Երկրաչափություն (Դեկարտ)

Երկրաչափություն; ֆր.՝ La Géométrie
	Տիտղոսաթերթ
Տեսակ	գրական ստեղծագործություն
Ժանր	էսսե
Հեղինակ	Ռենե Դեկարտ
Բնագիր լեզու	ֆրանսերեն
Հրատարակվել է	1637
	La géométrie (Descartes)

«Երկրափաչություն» (ֆր.՝ La Géométrie), Ռենե Դեկարտի աշխատանքը, որը հրապարակվել է 1637 թվականին՝ Լեյդենում (Հոլանդիա), որպես հեղինակի «Դատողություն մեթոդի մասին» փիլիսոփայական տրակտատի առդիր։ Առաջին հրատարակության մեջ հեղինակի անունը նշված չի եղել։ Սա Դեկարտի միակ ստեղծագործությունն է, որը ամբողջովին նվիրված է մաթեմատիկային. այն հեղինակի կողմից դիտարկվում էր, որպես ընդհանուր մեթոդների կիրառման օրինակ։ 1637 թվականից հետո «Երկրաչափությունը» հրատարակվում էր «Դատողություն մեթոդի մասին» աշխատությունից առանձին^[1]։

Դեկարտի «Երկրաչափությունը» դառնում է նոր մաթեմատիկայի զարգացման դարձման կետը։ Այն 17-րդ դարի գլխավոր մաթեմատիկոսների առձեռն գրքերից մեկն էր։ Գրքի գլխավոր կարևորությունը այն էր, որ գիրքն ներառում էր մաթեմատիկայի նոր բաժնի՝ անալիտիկ երկրափաչության շարադրանքը, որը թույլ էր տալիս կոորդինատների համակարգի շնորհիվ թարգմանել երկրաչափական խնդիրը հանրահաշվական լեզվով և հենց այդ ձևով պարզեցնում էր նրանց ուսումնասիրումը և լուծումը։ Բացի դրանից Դեկարտը իր աշխատության մեջ օգտագործում էր հարմար մաթեմատիկական նշանակում, որը այդ պահից սկսած գիտության մեջ դառնում է բոլորի կողմից ընդունված։ Վերջապես, Երկրաչափությունը սկսում է մաթեմատիկոսների ուշադրության տեղափոխման գործընթացը թվային մեծությունների ուսումնասիրումից՝ նրանց միջև տիրող կախվածության ուսումնասիրմանը (ժամանակակից տերմինաբանությամբ՝ ֆունկցիա)^[2]։

Երկրափաչություն աշխատության հետևանքով մաթեմատիկայի շրջանակներում տեղի ունեցած հեղափոխական փոխակերպումները թույլ են տալիս Դեկարտին լուծել մի շարք խնդիրներ, որոնք հին մեթոդներով լուծվելու հնարավորություն չունեին։ Դեկարտյան մոտեցումը 17-րդ դարավերջին Նյուտոնի և Լեյբնիցի մաթեմատիկական հետազոտությունների համար մշակման հիմք է հանդիսանում։

Նախապատում խմբագրել

Ինչ-որ իմաստով կարելի է ասել, որ Դեկարտը փոփոխում է երկրաչափության և հանրահաշվի գերակայությունները՝ ուղղելով հնագույն մաթեմատիկոսների ռազմավարական սխալները։ Մ.թ.ա 5-րդ դարում ծնունդ է առնում մաթեմատիկայի զարգացման առաջին ճգնաժամը^[3]. պյութագորականները հայտնաբերում են, որ քառակուսու անկյունագիծը անհամեմատելի է նրա կողմի հետ, ավելի ճիշտ նրանց փոխադարձ կապը ( ${\sqrt {2}}$ ) չի կարելի արտահայտել ոչ բնական թվով, ոչ էլ կոտորակային։ Սակայն այլ թվային մարմիններ (բացի բնական թվերից) անտիկ մաթեմատիկոսները չէին ընդունում, անգամ կոտորակները դիտարկվում էին նրանց կողմից ոչ որպես թվեր, այլ որպես հարաբերակցություն։ Ելքը կարողանում է գտնել Եվդոքս Կնիդսկին մ.թ.ա 4-րդ դարում. նա թվերի շարքին է դասում նաև երկրափաչական մեծությունները (երկարություն, մակերես, ծավալ)։ Համասեռ մեծությունների համար կային առաջին արիֆմետիկ գործողությունները։ Եվդոքսի թեորեմը շարադրվում է Էվկլիդեսի հինգերորդ գրքում և այն օգտագործվում էր Եվրոպայում մինչև 17-րդ դարը։ Թվերի մասին Էվկլիդի թեորեմները պետք էր առանձին ապացուցել մեծությունների համար, այո և մեծությունների արիֆմետիկան էականորեն աղքատ էր, քան թվայինը՝ զուտ անգամ նրա համար, որ վերաբերում էր համասեռ մեծություններին^[4]^[5]։

Նոր ժամանակներում պարզ դարձավ, որ թվային հանրահաշվի հիման վրա երկրափաչություն կազմելը սխալ է։ Օրինակ՝ երկրափաչության տեսակետից $x^{2}+x$ և անգամ $x^{4}$ արտահայտությունը չունեն երկրափաչական մեկնաբանում (որոշված չէ արդյունքի մեծության ֆիզիկական չափականությունը) և այդ իսկ պատճառով իմաստ չկար․ նույնը վերաբերվում է նաև բացասական թվերին^[6]^[7]։

Դեկարտը գնում է այլ ճանապարհով․ հանրահաշվից երկրաչափություն կազմելու փոխարեն, նա երկրափաչությունից հանրահաշիվ է կազմում և այդ ճանապարհը թվում էր ավելի պտղատու։ Այն հնարավոր դարձնելու համար, Դեկարտը ընդլայնում է թվի հասկացողությունը․ այն ներառում էր իրական թվերը՝ այդ թվում նաև իռացիոնալները և համարվում էր վերացարկված, այսինքն՝ երկրափաչությունից առանձին։ Առանձին երկրափաչական մեծության հասկացությունը այլևս դառնում է ավելորդ^[8]։ Երկրափաչության հանրահաշվականացումը թույլ էր տալիս նաև հայտնաբերել երկրափաչական խնդիրների առանձին գծերը, որոնք թվում են բացառապես անկախ^[6]^[7]։

Նախորդներ խմբագրել

Դեկարտը իր նշմամբ աշխատությունը ստեղծելիս ընդհանրապես չի հիմնվել այլ գիտնականների աշխատանքների վրա, ինչը Վալլիսին և մի քանի այլ մաթեմատիկոսների առիթ է տալիս մեղադրել նրան այլ հանրահաշվագետների մտքերի բանագողության մեջ, մասնավորապես Հերիոտի և Ժիրարի։ Ընդ որում իր մյուս տրակտատը՝ «Դիօպտրիկան», Դեկարտը այնպես է կառուցել, իբր մինչև իր գործունեության ծավալումը ոչ ոք մաթեմատիկական օպտիկայով չէր զբաղվել։

Դեկարտի վրա շատ մեծ ազդեցություն է թողել Ֆրանսուա Վիետը, ով նշանակումային հանրահաշվի հիմնադիրն էր։ Ինչպես նշվել է վերևում իր աշխատության հիմնական մտքերը Դեկարտը սկսել է մշակել 1619 թվականին, այնպես որ իր համակարգի հանգուցային կետերում նա ամբողջովին ինքնուրույն է։ Դրա մասին փաստում է նաև իր լայնարձակ գրվածքը։ Ժիրարը Դեկարտից առաջ կազմավորել էր հանրահաշվի հիմնական դրույթը (1629), իսկ Հերիոտը առաջին անգամ ուսումնասիրել էր բազմանդամի տարալուծումը գծային արտադրյալների (1631)։ Ժիրարի և Հերիոտի մաթեմատիկական նշանակումները Դեկարտը չէր օգտագործում, իսկ Հերիոտի գրքի հետ ծանոթանում է իր աշխատության լույս աշխարհ գալուց հետո։ Դեկարտը ակտիվ կերպով նամակներով փոխանակվում էր Պիեռ Ֆերմայի հետ, որը նույնպես կարող էր հավակնել անալիտիկ երկրափաչության հիմնադրողի կոչմանը, սակայն Ֆերմայի ազդեցությունը Դեկարտի աշխատանքներում չի զգացվում։ Իր նախորդներից ոչ ոք չէր առաջարկել մաթեմատիկայի այդքան արմատական բարենորոգում՝ ինչպես Դեկարտը^[9]^[10]։

Դեկարտի մոտեցման գաղափարական առանձնահատկություններ խմբագրել

Խնդիրների լուծման ունիվերսալ տարբերակ խմբագրել

Ռենե Դեկարտ

Նշանակումային երկրափաչություն ստեղծելու ամբողջ կարևորության մեջ, Երկրափաչություն աշխատության հրապարակման միջոցով Դեկարտը ցանկանում է հասնել ավելի մեծ մասշտաբային նպատակի՝ մաթեմատիկական խնդիրների առավելապես ընդհանրական մեթոդի տալուն։ Այդ ընդհանուր (ինչպես մտածում էր նա) մեթոդը Դեկարտը առաջարկում է հետևյալ ձևով։ Մաթեմատիկական խնդիրներից շատերը վերջնական հաշվով կարող են կապակցված լինել հանրահաշվական հավասարումներին կամ այդպիսի հավասարումների համակարգերին։ Այդ իսկ պատճառով խնդրի լուծումը զուտ այդ հավասարումների արմատների հաշվումն է։ Եթե խնդրի լուծման ժամանակ առաջանում են ոչ թե հանրահաշվական, այլ անդրացիկ հավասարումներ, ապա նրանց համար Դեկարտը մտածում էր, որ լուծման ընդհանուր մեթոդ գոյություն չունի։ Արմատների փաստացի հաշվման համար Դեկարտը օգտագործում է գրաֆիկական մեթոդը՝ արմատները ստացվում են որպես ուղիղների, շրջանագծերի և այլ հանրահաշվական կորերի հատման կետեր։ Դեկարտին հայտնի է եղել, որ $m$ և $n$ աստիճանների երկու կորերի կառուցումը թույլ է տալիս լուծել որոշ $mn$ ^[11] աստիճանների որոշ հավասարումներ։

Նկար «Երկրաչափությունից»: հավասարման արմատների տեղորոշումը պարաբոլների և շրջանագծերի հատման կետերի միջոցով

Օրինակ՝ այս հավասարումը լուծելու համար․

z^{4}=pz^{2}-qz+r

Դեկարտը ներկայացնում էր այն համակարգի տեսքով․

{\begin{cases}x=z^{2}\\x^{2}+z^{2}-(p+1)x+qz-r=0\end{cases}}

Առաջին հավասարումը ներկայացնում է պարաբոլը հարթության վրա (x, z), երկրորդը՝ շրջանագիծը և մնացել է միայն գտնվել նրանց հատման կետերը։ Դեկարտը ցույց է տվել, որ համանման մեթոդներով կարելի է լուծել հինգերորդ և վեցերորդ կարգի հավասարումներ, որոնց համար գոյություն չունի հանրահաշվական բանաձև նման՝ Կարդանոյի բանաձևի^[12]։

Հավասարման մեջ մտնող բոլոր արտահայտությունները Դեկարտը տեղափոխել է ձախ մաս, այնպես որ աջ մասը միշտ հավասար է զրոյի․ այս տեխնիկան անհրաժեշտ դարձրեց ուսումնասիրել հավասարման ձախ մասում գտնվող բազմանդամի արմատները գտնելու գործընթացը և այդ արմատների հետ կապված հավասարումների գործակիցները^[11]։

Թվի հասկացության ընդհանրացում խմբագրել

Ինչպես ցույց տրվեց վերևում, Դեկարտը ի տարբերություն անիկ հեղինակների, միավորել է թվերը և երկրափաչական մեծությունները։ Այդ նույն ժամանակ նա առանձնացրել է երեք տիպի թվեր․ ամբողջ, կոտորակային և իռացիոնալ։ Էական տարբերություններ նրանց միջև Դեկարտը չի թվել, քանի որ ուսումնասիրելով պարբերական կորերը և նրանց հանրահաշվական ձևը անհամատեղելի է ռացիոնալ թվերով պյութագորական սահմանափակումների հետ^[13]։ Դեկարտը նաև քայլեր է կատարել բացասական թվերի դրականացման հարցում՝ ներկայացնելով նրանց որպես դրականներին հակադիր կտորներ։ Չնայած ըստ ավանդույթի Դեկարտը բացասական արմատները անվանել էր «կեղծ», սակայն նա միավորում է նրանց «իրականների» հետ, ավելի ճիշտ դրականների հետ ընդգրկում է «իրական արմատների» մեջ^[14]։

Դեկարտի բարենորոգումը իրականացված էր ամբողջ, կոտորակային և իռացիոնալ թվերի «իրավունքների հավասարեցման» համար։ Այս երկարամյա գործընթացը ավարտին էր հասցրել Նյուտոնը, ով իր «Ունիվերսալ թվաբանություն» (1707) աշխատության միջոցով դասական դասակարգում էր տվել իրական թվերին, որպես չափման արդյունքի եզակի չափանիշ^[14]^[15]։

Թվի հասկացության տակ մենք չենք հասկանում այնքան միավոր, ինչքան ինչ-որ մեծության վերացական վերաբերմունքը նույն տեսակին պատկանող մեկ այլ մեծության հետ, որը ընդունված է որպես միավոր։

Բնօրինակ տեքստ (լատ.)

Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur rationem intelligimus.

Վերլուծական երկրաչափություն խմբագրել

Դեկարտյան կոորդինատների համակարգը ժամանակակից տարբերակով

Կորդինատային մեթոդի սկզբավորումը պատմաբանները դեռևս հայտնաբերել են Ապոլլոնիոս Պերգացու «Կոնուսաձև հատում» (մ.թ.ա 3-րդ դար) աշխատության մեջ։ Վերլուծական երկրաչափության հիմնական մտքերը Դեկարտը տալիս է թղթին 1632 թվականին։ Հանրահաշվական լեզվով երկրաչափական հատկությունների կազմավորման սկզբունքը Դեկարտի հետ միաժամանակ մշակում էր մեկ այլ ֆրանսիացի հայտնի մաթեմատիկոս՝ Պիեռ Ֆերման, սակայն նրա աշխատությունները հեղինակի կյանքի ընթացքում չեն հրապարակվում։ Ֆերմայի մոտեցումը նմանություններ ուներ դեկարտյանի հետ, սակայն զիջում էր վերջինիս պարզությամբ և շարադրման խորությամբ^[16]։

Դեկարտի կորդինատային համակարգը ինչ-որ չափով տարբերվում էր ժամանակակիցից։ Դեկարտը կենտրոնանում էր կորդինատային սկզբնակետի հարթության վրա և կորդինատային հարթության դրական ուղղության վրա (նա դիտարկում էր միայն դրական կորդինատները, ընդ որում օրդինատների ուղիղը նրա մոտ հորիզոնական է), ինչից հետո այդ ուղղության վրա պրոյեկտում է ուղղահայաց կամ այլ կենտրոնացված անկյուն, հետազոտվող կետի թեքը և փաստացի ստանում է երկրորդ կորդինատը (աբսցիսը) որպես պրոյեկտված հատվածի երկարություն։ Դրանից հետո Դեկարտը այդ թեքի համար հարաբերակցություն է տանում, որը կապում է աբսցիսը և օրդինատը (թեքի հավասարում)։ Դրանից հետո այս թեքի հետ կապված ցանկացած երկրափաչական պնդում կարելի է լուծել բացառապես հանրահաշվորեն՝ թեքի հավասարման միջոցով, չդիվելով որևէ գծագրի օգնության։ Ընդ որում հնագույն ավանդույթին որպես տուրք Դեկարտը հիմնականում կիրառում է և իր հավասարումների երկրաչափական բացատրությունները։ Հատկանշական է, որ աբսցիս, օրդինատ, կորդինատ տերմինները ժամանակակից իմաստով սկսել են կիրառվել ավելի ուշ՝ Լայբնիցի ժամանակներով, իսկ կորդինատների երկրորդ ուղղությունը առաջին անգամ տարել է Դեկարտի մեկնաբան Կլոդ Ռաբուելը (Claude Rabuel, 1669-1728) հետմահու Դեկարտի «Երկրափաչությանը» որպես հավելում հրատարակելով^[17]^[18]^[19]^[20]։

Դեկարտը առանձնացրել է բոլոր չընդհատվող թեքերը երկրաչափական և մեխանիկական խմբերի. առաջին խմբին պատկանողները տարբերվում են նրանով, որ նրանց կարելի է ներկայացնել հանրահաշվական հավասարման միջոցով։ Մեխանիկական թեքերը ինչպիսիք են գալարները և կվադրատրիսները Դեկարտը դուրս է հանել իր հետազոտությունների սահմաններից։ Նա անցկացրել է պատմության առաջին հանրահաշվական տարբեր աստիճանների հարթ թեքերի դասակարգումը, որը հետագայում ներկայացվել է Նյուտոնի կողմից կատարած մի քանի հավելումներով^[16]։ Դեկարտը պարզորեն գիտակցում էր, որ նրա հանրահաշվակայնացումը իր մեջ վտանգներ է պարունակում. կորդինատների համար նախատեսված բանաձևերից հետևություններ կատարելով, հարկավոր էր ամեն անգամ ստուգել, որ այդ որոշումները կախում չունեն կորդինատային համակարգից և չեն համարվում տվյալ կորդինատային համակարգի որևէ յուրահատկության հետևանք։ Դեկարտի քննարկումները հետևյալ թեմայի շրջանակներում հիմք են դնում ինվարիանտների թեորեմին^[7]։

Դեկարտի նշանակումները խմբագրել

Դեկարտի մոտ հանրահաշվական նշանակումների ամբողջությունը գործնականապես ստացել է ժամանակակից տեսք. Երկրաչափությունը պատմության առաջին գիրքն է, որի մեջ բանաձևերը այնպես են ներկայացված, որ ժամանակակից ընթերցողը կարդալիս ինչ-որ խնդիրների առաջ չի կանգնի։ Դեկարտը առաջարկել էր հայտնի պարամետրերի համար օգտագործել այբուբենի սկզբնական տառերը. $a,b,c\dots ,$ , իսկ անհայտների համար՝ վերջին տառերը. $x,y,z$ : Վերջին նշանակումները Դեկարտը նաև օգտագործել էր կորդինատային գրաֆիկների կառուցման նպատակով։ Անձամբ Դեկարտը սահմանափակվում էր հարթ թեքերի կիրառմամբ. տարածաչափական կորդինատների օգտագործումը ակտիվորեն սկսել էր Կլերոն՝ ավելի ուշ^[21]^[8]։

Ծանոթագրություններ խմբագրել

↑ История математики, том II, 1970, էջ 30
↑ Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 257
↑ Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. — Ташкент: ФАН, 1967. — С. 28. — 344 с. Вопреки названию, книга прослеживает историю понятия числа с самых древних времён.
↑ Колмогоров А. Н. Величина // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1.
↑ История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I. — С. 78.
↑ ^6,0 ^6,1 Scott, J. F. The scientific work of René Descartes. — New York: Garland, 1987. — ISBN 0824046722
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 Mac Tutor
↑ ^8,0 ^8,1 Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 279—282
↑ Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 205, 227, 290—292
↑ Цейтен Г. Г., 1938, էջ 211
↑ ^11,0 ^11,1 Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 281—282
↑ Вилейтнер Г., 1960, էջ 58
↑ Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 283
↑ ^14,0 ^14,1 История математики, том II, 1970, էջ 35—36
↑ Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 293
↑ ^16,0 ^16,1 История математики, том II, 1970, էջ 103—104
↑ История математики, том II, 1970, էջ 106—109
↑ Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 287
↑ Геометрия, 1938, էջ 215
↑ Вилейтнер Г., 1960, էջ 232, 247
↑ История математики, том II, 1970, էջ 113

Գրականություն խմբագրել

Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — 468 с.
Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — 208 с. — (История науки и техники).
Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках / Обработка, примечания и предисловие М. Выгодского. — Изд. 2-е. — М.—Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.
Юшкевич А. П. Декарт и математика // Декарт Р. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта / Перевод, примечания и статьи А. П. Юшкевича. — М—Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 257—294. — 297 с. — (Классики естествознания).
Яновская С. А. О роли математической строгости в творческом развитии математики и специально о «Геометрии» Декарта // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1966. — № 17. — С. 151—184.
Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7
Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 2 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xii + 392 p. — ISBN 978-1-60206-713-4

Արտաքին հղումներ խմբագրել

Գուտենբերգի նախագծի Երկրաչափություն աշխատության տարբերակը
Bad OCR: Երկրաչափություն աշխատության Քորնելի Համալսարանի պատճենված տարբերակը
Archive.org: Երկրաչափություն
Facsimile Wikisource (fr) : Երկրաչափություն

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Երկրաչափություն (Դեկարտ)» հոդվածին։

[IM30-1] История математики, том II, 1970, էջ 30

[Юшкевич_А._П._Декарт_и_математика—1938——257-2] Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 257

[3] Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. — Ташкент: ФАН, 1967. — С. 28. — 344 с. Вопреки названию, книга прослеживает историю понятия числа с самых древних времён.

[4] Колмогоров А. Н. Величина // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1.

[5] История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I. — С. 78.

[ReferenceA-6] 6,0 ^6,1 Scott, J. F. The scientific work of René Descartes. — New York: Garland, 1987. — ISBN 0824046722

[Mac_Tutor———-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 Mac Tutor

[JU279-8] 8,0 ^8,1 Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 279—282

[Юшкевич_А._П._Декарт_и_математика—1938——205,_227,_290—292-9] Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 205, 227, 290—292

[Цейтен_Г._Г.—1938——211-10] Цейтен Г. Г., 1938, էջ 211

[JU281-11] 11,0 ^11,1 Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 281—282

[Вилейтнер_Г.—1960——58-12] Вилейтнер Г., 1960, էջ 58

[JU283-13] Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 283

[IM35-14] 14,0 ^14,1 История математики, том II, 1970, էջ 35—36

[Юшкевич_А._П._Декарт_и_математика—1938——293-15] Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 293

[IM103-16] 16,0 ^16,1 История математики, том II, 1970, էջ 103—104

[IM106-17] История математики, том II, 1970, էջ 106—109

[JU287-18] Юшкевич А. П. Декарт и математика, 1938, էջ 287

[Геометрия—1938——215-19] Геометрия, 1938, էջ 215

[Вилейтнер_Г.—1960——232,_247-20] Вилейтнер Г., 1960, էջ 232, 247

[История_математики,_том_II—1970——113-21] История математики, том II, 1970, էջ 113

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]