2n)». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  68. 68,0 68,1 68,2 Ribenboim 2004, Gaps between primes, pp. 186–192.
  69. 69,0 69,1 Ribenboim 2004, p. 183.
  70. Chan, Joel (1996 թ․ փետրվար). «Prime time!». Math Horizons. 3 (3): 23–25. doi:10.1080/10724117.1996.11974965. JSTOR 25678057. Note that Chan lists Legendre's conjecture as "Sierpinski's Postulate".
  71. Sandifer 2007, Chapter 35, Estimating the Basel problem, pp. 205–208.
  72. Ogilvy, C.S.; Anderson, J.T. (1988). Excursions in Number Theory. Dover Publications Inc. էջեր 29–35. ISBN 978-0-486-25778-5.
  73. Apostol 1976, Section 1.6, Theorem 1.13
  74. Apostol 1976, Section 4.8, Theorem 4.12
  75. 75,0 75,1 Miller, Steven J.; Takloo-Bighash, Ramin (2006). An Invitation to Modern Number Theory. Princeton University Press. էջեր 43–44. ISBN 978-0-691-12060-7.
  76. Crandall & Pomerance 2005, p. 6.
  77. Crandall & Pomerance 2005, Section 3.7, Counting primes, pp. 152–162.
  78. 78,0 78,1 Crandall & Pomerance 2005, p. 10.
  79. du Sautoy, Marcus (2011). «What are the odds that your telephone number is prime?». The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life. St. Martin's Press. էջեր 50–52. ISBN 978-0-230-12028-0.
  80. Apostol 1976, Section 4.6, Theorem 4.7
  81. Gelfand, I.M.; Shen, Alexander (2003). Algebra. Springer. էջ 37. ISBN 978-0-8176-3677-7.
  82. Mollin, Richard A. (1997). Fundamental Number Theory with Applications. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. էջ 76. ISBN 978-0-8493-3987-5.
  83. Crandall & Pomerance 2005, Theorem 1.1.5, p. 12.
  84. Green, Ben; Tao, Terence (2008). «The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions». Annals of Mathematics. 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT/0404188. doi:10.4007/annals.2008.167.481. S2CID 1883951.