Էմմի Նյոթերը գերմանացի հեղինակավոր մաթեմատիկոս էր, հայտնի աբստրակտ հանրահաշվում և տեսական ֆիզիկայում իր ներդրումներով։

Նյոթերի թեորեմը պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ սիմետրիայի համապատասխանում է որոշակի պահպանման օրենք.

Թեորեմը սովորաբար ձևակերպվում է գործողության ֆունկցիոնալ ունեցող մեծությունների համար, և արտահայտում է լագրանժյանի ինվարիանտությունը ձևափոխությունների որոշ անընդհատ խմբի նկատմամբ։

Թեորեմը սահմանել են գյոթինգենյան դպրոցի գիտնականներ Դավիդ Հիլբերտը, Ֆելիքս Կլայնը և Էմմի Նյոթերը։ Ապացուցել է Էմմի Նյոթերը 1915 թվականին, հրատարակել՝ 1918 թվականին[1]։

ՁևակերպումԽմբագրել

Դասական մեխանիկաԽմբագրել

  դիֆեոմորֆիզմների յուրաքանչյուր միապարամետրական խմբի, որի լագրանժյանը պահպանվում է, համապատասխանում է համակարգի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է

 ։

Ձևակերպենք անվերջ փոքրերի ձևափոխությունների տերմիններով։ Դիցուք կոորդինատների անվերջ փոքր ձևափոխությունը

 

տեսքն ունի, իսկ   Լագրանժնի ֆունկցիան ինվարիանտ է այդ ձևափոխությունների նկատմամբ, այսինքն

 , եթե  ։

Այդ դեպքում համակարգի համար գոյություն ունի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է

 ։

Թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել ժամանակն ընդգրկող ձևափոխությունների համար, եթե ժամանակի շարժումը պատկերացնենք որոշ   պարամետրից կախված, ընդ որում շարժման պրոցեսում  ։ Այդ դեպքում

 
 

ձևափոխություններից հետևում է առաջին ինտեգրալը՝

 ։

Դաշտի տեսությունԽմբագրել

Նյոթերի թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել անվերջ մեծ թվով ազատության աստիճաններով համակարգի համար։ Այդպիսի համակարգեր են գրավիտացիոն և էլեկտրամագնիսական դաշտերը։ Դիցուք համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան կախված է   պոտենցիալներից, որոնք իրենց հերթին կախված են   կոորդինատներից։ Գործողության ֆունկցիոնալը կունենա

 

տեսքը։ Դիցուք պոտենցիալների տարածության դիֆեոմորֆիզմների   խումբը պահպանում է Լագրանժի ֆունկցիան։ Այդ դեպքում պահպանվում է

 

վեկտորը, որը կոչվում է Նյոթերի հոսքի վեկտոր։ Գումարում է կատարվում ըստ կրկնվող ինդեքսների.  ։ Նյոթերի հոսքի վեկտորի պահպանման իմաստն այն է, որ

 

այդ պատճառով   հոսքը կոորդինատների տարածության ցանկացած փակ մակերևույթով 0 է։ Մասնավորապես, եթե կոորդինատներից առանձնացնենք մեկը՝ ժամանակ կոչվածը, և դիտարկենք հաստատուն ժամանակի հիպերհարթությունը, ապա   հոսքը այդպիսի հիպերհարթությունով հաստատուն է ժամանակի ընթացքում, պայմանով, որ դաշտը անվերջությունում բավարար արագ է նվազում, իսկ հիպերմակերևույթը կոմպակտ չէ, այնպես որ վեկտորի հոսքը երկու հիպերմակերևույթների միջակա տարածության տիրույթի կողային սահմանով հավասար է 0։ Դաշտի դասական տեսության մեջ այդպիսի հատկություն ունի, օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիա-իմպուլսի թենզորը։ Վակուումում դաշտի լագրանժյանը բացահայտ կախված չէ կոորդինատներից, այդ պատճառով ունենք էներգիայի-իմպուլսի հոսքին զուգորդվող պահպանվող մեծություն։

Դիֆերենցիալ հավասարումներԽմբագրել

Դիցուք ունենք   գործողության ֆունկցիոնալով վարիացիոն խնդիր։ Այստեղ  լագրանժյանն է.  -ն՝ անկախ փոփոխականներ,  -ն՝ կախյալ փոփոխականներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ  -ից։   կարող է կախված լինել նաև  -ի ածանցյալներից ըստ  -ի, պարտադիր չէ միայն առաջին կարգի։

Վարիացիոն խնդիրը այսպիսի ֆունկցիոնալի համար հանգեցնում է Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումների, որոնք կարելի է գրել

 

տեսքով, որտեղ  -երը Էյլեր-Լագրանժի օպերատորներն են՝

 ,

   ֆունկցիայի ածանցյալն է ըստ   փոփոխականի։ Բազմակետը նշանակում է, որ եթե  -ը կախված է առաջինից բարձի կարգի ածանցյալներից, ապա  -ին պետք է ավելացնել համապատասխան գումարելիները։ Ամփոփ գրառմամբ  ,

որտեղ   — մուլտինդեքսն է։ Գումարումը կատարվում է ըստ բոլոր բաղադրիչների այնպես, որ   ածանցյալը մտնում է  -ի մեջ։

Նյոթերի թեորեմը կապում է   ֆունկցիոնալի այսպես կոչված վարիացիոն սիմետրիաները պահպանման օրենքների հետ, որոնք տեղի են ունենում Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների լուծումներով։

Պահպանման օրենքներԽմբագրել

Պահպահման օրենքները դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի համար

 

տեսքի արտահայտություններ են, ինչը ճիշտ է այդ համակարգի հավասարումների համար, այնպես որ եթե դրա մեջ տեղադրենք այդ դիֆերենցիալ հավասարումները, կստանանք նույնություն։ Տվյալ դեպքում դիտարկվում են Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Այստեղ  -ն լրիվ դիվերգենցիա (լրիվ ածանցյալներով դիվերգենցիալ) է ըստ  -ի։   -ի,  -ի և ըստ   -ի ածանցյալների հարթ ֆունկցիաներ են։ Պահպանման տրիվալ օրենքներ են կոչվում այն պահպանման օրենքները,

  • որոնց համար  -ն ինքնին նույնություն է՝ առանց որևէ դիֆերենցիալ հավասարում հաշվի առնելու, կամ
  • որոնց համար  -ն 0 է դառնում, հենց տեղադրում ենք դիֆերենցիալ հավասարումները՝ առանց դիվերգենցիաները հաշվելու (լուծումներում պահպանվում է նույնական զրոն), կամ
  • որոնց համար  -ն նախորդ դեպքերի գծային կոմբինացիան է։

Եթե   և   ֆունկցիաներով երկու պահպանման օրենքների համար   տարբերությունը պահպանման տրիվիալ օրենք է, ապա այդպիսի պահպանման օրենքները կոչվում են համարժեք։

Յուրաքանչյուր պահպանման օրենք համարժեք է բնութագրական ձև ունեցող պահպանման օրենքին, այսինքն այնպիսի օրենքին, որի համար

 ,

որտեղ  -ն արտահայտություններ են, որոնք մտնում են դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ համակարգերի մեջ.  ։ Նկարագրվող դեպքի համար   և

 ։

  կախված են  -ից,  -ից և ըստ   -ի ածանցյալներից և կոչվում են պահպանման օրենքի բնութագրեր։

Վարիացիոն սիմետրիաներԽմբագրել

Դիցուք ունենք ընդհանրացված վեկտորական դաշտ.

 ։

«Ընդհանրացումն» այն իմաստով է, որ   և  -ն կարող են կախված լինել ոչ միայն  -ից և  -ից, այլև  -ի ածանցյալներից ըստ  -ի։

Սահմանում.  -ն կոչվում է   ֆունկցիոնալի վարիացիոն սիմետրիա, եթե գոյություն ունի   համախումբ այնպես, որ

 ։

  շարունակությունն է։ Շարունակությունը հաշվի է առնում, որ  -ի գործողությունը  -ի և  -ի վրա առաջացնում է նաև ածանցյալների անվերջ փոքր փոփոխություն, և տրվում է

 

բանաձևերով։ Շարունակության համար բանաձևում պետք է բացի  -ից վերցնել այնպիսի  -ով բաղադրիչներ, որոնց համար  -ն մտնում է  -ի մեջ, կամ, ընդհանուր դեպքում, այն արտահայտության մեջ, որի վրա ազդում է շարունակությունը։

Վարիացիոն սիմետրիայի սահմանման իմաստն այն է, որ  -ն անվերջ փոքր ձևափոխություն է, որոնք առաջին աստիճանում փոխում են   ֆունկցիոնալն այնպես, որ Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ձևափոխվում են համարժեք հավասարումների։ Ճիշտ է հետևյալ թեորեմը.

Եթե  -ն վարիացիոն սիմետրիա է, ապա  -ն հանդիսանում է Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների (ընդհանրացված) սիմետրիա.

 ։

Այս բանաձևը նշանակում է, որ   արտահայտությունների անվերջ փոքր փոփոխությունները, որոնք այստեղ գրված են   տեսքով, լուծումներում 0 են դառնում։

Վեկտորական դաշտերի բնութագրերԽմբագրել

  ֆունկցիաների համախումբը (վերը բերված նշանակումներով) կոչվում է   վեկտորական դաշտի բնութագիր։  -ի փոխարեն կարելի է վերցնել

 

Վեկտորական դաշտ, որը կոչվում է  -ի էվոլյուցիոն ներկայացուցիչ։

 -ն և  -ն ըստ էության նույն սիմետրիան են սահմանում, այդ պատճառով եթե հայտնի են  -ի բնութագրերը, կարելի է համարել, որ դրանով սիմետրիան տրված է։  -ի շարունակությունը որոշվում է  -ի շարունակության նման, բայց ֆորմալ տեսանկյունից ավելի պարզ է, քանի որ կարիք չկա առանձին հաշվի առնելու  - երի ներդրումները։

Նյոթերի թեորեմը կապ է հաստատում պահպանման օրենքների բնութագրերի և վեկտորական դաշտերի բնութագրերի միջև։

Նյոթերի թեորեմԽմբագրել

  ընդհանրացված վեկտորական դաշտը սահմանում է   ֆունկցիոնալի սիմետրիաների խումբը միայն և միայն այն դեպքում, եթե նրա   բնութագիրը   պահպանման օրենքի բնութագիրն է Էյլեր-Լագրանժի համապատասխան հավասարումների համար։

Պահպանման օրենքներԽմբագրել

Դասական մեխանիկայում էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքներն արտածվում են համակարգի լագրանժյանի համասեռություն-իզոտրոպությունից. լագրանժյանը (Լագրանժի ֆունկցիան) ինքնին չի փոփոխվում ժամանակի ընթացքում և չի փոփոխվում տարածության մեջ համակարգի տեղափոխությունից կամ պտույտից։ Ըստ էության դա նշանակում է, որ լաբորատորիայում գտնվող որևէ փակ համակարգի դիտարկելիս, անկախ լաբորատորիայի դիրքից և փորձն անցկացնելու ժամանակից, կստացվեն նույն արդյունքները։ Համակարգի լագրանժյանի մյուս սիմետրիաները, եթե կան այդպիսիք, համապատասխանում են տվյալ համակարգում պահպանվող այլ մեծությունների (շարժման ինտեգրալների), օրինակ, երկու մարմինների գրավիտացիոն և կուլոնյան խնդրի լագրանժյանի սիմետրիան հանգեցնում է որ միայն էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման, այլև՝ Լապլա-Ռունգե-Լենցի վեկտորի պահպանման։

ԿիրառություններԽմբագրել

Նյոթերի թեորեմը թույլ է տալիս նշանակալի տեղեկություն ստանալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծումների հատկությունների մասին՝ ելնելով միայն նրանց սիմետրիայից։ Այն նաև սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրման եղանակներից մեկն է, քանի որ թույլ է տալիս որոշ դեպքերում գտնել հավասարումների համակարգի առաջին ինտեգրալը և այդպիսով նվազեցնել անհայտ ֆունկցիաների թիվը։ Օրինակ,

  • Համակարգի իմպուլսի պահպանումը բխում է տարածական տեղաշարժերի նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ Օրինակ, եթե X առանցքի երկայնքով տեղաշարժը չի փոխում հավասարումների համակարգը, ուրեմն այդ առանցքի երկայնքով   իմպուլսը պահպանվում է։
  • Իմպուլսի մոմենտի պահպանումը բխում է տարածության պտույտների նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։
  • Էներգիայի պահպանումը ժամանակի համասեռության՝ ժամանակի հաշվարկի սկիզբը կամայական ձևով տեղաշարժելու կարելիության հետևանք է։

Մասնակի ածանցյալներով հավասարումների դեպքում անհրաժեշտ է փնտրել անվերջ թվով առաջին ինտեգրալներ։ Նույնիսկ դրանք իմանալով՝ սովորաբար հեշտ չէ գտնել ընդհանուր լուծում։

Հիմնարար բնույթի շնորհիվ Նյոթերի թեորեմը կիրառվում է ֆիզիկային այնպիսի բնագավառներում, ինչպես քվանտային մեխանիկան է՝ հենց իմպուլսի, իմպուլսի մոմենտի և այլ հասկացությունները սահմանելու համար։ Հավասարումների ինվարիանտությունը որոշ սիմետրիաների նկատմամբ այդ մեծությունների միակ իսկությունն է դառնում և երաշխավորում է նրանց պահպանումը։

Դաշտի քվանտային տեսությունում Նյոթերի թեորեմի համակերպը Ուորդ-Տակահաշիի նույնաությունն է, որը թույլ է տալիս ստանալ հավելյալ պահպանման օրենքներ։ Օրինակ, էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը բխում է մասնիկի կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայի փուլի փոփոխության նկատմամբ ֆիզիկական համակարգի ինվարիանտությունից և էլեկտրամագնիսական դաշտի վեկտորական ու սկալյար պոտենցիալների համապատասխան տրամաչափավորումից։

Նյոթերի լիցքը կիրառվում է նաև ստացիոնար սև խոռոչի էնտրոպիան հաշվելու համար[2]։

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Noether E (1918)։ «Invariante Variationsprobleme»։ Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse 1918: 235–257 
  2. Calculating the entropy of stationary black holes. (անգլ.)

ԳրականությունԽմբագրել

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М, Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
  • Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М, Наука, 280 с., 1983 г.

Արտաքին հղումներԽմբագրել