Նյոթերի թեորեմ

Նյոթերի թեորեմը պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ սիմետրիայի համապատասխանում է որոշակի պահպանման օրենք.

• Ժամանակի համասեռությանը համապատասխանում է էներգիայի պահպանման օրենքը։
• Տարածության համասեռությանը համապատասխանում է իմպուլսի պահպանման օրենքը։
• Տարածության իզոտրոպությանը համապատասխանում է իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը։
• Տրամաչափային սիմետրիային համապատասխանում է էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը և այլն։

Էմմի Նյոթերը գերմանացի հեղինակավոր մաթեմատիկոս էր, հայտնի աբստրակտ հանրահաշվում և տեսական ֆիզիկայում իր ներդրումներով։

Թեորեմը սովորաբար ձևակերպվում է գործողության ֆունկցիոնալ ունեցող մեծությունների համար, և արտահայտում է լագրանժյանի ինվարիանտությունը ձևափոխությունների որոշ անընդհատ խմբի նկատմամբ։

Թեորեմը սահմանել են գյոթինգենյան դպրոցի գիտնականներ Դավիդ Հիլբերտը, Ֆելիքս Կլայնը և Էմմի Նյոթերը։ Ապացուցել է Էմմի Նյոթերը 1915 թվականին, հրատարակել՝ 1918 թվականին։

Ձևակերպում

Դասական մեխանիկա

$g^{s}(q_{i})$ դիֆեոմորֆիզմների յուրաքանչյուր միապարամետրական խմբի, որի լագրանժյանը պահպանվում է, համապատասխանում է համակարգի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է

$I=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {d}{ds}}g^{s}(q_{i})\right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$։

Ձևակերպենք անվերջ փոքրերի ձևափոխությունների տերմիններով։ Դիցուք կոորդինատների անվերջ փոքր ձևափոխությունը

$g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t)$

տեսքն ունի, իսկ $L(q,\;{\dot {q}},\;t)$ Լագրանժնի ֆունկցիան ինվարիանտ է այդ ձևափոխությունների նկատմամբ, այսինքն

${\frac {d}{ds}}L({\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t),\;{\dot {{\vec {q}}_{0}}}+s{\dot {\vec {\psi }}}({\vec {q}},\;t),\;t)=0$, եթե $s=0$։

Այդ դեպքում համակարգի համար գոյություն ունի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է

$I=\left({\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t);\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)=\sum _{i=1}^{n}\psi _{i}({\vec {q}},\;t){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$։

Թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել ժամանակն ընդգրկող ձևափոխությունների համար, եթե ժամանակի շարժումը պատկերացնենք որոշ $\tau$ պարամետրից կախված, ընդ որում շարժման պրոցեսում $t=\tau$։ Այդ դեպքում

$g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t)$

$g^{s}(t)=t_{0}+s\xi ({\vec {q}},\;t)$

ձևափոխություններից հետևում է առաջին ինտեգրալը՝

$I=\xi L+\left({\vec {\psi }}-\xi {\dot {\vec {q}}};\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)$։

Դաշտի տեսություն

Նյոթերի թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել անվերջ մեծ թվով ազատության աստիճաններով համակարգի համար։ Այդպիսի համակարգեր են գրավիտացիոն և էլեկտրամագնիսական դաշտերը։ Դիցուք համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան կախված է $n$ պոտենցիալներից, որոնք իրենց հերթին կախված են $k$ կոորդինատներից։ Գործողության ֆունկցիոնալը կունենա

$S=\int L(A^{i},\;\partial _{\mu }A^{i},\;x^{\mu })\,d\Omega ,\quad i=1,\ldots ,\;n,\quad \mu =1,\;\ldots ,\;k,\quad d\Omega =dx^{1}\ldots dx^{k}$

տեսքը։ Դիցուք պոտենցիալների տարածության դիֆեոմորֆիզմների $g^{s}$ խումբը պահպանում է Լագրանժի ֆունկցիան։ Այդ դեպքում պահպանվում է

$J^{\mu }=\left({\frac {d}{ds}}g^{s}A^{i}\right){\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }A^{i})}},$

վեկտորը, որը կոչվում է Նյոթերի հոսքի վեկտոր։ Գումարում է կատարվում ըստ կրկնվող ինդեքսների. $\partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$։ Նյոթերի հոսքի վեկտորի պահպանման իմաստն այն է, որ

$\ \partial _{\mu }J^{\mu }=0,$

այդ պատճառով $J$ հոսքը կոորդինատների տարածության ցանկացած փակ մակերևույթով 0 է։ Մասնավորապես, եթե կոորդինատներից առանձնացնենք մեկը՝ ժամանակ կոչվածը, և դիտարկենք հաստատուն ժամանակի հիպերհարթությունը, ապա $J$ հոսքը այդպիսի հիպերհարթությունով հաստատուն է ժամանակի ընթացքում, պայմանով, որ դաշտը անվերջությունում բավարար արագ է նվազում, իսկ հիպերմակերևույթը կոմպակտ չէ, այնպես որ վեկտորի հոսքը երկու հիպերմակերևույթների միջակա տարածության տիրույթի կողային սահմանով հավասար է 0։ Դաշտի դասական տեսության մեջ այդպիսի հատկություն ունի, օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիա-իմպուլսի թենզորը։ Վակուումում դաշտի լագրանժյանը բացահայտ կախված չէ կոորդինատներից, այդ պատճառով ունենք էներգիայի-իմպուլսի հոսքին զուգորդվող պահպանվող մեծություն։

Դիֆերենցիալ հավասարումներ

Դիցուք ունենք $S=\int L({\vec {u}},{\vec {x}},\dots )\,d{\boldsymbol {x}}$ գործողության ֆունկցիոնալով վարիացիոն խնդիր։ Այստեղ $L$-ը լագրանժյանն է. $x$-ն՝ անկախ փոփոխականներ, $u$-ն՝ կախյալ փոփոխականներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ $x$-ից։ $L$ կարող է կախված լինել նաև $u$-ի ածանցյալներից ըստ $x$-ի, պարտադիր չէ միայն առաջին կարգի։

Վարիացիոն խնդիրը այսպիսի ֆունկցիոնալի համար հանգեցնում է Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումների, որոնք կարելի է գրել

$\mathrm {E_{\alpha }} (L)=0~,~\alpha =1\dots q$

տեսքով, որտեղ $\mathrm {E}$-երը Էյլեր-Լագրանժի օպերատորներն են՝

$\mathrm {E_{\alpha }} ={\frac {\partial }{\partial u_{\alpha }}}-\sum _{i=1}^{p}{\frac {d}{dx_{i}}}{\frac {\partial }{\partial u_{x_{i}}^{\alpha }}}+\dots ~~~$,

$u_{x_{i}}^{\alpha }$-ն $u^{\alpha }$ ֆունկցիայի ածանցյալն է ըստ $x_{i}$ փոփոխականի։ Բազմակետը նշանակում է, որ եթե $L$-ը կախված է առաջինից բարձի կարգի ածանցյալներից, ապա $\mathrm {E}$-ին պետք է ավելացնել համապատասխան գումարելիները։ Ամփոփ գրառմամբ $\mathrm {E_{\alpha }} =\sum _{J}(-D)_{J}{\frac {\partial }{\partial u_{J}^{\alpha }}}$,

որտեղ $J$ — մուլտինդեքսն է։ Գումարումը կատարվում է ըստ բոլոր բաղադրիչների այնպես, որ $u_{J}^{\alpha }$ ածանցյալը մտնում է $L$-ի մեջ։

Նյոթերի թեորեմը կապում է $S$ ֆունկցիոնալի այսպես կոչված վարիացիոն սիմետրիաները պահպանման օրենքների հետ, որոնք տեղի են ունենում Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների լուծումներով։

Պահպանման օրենքներ

Պահպահման օրենքները դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի համար

$\mathrm {Div} {\vec {P}}=0$

տեսքի արտահայտություններ են, ինչը ճիշտ է այդ համակարգի հավասարումների համար, այնպես որ եթե դրա մեջ տեղադրենք այդ դիֆերենցիալ հավասարումները, կստանանք նույնություն։ Տվյալ դեպքում դիտարկվում են Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Այստեղ $\mathrm {Div}$-ն լրիվ դիվերգենցիա (լրիվ ածանցյալներով դիվերգենցիալ) է ըստ $x$-ի։ ${\vec {P}}$-ն $u$-ի, $x$-ի և ըստ $x$-ի $u$-ի ածանցյալների հարթ ֆունկցիաներ են։ Պահպանման տրիվալ օրենքներ են կոչվում այն պահպանման օրենքները,

• որոնց համար $\mathrm {Div} {\vec {P}}=0$-ն ինքնին նույնություն է՝ առանց որևէ դիֆերենցիալ հավասարում հաշվի առնելու, կամ
• որոնց համար ${\vec {P}}$-ն 0 է դառնում, հենց տեղադրում ենք դիֆերենցիալ հավասարումները՝ առանց դիվերգենցիաները հաշվելու (լուծումներում պահպանվում է նույնական զրոն), կամ
• որոնց համար ${\vec {P}}$-ն նախորդ դեպքերի գծային կոմբինացիան է։

Եթե ${\vec {P}}$ և ${\vec {R}}$ ֆունկցիաներով երկու պահպանման օրենքների համար ${\vec {P}}-{\vec {R}}$ տարբերությունը պահպանման տրիվիալ օրենք է, ապա այդպիսի պահպանման օրենքները կոչվում են համարժեք։

Յուրաքանչյուր պահպանման օրենք համարժեք է բնութագրական ձև ունեցող պահպանման օրենքին, այսինքն այնպիսի օրենքին, որի համար

$\mathrm {Div} {\vec {P}}={\vec {Q}}\cdot {\vec {\Delta }}$,

որտեղ $\Delta$-ն արտահայտություններ են, որոնք մտնում են դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ համակարգերի մեջ. ${\vec {\Delta }}=0$։ Նկարագրվող դեպքի համար $\Delta _{\alpha }=E_{\alpha }(L)$ և

$\mathrm {Div} {\vec {P}}=\sum _{\alpha }Q_{\alpha }E_{\alpha }(L)$։

$Q_{\alpha }$ կախված են $u$-ից, $x$-ից և ըստ $x$-ի $u$-ի ածանցյալներից և կոչվում են պահպանման օրենքի բնութագրեր։

Վարիացիոն սիմետրիաներ

Դիցուք ունենք ընդհանրացված վեկտորական դաշտ.

${\vec {v}}=\sum _{i=1}^{p}\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{\alpha =1}^{q}\varphi _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}$։

«Ընդհանրացումն» այն իմաստով է, որ $\xi$ և $\varphi$-ն կարող են կախված լինել ոչ միայն $u$-ից և $x$-ից, այլև $u$-ի ածանցյալներից ըստ $x$-ի։

Սահմանում. ${\vec {v}}$-ն կոչվում է $S$ ֆունկցիոնալի վարիացիոն սիմետրիա, եթե գոյություն ունի ${\vec {\mathrm {B} }}({\vec {u}},{\vec {x}},\dots )$ համախումբ այնպես, որ

$\mathrm {pr} \,{\vec {v}}(L)+L\,\mathrm {Div} \,{\vec {\xi }}=\mathrm {Div} \,{\vec {\mathrm {B} }}$։

$\mathrm {pr} \,{\vec {v}}$-ն ${\vec {v}}$-ի շարունակությունն է։ Շարունակությունը հաշվի է առնում, որ ${\vec {v}}$-ի գործողությունը $u$-ի և $x$-ի վրա առաջացնում է նաև ածանցյալների անվերջ փոքր փոփոխություն, և տրվում է

$\mathrm {pr} \,{\vec {v}}={\vec {v}}+\sum _{\alpha ,J}\varphi _{\alpha }^{J}{\frac {\partial }{\partial u_{J}^{\alpha }}}~,~\varphi _{\alpha }^{J}=D_{J}{\bigl (}\varphi _{\alpha }-\sum _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }{\bigr )}$

բանաձևերով։ Շարունակության համար բանաձևում պետք է բացի ${\vec {v}}$-ից վերցնել այնպիսի $\partial /\partial u_{J}^{\alpha }$-ով բաղադրիչներ, որոնց համար $u_{J}^{\alpha }$-ն մտնում է $L$-ի մեջ, կամ, ընդհանուր դեպքում, այն արտահայտության մեջ, որի վրա ազդում է շարունակությունը։

Վարիացիոն սիմետրիայի սահմանման իմաստն այն է, որ ${\vec {v}}$-ն անվերջ փոքր ձևափոխություն է, որոնք առաջին աստիճանում փոխում են $S$ ֆունկցիոնալն այնպես, որ Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ձևափոխվում են համարժեք հավասարումների։ Ճիշտ է հետևյալ թեորեմը.

Եթե ${\vec {v}}$-ն վարիացիոն սիմետրիա է, ապա ${\vec {v}}$-ն հանդիսանում է Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների (ընդհանրացված) սիմետրիա.

$\mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} _{\alpha }(L)\vert _{\mathrm {E} _{\alpha }(L)=0}=0$։

Այս բանաձևը նշանակում է, որ $\mathrm {E} _{\alpha }(L)$ արտահայտությունների անվերջ փոքր փոփոխությունները, որոնք այստեղ գրված են $\mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} _{\alpha }(L)$ տեսքով, լուծումներում 0 են դառնում։

Վեկտորական դաշտերի բնութագրեր

$Q_{\alpha }=\varphi _{\alpha }-\sum _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }$ ֆունկցիաների համախումբը (վերը բերված նշանակումներով) կոչվում է ${\vec {v}}$ վեկտորական դաշտի բնութագիր։ ${\vec {v}}$-ի փոխարեն կարելի է վերցնել

${\vec {v}}_{Q}=\sum _{\alpha }Q_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}$

Վեկտորական դաշտ, որը կոչվում է ${\vec {v}}$-ի էվոլյուցիոն ներկայացուցիչ։

${\vec {v}}$-ն և ${\vec {v}}_{Q}$-ն ըստ էության նույն սիմետրիան են սահմանում, այդ պատճառով եթե հայտնի են $Q_{\alpha }$-ի բնութագրերը, կարելի է համարել, որ դրանով սիմետրիան տրված է։ ${\vec {v}}_{Q}$-ի շարունակությունը որոշվում է ${\vec {v}}$-ի շարունակության նման, բայց ֆորմալ տեսանկյունից ավելի պարզ է, քանի որ կարիք չկա առանձին հաշվի առնելու $\xi$- երի ներդրումները։

Նյոթերի թեորեմը կապ է հաստատում պահպանման օրենքների բնութագրերի և վեկտորական դաշտերի բնութագրերի միջև։

Նյոթերի թեորեմ

${\vec {v}}$ ընդհանրացված վեկտորական դաշտը սահմանում է $S$ ֆունկցիոնալի սիմետրիաների խումբը միայն և միայն այն դեպքում, եթե նրա ${\vec {Q}}$ բնութագիրը $\mathrm {Div} {\vec {P}}=0$ պահպանման օրենքի բնութագիրն է Էյլեր-Լագրանժի համապատասխան հավասարումների համար։

Պահպանման օրենքներ

Դասական մեխանիկայում էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքներն արտածվում են համակարգի լագրանժյանի համասեռություն-իզոտրոպությունից. լագրանժյանը (Լագրանժի ֆունկցիան) ինքնին չի փոփոխվում ժամանակի ընթացքում և չի փոփոխվում տարածության մեջ համակարգի տեղափոխությունից կամ պտույտից։ Ըստ էության դա նշանակում է, որ լաբորատորիայում գտնվող որևէ փակ համակարգի դիտարկելիս, անկախ լաբորատորիայի դիրքից և փորձն անցկացնելու ժամանակից, կստացվեն նույն արդյունքները։ Համակարգի լագրանժյանի մյուս սիմետրիաները, եթե կան այդպիսիք, համապատասխանում են տվյալ համակարգում պահպանվող այլ մեծությունների (շարժման ինտեգրալների), օրինակ, երկու մարմինների գրավիտացիոն և կուլոնյան խնդրի լագրանժյանի սիմետրիան հանգեցնում է որ միայն էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման, այլև՝ Լապլա-Ռունգե-Լենցի վեկտորի պահպանման։

Կիրառություններ

Նյոթերի թեորեմը թույլ է տալիս նշանակալի տեղեկություն ստանալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծումների հատկությունների մասին՝ ելնելով միայն նրանց սիմետրիայից։ Այն նաև սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրման եղանակներից մեկն է, քանի որ թույլ է տալիս որոշ դեպքերում գտնել հավասարումների համակարգի առաջին ինտեգրալը և այդպիսով նվազեցնել անհայտ ֆունկցիաների թիվը։ Օրինակ,

• Համակարգի իմպուլսի պահպանումը բխում է տարածական տեղաշարժերի նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ Օրինակ, եթե X առանցքի երկայնքով տեղաշարժը չի փոխում հավասարումների համակարգը, ուրեմն այդ առանցքի երկայնքով $p_{x}$ իմպուլսը պահպանվում է։
• Իմպուլսի մոմենտի պահպանումը բխում է տարածության պտույտների նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։
• Էներգիայի պահպանումը ժամանակի համասեռության՝ ժամանակի հաշվարկի սկիզբը կամայական ձևով տեղաշարժելու կարելիության հետևանք է։

Մասնակի ածանցյալներով հավասարումների դեպքում անհրաժեշտ է փնտրել անվերջ թվով առաջին ինտեգրալներ։ Նույնիսկ դրանք իմանալով՝ սովորաբար հեշտ չէ գտնել ընդհանուր լուծում։

Հիմնարար բնույթի շնորհիվ Նյոթերի թեորեմը կիրառվում է ֆիզիկային այնպիսի բնագավառներում, ինչպես քվանտային մեխանիկան է՝ հենց իմպուլսի, իմպուլսի մոմենտի և այլ հասկացությունները սահմանելու համար։ Հավասարումների ինվարիանտությունը որոշ սիմետրիաների նկատմամբ այդ մեծությունների միակ իսկությունն է դառնում և երաշխավորում է նրանց պահպանումը։

Դաշտի քվանտային տեսությունում Նյոթերի թեորեմի համակերպը Ուորդ-Տակահաշիի նույնաությունն է, որը թույլ է տալիս ստանալ հավելյալ պահպանման օրենքներ։ Օրինակ, էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը բխում է մասնիկի կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայի փուլի փոփոխության նկատմամբ ֆիզիկական համակարգի ինվարիանտությունից և էլեկտրամագնիսական դաշտի վեկտորական ու սկալյար պոտենցիալների համապատասխան տրամաչափավորումից։

Նյոթերի լիցքը կիրառվում է նաև ստացիոնար սև խոռոչի էնտրոպիան հաշվելու համար։

Գրականություն

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М, Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
• Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М, Наука, 280 с., 1983 г.

Արտաքին հղումներ

• Նյոթերի հոդվածներն անգլերեն թարգմանությամբ
• Ջոն Բաեսի հոդվածը Նյոթերի թեորեմի մասին (անգլ.)
• Nina Byers, E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws
• Նյոթերի թեորեմը MathPages կայքում (անգլ.)
• Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. (անգլ.)
• Giachetta G., Mangiarotti L.,Sardanashvily G. On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003.