Տարամիտություն

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Դիվերգենցիա (այլ կիրառումներ)

Տարամիտություն կամ դիվերգենցիա (լատին․՝ divergentia տարամիտում, անջատում), վեկտորական դաշտը սկալյար դաշտի վրա արտապատկերող դիֆերենցիալ օպերատոր, որը ցույց է տալիս տվյալ կետի փոքր շրջակայք մտնող և դուրս ելնող հոսքերի տարամիտությունը։ Հաշվի առնելով, որ տարբեր ուղղություններով հոսքերին կարելի է վերագրել դրական և բացասական նշաններ, դիվերգենցիան կարելի է սահմանել նաև որպես վեկտորական դաշտի գծային դիֆերենցիալ օպերատոր, որը բնութագրում է դաշտի հոսքը նրա որոշման տիրույթի յուրաքանչյուր կետի շրջակայքում։

Վեկտորական ֆունկցիան և նրա դիվերգենցիան՝ ներկայացված սկալյար դաշտի տեսքով (կարմիր գույնը ցույց է տալիս աճը, կանաչ գույնը` նվազումը):

$\ \mathbf {F}$ դաշտի նկատմամբ կիրառված դիվերգենցիայի օպերատոր նշանակվում է

$\ \operatorname {div} \mathbf {F}$

կամ

$\ \nabla \cdot \mathbf {F}$։

Սահմանում

Դիվերգենցիան սահմանվում է հետևյալ կերպ.

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\lim _{V\rightarrow 0}{{\mathit {\Phi }}_{\ \mathbf {F} } \over V}$,

որտեղ Ф_F-ը V ծավալով սահմանափակված S սֆերիկ մակերևույթով դաշտի հոսքն է։ Ավելի ընդհանրացված և ավելի հարմար կիրառության մեջ օգտագործվում է այն սահմանումը, որում թույլատրվում է ցանկացած ձև ունեցող S մակերևույթով և V ծավալով սահմանափակված տիրույթ։ Դրան ներկայացվող միակ պահանջը զրոյին ձգտող շառավղով ոլորտի ներսում գտնվելն է, այսինքն՝ ամբողջ մակերևույթը պետք է գտնվի տվյալ կետի անվերջ փոքր շրջակայքում։ Երկու դեպքում էլ ենթադրվում է, որ

${\mathit {\Phi }}_{\ \mathbf {F} }=\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;({\vec {F}},d{\vec {S}})$։

Այս սահմանումը կապված չէ որոշակի կոորդինատների հետ (օրինակ՝ դեկարտյան), ինչը որոշ դեպքերում շատ հարմար է կիրառել։ Սահմանումը հեշտությամբ կարելի է ընդհանրացնել ցանկացած n չափականությամբ տարածության համար. այս դեպքում ծավալը n-չափանի է, իսկ մակերևույթի մակերեսը՝ (n-1)-չափանի։

Սահմանումը դեկարտյան կոորդինատներով

Ենթադրենք վեկտորական դաշտը դիֆերենցվում է որոշակի տիրույթում։ Այդ դեպքում եռաչափ դեկարտյան տարածության մեջ դիվերգենցիան կարտահայտվի հետևյալ կերպ.

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\ \ \$,

(այստեղ F-ը $F_{x},F_{y},F_{z}$ կոորդինատներով վեկտորական դաշտ է)։ Օգտագործելով նաբլա օպերատորը՝ արտահայտությունը կարող ենք գրել որպես $\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} \ \ \$:

Բազմաչափ, ինչպես նաև երկչափ և միաչափ տարածություններում դիվերգենցիան դեկարտյան կոորդինատներով սահմանվում է համանման ձևով։

Ֆիզիկական մեկնաբանություն

Ֆիզիկայի տեսակետից վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան ցույց է տալիս, թե ինչ չափով է տարածության տվյալ կետը (ավելի ճիշտ, կետի բավարար փոքր շրջակայքը) դաշտի աղբյուր կամ հոսարան հանդիսանում.

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} >0$ - դաշտի կետը աղբյուր է,

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} <0$ - դաշտի կետը հոսարան է,

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =0$ - աղբյուր և հոսարան չկան, կամ դրանք կոմպենսացնում են միմյանց։

Պարզ, չնայած սխեմատիկ օրինակ կարող է լինել լիճը (հարմարության համար ընդունենք, որ խորությունը նույնն է ամենուրեք, և ջրի հոսանքի հորիզոնական արագությունը կախված չէ խորությունից. այսպիսով կունենանք երկչափ վեկտորական դաշտ երկչափ տարածության մեջ)։ Ավելի իրատեսական օրինակի համար կարող ենք դիտարկել արագության՝ ըստ ուղղահայաց տարածական կոորդինատի ինտեգրված հորիզոնական պրոյեկցիան, ինչը տալիս է երկչափ տարածության մեջ երկչափ վեկտորական դաշտի նույն պատկերը, ընդ որում այն որակապես չի տարբերվում առաջին օրինակից (քանակապես դրա ընդհանրացումն է)։ Այսպիսի մոդելում (և՛ առաջին օրինակում, և՛ երկրորդում) լճի հատակից բխող աղբյուրները կտան հոսանքի արագությունների դաշտի դրական դիվերգենցիա, իսկ ստորջրյա հոսարանները (քարանձավները, դեպի ուր հոսում է ջուրը)՝ բացասական դիվերգենցիա։

Աղբյուրներ

• Векторные поля

Գրականություն

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 11, էջ 611)։

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Տարամիտություն» հոդվածին։