Դիֆերենցիալ հավասարումներ

Մաթեմատիկայում դիֆերենցիալ հավասարումը հավասարություն է, որը վերաբերում է մեկ կամ մի քանի ֆունկցիաներին և դրանց ածանցյալներին^[1]։ Կիրառություններում ֆունկցիաները հիմնականում ներկայացնում են ֆիզիկական մեծություններ, ածանցյալները ներկայացնում են փոփոխման արագությունը և դիֆերենցիալ հավասարումը սահմանում է երկուսի միջև հարաբերությունները։ Քանի որ այդպիսի հարաբերությունները չափազանց տարածված են, դա է պատճառը, որ դիֆերենցիալ հավասարումները կարևոր դեր են խաղում բազմաթիվ բնագավառներում՝ ներառյալ ճարտարագիտություն, ֆիզիկա, տնտեսագիտություն և կենսաբանություն։ Դիֆերենցիալ հավասարման կարգ է կոչվում տվյալ հավասարման մեջ մասնակցող ածանցյալների ամենաբարձր կարգը։

Դիֆերենցիալ հավասարումների ուսումնասիրությունը հիմնականում բաղկացած է դրանց լուծումների ուսումնասիրությունից (հավասարմանը բավարարող ֆունկցիաների բազմությունը), և դրանց լուծումների հատկությունները։ Միայն պարզագույն բանաձևերն են լուծելի որոշակի բանաձևերով։ Այնուամենայնիվ տված հավասարման լուծումների շատ հատկություններ կարող են որոշվել, առանց դրանք ճշգրիտ հաշվարկելու։

Եթե լուծումների համար վերջավոր արտահայտության ձևն անիրականալի է, ապա լուծումները կարող են թվային մոտարկվել համակարգիչների օգնությամբ։ Դինամիկ համակարգերի տեսությունը շեշտը դնում է դիֆերենցիալ հավասարումներով նկարագրված համակարգերի որակական վերլուծության վրա, մինչդեռ մշակվել են բազմաթիվ թվային մեթոդներ՝ տվյալ ճշգրտությամբ լուծումներ գտնելու համար։

Պատմություն

Դիֆերենցիալ հավասարումները առաջին անգամ ի հայտ եկան Նյուտոնի և Լայբնիցի կողմից հաշվարկների կիրառման հետ։ Իր 1671 թվականին գրած «Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum» բաժնի 2-րդ գլխում Իսահակ Նյուտոնը թվարկել է երեք տիպի դիֆերենցիալ հավասարումներ^[2]։

{\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}=f(x)\\[5pt]&{\frac {dy}{dx}}=f(x,y)\\[5pt]&x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}

Այս բոլոր հավասարումներում, $y$ -ը անհայտ ֆունկցիա է $x$ -ից (կամ $x_{1}$ և $x_{2}$ -ից), իսկ $f$ -ը տված ֆունկցիան է։

Այս և այլ օրինակներ նա լուծում է օգտագործելով անվերջ շարքեր և քննարկում լուծումների ոչ եզակիությունը։

1695 թվականին Բերնուլին առաջարկեց Բերնուլիի դիֆերենցիալ հավասարումը^[3]։ Այն սովորական դիֆերենցիալ հավասարում է՝

y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,

այն պարզեցնելով Լայբնիցը հաջորդ տարի գտավ լուծումները։f^[4]

Պատմականորեն, երաժշտական գործիքի թրթռացող լարի պրոբլեմը ուսումնասիրվել է Ժան Լը Ռոն Դ’Ալամբերի, Լեոնարդ Էյլերի, Դանիել Բեռնուլիի և Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի կողմից^[5]^[6]^[7]^[8]։ 1746 թվականին, Դ'Ալամբերը հայտնաբերեց միաչափ ալիքային հավասարումը, և տաս տարի անց Էյլերը հայտնաբերեց եռաչափ ալիքային հավասարումը^[9]։

Էյլեր-Լագրանժի բանաձևը մշակվել է 1750-ականներին Էյլերի և Լագրանժի կողմից, երբ նրանք ուսումնասիրում էին տաուտոխրոմ պրոբլեմը։ Սա այն կորի որոշումն է, որ կշռված մասնիկը, անկախ սկզբնակետից, ֆիքսված ժամանակահատվածում, ֆիքսված կետ կընկնի։ Լագրանժը այս պրոբլեմը լուծել է 1755 թվականին և լուծումն ուղարկել Էյլերին։ Նրանք երկուսով հետագայում զարգացրին Լագրանժի մեթոդը և այն կիրառեցին մեխանիկայում, ինչը հանգեցրեց Լագրանժյան մեխանիկայի ձևակերպմանը։

1822 թվականին, Ֆուրյեն հրապարակեց ջերմության հոսքի վերաբերյալ իր աշխատանքը Théorie analytique de la chaleur (Ջերմության անալիտիկ տեսություն)^[10], որում նա Նյուտոնի սառեցման օրենքի իր հիմնավորումը տվեց, այն է, որ ջերմության հոսքը երկու հարակից մոլեկուլների միջև, համամասն է նրանց ջերմաստիճանի ծայրահեղ փոքր տարբերությանը։ Այս գրքում ներառված է ջերմության հաղորդիչ դիֆուզիայի համար Ֆուրյեի ջերմահաղորդակցության հավասարման առաջադրանքը։ Այս մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումը այժմ դասավանդվում է մաթեմատիկական ֆիզիկա ուսումնասիրող յուրաքանչյուր ուսանողի։

Օրինակ

Դասական մեխանիկայում, մարմնի շարժումը նկարագրվում է նրա դիրքով և ժամանակի ընթացքում նրա արագության փոփոխմամբ։ Նյուտոնի շարժման օրենքները թույլ են տալիս այս փոփոխականները դինամիկ արտահայտել (տված դիրքը, արագություն, արագացում և մարմնի վրա ազդող տարբեր ուժեր) դիֆերենցիալ հավասարում, որը մարմնի անհայտ դիրքը ներկայացնում է որպես ժամանակից ֆունկցիա։

Որոշ դեպքերում, այս դիֆերենցիալ հավասարումը (շարժման հավասարում) կարող է բացահայտ լուծում ունենալ։

Իրական աշխարհի խնդրի մոդելավորման մեջ դիֆերենցիալ հավասարման օգտագործման օրինակ է։ Այն իրենից ներկայացնում է օդում գնդակի անկման աարագության որոշումը, հաշվի առնելով միայն ծանրությունը և օդի դիմադրությունը։ Գնդակի ծանրության ուժի արագացումը դեպի երկիր դա ձգողականության ուժի արագացումն է հանած օդի դիմադրության ուժը։ Ձգողականությունը համարվում է հաստատուն, իսկ օդի դիմադրությունը կարելի է մոդելավորել որպես գնդակի արագությանը համեմատական։ Սա նշանակում է որ գնդակի արագացումը, ինչը նրա արագության ածանցյալն է, կախված է արագությունից (իսկ արագությունը կախված է ժամանակից)։ Արագությունը որպես ժամանակի ֆունկցիա ներկայացնելը ներառում է դիֆերենցիալ հավասարման լուծման և նրա ստույգ լինելուն։

Տեսակներ

Դիֆերենցիալ հավասարումներ կարելի է բաժանել մի քանի տեսակների։ Բացի ինքնին դիֆերենցիալ հավասարման հատկությունների նկարագրությունից, դիֆերենցիալ հավասարումների այս դասակարգումը կարող է օգնել լուծման ընտրության հարցում։ Սովորաբար օգտագործվող տարբերակներն են՝ սովորական/մասնակի, գծային/ոչ գծային և համասեռ/տարասեռ։ Այս ցուցակը հեռու է սպառիչ լինելուց, կան դիֆերենցիալ հավասարումների շատ այլ հատկություններ և ենթադասեր, որոնք կարող են շատ օգտակար լինել հատուկ կոնտեքստներում։

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումները, հավասարումներ են, որտեղ անհայտները մեկ փոփոխականի ֆունկցիաներ են, ընդ որում հավասարման մեջ մասնակցում են ոչ միայն անհայտ ֆունկցիաները այլև այդ ֆունկցիաների ածանցյալները։

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարման տեսքը ընդհանուր դեպքում հետևյալն է՝

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0\!

կամ

F\left(x,y,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}},...,{\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}\right)=0

,

որտեղ $~y=y(x)$ անհայտ ֆունկցիան է, $~x$ անկախ փոփոխականը, $~n$ կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման կարգ։

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների առաջին հետազոտությունները կատարվել են XVII դարի վերջում Ի. Նյուտոնի և Գ. Լեյբնիցի կողմից։

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումները լայն կիրառական նշանակություն ունեն մեխանիկայում, աստղագիտությունում, ֆիզիկայում, քիմիայի և կենսաբանության շատ խնդիրներում։ Սա բացատրվում է նրանով, որ շատ հաճախ բնական երևույթները ենթարկվում են օրենքների, որոնք գրվում են սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների տեսքով։ Օրինակ, Նյուտոնյան մեխանիկայի օրենքները թույլ են տալիս նյութական կետերի համակարգի շարժման նկարագրման մեխանիկական խնդիրը բերել սովորական դիֆերենցիալ հավասարման լուծումները գտնելու մաթեմատիկական խնդրին։

Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ

Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները, հավասարումներ են, որտեղ անհայտները մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաներ են, հավասարման մեջ մասնակցում են անհայտ ֆունկցիաները և այդ ֆունկցիաների մասնակի ածանցյալները։

Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարման տեսքը ընդհանուր դեպքում հետևյալն է՝

F\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m},y,{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial y}{\partial x_{m}}},{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{1}^{2}}},{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{2}^{2}}},\dots ,{\frac {\partial ^{n}y}{\partial x_{m}^{n}}}\right)=0

,

որտեղ $y\!=y(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})$ անհայտ ֆունկցիան է, $x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}$ անկախ փոփոխականները։

Առաջին մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումը հանդիպում է Լ. Էյլերի մակերևույթների տեսությանը նվիրված աշխատանքներում։

Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները կարող են օգտագործվել բազմազան երևույթների նկարագրման համար, այնպիսին, ինչպիսին են՝ ձայնը, ջերմությունը, էլեկտրաստատիկան, էլեկտրադինամիկան և այլն։ Այս, առաջին հայացքից, տարբեր ֆիզիկական երևույթները կարող են ֆորմալիզացվել և նկարագրվել միևնույն ձևով՝ մասնական ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումների տեսանկյունից։

Գծային և ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ

Եվ սովորական և մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները լինում են գծային և ոչ գծային։

Դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է գծային, եթե անհայտ ֆունկցիան և նրա ածանցյալները (մասնակի ածանցյալները) մտնում են հավասարման մեջ գծայնորեն։

Օրինակներ

Բեռնուլիի հավասարում`

y'=a(x)y+b(x)y^{\alpha }

Ռիկատիի հավասարում`

y'=a(x)y+b(x)y^{2}+c(x)

Շտուրմ-Լիուվիլի հավասարում`

-y''+q(x)y=\lambda ^{2}y

Ջերմահաղորդականության հավասարում`

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,

Լարի տատանման հավասարում`

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}

Լապլասի հավասարում`

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0

Կորտեվեգ-դե Ֆրիզի հավասարում՝

{\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0

Լուծումների գոյությունը

Դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելը նման չէ հանրահաշվական հավասարումներ լուծելուն։ Բացի այն, որ նրանց լուծումները հաճախ պարզ չեն, այլև հարց է՝ արդյոք դրանք եզակի են, կամ առհասարակ գոյություն ունե՞ն։

Առաջին կարգի սկզբնական խնդիրների համար, Պիանոյի գոյության թեորեմը տալիս է պայմանների բազմությունը, երբ լուծում գոյություն ունի։ xy հարթության յուրաքանչյուր $(a,b)$ կետի համար, սահմանեք որոշ ուղղանկյուն մակերես $Z$ , այնպիսին, որ $Z=[l,m]\times [n,p]$ և $(a,b)$ -ը $Z$ -ի ներսում են։ Ենթադրենք տված է ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x,y)$ հավասարումը և $y=b$ , երբ $x=a$ պայմանը, ապա այս խնդիրը լուծում ունի, եթե $g(x,y)$ և ${\frac {\partial g}{\partial x}}$ երկուսն էլ $Z$ -ի վրա անընդհատ են։ Այս լուծումը գոյություն ունի $a$ կենտրոնով որոշակի միջակայքի վրա։ Լուծումը կարող է եզակի չլինել։ (Այլ արդյունքների համար տես Սովորական դիֆերենցիալ հավասարում։)

Այնուամենայնիվ սա օգնում է միայն առաջին կարգի սկզբնական արժեքի խնդիրներում։ Ենթադրենք տված է n-րդ կարգի գծային սկզբնական արժեքի խնդիր․

f_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+f_{0}(x)y=g(x)

այնպես որ

y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y'_{0},y''(x_{0})=y''_{0},\cdots

Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական $f_{n}(x)$ -ի համար, եթե $\{f_{0},f_{1},\cdots \}$ և $g$ անընդհատ են $x_{0}$ պարունակող միջակայքի վրա , ապա $y$ գոյություն ունի և եզակի է^[11]։

Կիրառություններ

Դիֆերենցիալ հավասարումների ուսումնասիրությունը մեծ տեղ է զբաղեցնեւմ մաքուր և կիրառական մաթեմատիկաներում, ֆիզիկայում և ճարտարագիտության մեջ։ Բոլոր այս բնագավառները կապված են տարբեր տեսակի դիֆերենցիալ հավասարումների հատկությունների հետ։ Մաքուր մաթեմատիկան կենտրոնացած է լուծումների գոյության և միակության վրա, մինչդեռ կիրառական մաթեմատիկան շեշտում է լուծումների մոտարկման մեթոդների խիստ հիմնավորումը։ Դիֆերենցիալ հավասարումները կարևոր դեր են խաղում յուրաքանչյուր ֆիզիկական, տեխնիկական, կամ կենսաբանական պրոցեսի վիրտուալ մոդելավորման մեջ՝ երկնային շարժումից մինչև կամրջի ձևավորում, մինչև նեյրոնների միջև փոխազդեցություն։ Իրական կյանքի խնդիրների լուծման համար օգտագործվող դիֆերենցիալ հավասարումները , պարտադիր չէ, որ ուղղակիորեն լուծելի լինեն, այսինքն փակ լուծումներ չունեն։ Փոխարենը լուծումները կարելի է մոտարկել թվային մեթոդների օգտագործմամբ։

Ֆիզիկայի և քիմիայի շատ հիմնական օրենքներ կարող են ձևակերպվել որպես դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Կենսաբանության և տնտեսագիտության մեջ դիֆերենցիալ հավասարումներն օգտագործվում են բարդ համակարգերի վարքագիծը նկարագրելու համար։ Դիֆերենցիալ հավասարումների մաթեմատիկական տեսությունը նախ զարգացել էր այն գիտությունների հետ միասին, որտեղ առաջացել էին հավասարումները և որտեղ արդյունքները կիրառություն էին գտել։ Այնուամենայնիվ տարատեսակ խնդիրներ, երբեմն սկիզբ առած կատարելապես տարբեր գիտական ոլորտներից, կարող են հանգեցնել նույնական դիֆերենցիալ հավասարումների։ Ամեն նմանօրինակ դեպքում, հավասարումների հետևում ընկած մաթեմատիկական տեսությունը կարող է դիտարկվել որպես տարբեր երևույթներ միավորող սկզբունք։ Որպես օրինակ դիտարկենք լույսի և ձայնի տարածումը մթնոլորտում և ալիքներինը՝ լճակի մակերևույթի վրա։ Դրանք բոլորը կարող են նկարագրվել նույն երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարմամբ՝ ալիքի հավասարմամբ, ինչը թույլ է տալիս մեզ մտածել լույսի և ձայնի մասին որպես ալիքների ձևեր, որոնք շատ նման են ջրի մեջ առկա ալիքներին։ Ջերմահաղորդականությունը, տեսություն, որ զարգացրել է Ժոզեֆ Ֆուրյեի կողմից, որը կարգավորվում է մեկ այլ երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարման՝ ջերմային հավասարման միջոցով։ Պարզվում է, որ շատ դիֆուզիոն պրոցեսներ, չնայած տարբեր են թվում, նկարագրվում են միևնույն հավասարման միջոցով, Ֆինանսներում, օրինակ, Բլեք-Շոլզի հավասարումը առնչվում է ջերմային հավասարմանը։

Տարբեր գիտական բնագավառներում անվանում ստացած դիֆերենցիալ հավասարումների քանակը վկայում է թեմայի կարևորության մասին։

Ծանոթագրություններ

↑ Dennis G. Zill (2012 թ․ մարտի 15). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 1-285-40110-7.
↑ Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].
↑ Bernoulli, Jacob (1695), «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum
↑ Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0
↑ Frasier, Craig (1983 թ․ հուլիս). «Review of The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742, by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky» (PDF). Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society. 9 (1). Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2016 թ․ դեկտեմբերի 29-ին. Վերցված է 2020 թ․ փետրվարի 28-ին.
↑ Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). «The Vibrating String Controversy». Am. J. Phys. 55 (1): 33–37. Bibcode:1987AmJPh..55...33W. doi:10.1119/1.15311.
↑ For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings Արխիվացված 2020-02-09 Wayback Machine (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
↑ For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)
↑ Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
↑ Fourier, Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur (French). Paris: Firmin Didot Père et Fils. OCLC 2688081.{{cite book}}: CS1 սպաս․ չճանաչված լեզու (link)
↑ Zill, Dennis G. (2001). A First Course in Differential Equations (5th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37388-7.

Գրականություն

Математическая энциклопедия, M.: Советская энциклопедия, 1977
Филиппов А. Ф., Введение в теорию дифференциальных уравнений. – М.։ Комкнига, 2007.
Hartman P., Ordinary differential equations. – Philadelphia։ SIAM, 2002.
Հ. Գ. Ղազարյան, Ա. Հ. Հովհաննիսյան, Տ. Ն. Հարությունյան, Գ. Ա. Կարապետյան, Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ, Երևան, Զանգակ-97, 2002

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 3, էջ 416)։

[Zill2012-1] Dennis G. Zill (2012 թ․ մարտի 15). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 1-285-40110-7.

[2] Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].

[3] Bernoulli, Jacob (1695), «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum

[4] Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0

[5] Frasier, Craig (1983 թ․ հուլիս). «Review of The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742, by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky» (PDF). Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society. 9 (1). Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2016 թ․ դեկտեմբերի 29-ին. Վերցված է 2020 թ․ փետրվարի 28-ին.

[6] Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). «The Vibrating String Controversy». Am. J. Phys. 55 (1): 33–37. Bibcode:1987AmJPh..55...33W. doi:10.1119/1.15311.

[7] For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings Արխիվացված 2020-02-09 Wayback Machine (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.

[8] For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)

[Speiser-9] Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).

[10] Fourier, Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur (French). Paris: Firmin Didot Père et Fils. OCLC 2688081.{{cite book}}: CS1 սպաս․ չճանաչված լեզու (link)

[11] Zill, Dennis G. (2001). A First Course in Differential Equations (5th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37388-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]