Հաշվարկման վաթսունական համակարգ

Հաշվարկման վաթսունական համակարգ, 60 հիմքով դիրքային հաշվարկման համակարգ։ Հորինվել է շումերների կողմից մ․թ․ա 3-րդ հազարամյակում, օգտագործվել է հին ժամանակներում Միջին Արևելքում։

Պատմական ակնարկԽմբագրել

Վաթսունական համակարգի ծագումը հայտնի չէ։ Ըստ վարկածներից մեկի (Վեսոլովսկու), այն կապված է մատների վրա հաշվարկի հետ[1]։ Գոյություն ունի մեկ այլ վարկած (Նեյգեբաուեր, 1927)[2], ըստ որի երբ աքքադացիները գրավել են շումերական պետությունը, այնտեղ երկար ժամանակ միաժամանակ գոյություն են ունեցել երկու դրամական և կշռային միավորներ՝ շեկել և մինա, ընդ որում սահմանված էր դրանց փոխարժեքը 1 մինա = 60 շեկել։ Ավելի ուշ այս բաժանումը դարձավ սովորական և առաջացրեց ցանկացած թվի համապատասխան գրելաձև։ Վեսելովսկին դեմ արտահայտվեց այս վարկածին, նշելով որ վաթսունական հաշվարկման համակարգը շումերների մոտ գոյություն է ունեցել աքքադացիների գրավումից շատ ավելի առաջ, դեռևս մ․թ․ա․ 4-րդ հազարամյակում[3]։ Վեսելովսկու այս պնդումը վիճարկվել է այլ գիտնականների կողմից և հնագիտական գտածոների հիման վրա ապացուցվել է, որ շումերների վաղնջական (մ․թ․ա․ 4-րդ հազարամյակում) հաշվարկման համակարգը եղել է տասականը[4]։ Ֆրանսիացի պատմաբան Ժորժ Իֆրան իր «Թվերի ընդհանուր պատմություն» (1985) դասական մենագրության մեջ հիմնավորում է Վեսելովսկու տեսությանը մոտ կարծիք՝ վաթսունական համակարգը երկու ավելի հին՝ տասներկուական և հինգական, համակարգերի միաձուլումն է։ Հնագիտական պեղումները ցույց են տվել, որ այս երկու համկարգերն իսկապես օգտագործվել են, իսկ շումերական 6,7 և 9 թվերի անվանումներում հայտնաբերվել են հինգական հաշվարկման համակարգի հետքեր, հավանաբար ավելի հին[5]։

Բաբելոնական թագավորությունը նաև ժառանգել է վաթսունական համակարգը և այն ամպերի ուսումնասիրման աղյուսակների հետ միասին փոխանցել է հույն աստղագետներին։ Ավելի ուշ վաթսունական հաշվարման համկարգը օգտագործվել է արաբների կողմից, ինչպես նաև հին և միջին դարերի աստղագետների կողմից, առաջին հերթին կոտորակների ներկայացման համար։ Այս պատճառով էլ միջնադարյան գիտնականները վաթսունական հաշվարկման համակարգը հաճախ անվանում էին «աստղագիտական»։ Այս կոտորակներն օգտագործվում էին աստղագիտական կոորդինատների՝ անկյունների, գրառման համար և այս սովորույթը պահպանվել է մինչ օրս։ Մեկ աստիճանում 60 րոպե է և մեկ րոպեում 60 վայրկյան։

13-րդ դարում Փարիզյան համլսարանի ազդեցիկ ռեկտոր՝ Պյոտեր Ֆիլոմենը (նույն ինքը՝ Petrus de Dacia[6]) ելույթ է ունեցել ի օգուտ Եվրոպայում վաթսունական համակարգի լայնածավալ օգտագործման։ 15-րդ դարում համանման հայտարարությամբ հանդես է եկել նաև Վիեննայի համալսարանի մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Յոհաննես Գմունդենը։ Սակայն այս երկու նախաձեռնություններն էլ մնացել են առանց հետևանք։

Եվրոպայում 16-րդ դարից սկսած տասական համակարգը ամբողջությամբ փոխարինում է վաթսունական համկարգին։ Այժմ վաթսունական համակարգը օգտագործում են անկյունների և ժամանակի չափման ժամանակ։ Ընդ որում Եվրոպայի սահմաններից դուրս, ՉԺՀ-ում վաթսունական համակարգը երբեմն օգտագործվում է ոչ միայն վայրկյանների և րոպենորի, այլ նաև տարիների համար։ Այսպիսով ՉԺՀ-ում հայտնի Սյանդայ Խոնյուի Ցիդյան բառարանի 5-րդ հատորում (2005 թվական) կառավարիչների կառավարման տարիների աղյուսակը գրված է ինչպես տասական այնպես էլ վաթսունական համակարգի թվերին համապատասխան հիերոգլիֆներով[7]։

Վաթսունական համակարգի թվերի կառուցվածքԽմբագրել

Ստորակետից հետո առաջին վաթսունական նիշն անվանում են մինուտա (′), երկրորդը՝ սեկունդա (″)։ Ավելի վաղ երրորդ նիշի համար օգտագործվում էր տերցիա (‴) անվանումը, չորորդի համար՝ կվատրա, հինգերորդի համար կվիտա և այսպես շարունակ։ «Մինուտա» անվանումն ու «մինիմում»-ը առաջացել են նույն բառից, որ նշանակում է «փոքրագույն մասնիկ», իսկ «սեկունդան», «տերցիան» և մյուսները համարվում են հաջորդաբար «երկրորդ», «երրորդ» մասերի բաժանում և այլն։ Մասերն ավանդաբար լինում են 60-ը։

Օգտագործման օրինակներԽմբագրել

  • 1 ռադիան ≈ 57°17′45″ =  
  • Նիկոլայ Կոպեռնիկոսը իր հայտնի «Երկնային ոլորտների պտույտի մասին» աշխատությունում սահմանում է սիդերական տարին որպես 365,15′24″10‴ օր, մոտավորապես 365,25671 օր։

Բաբելոնյան հաշվարկման համակարգԽմբագրել

Բաբելոնյան հաշվարկման համակարգը կիրառվել է մ․թ․ա երկու հազար տարի առաջ։ Թվերը գրելու համար օգտագործվել է ընդամենը երկու նշան՝ կանգնած սեպ  , միավորների նշանակման համար և պարկած սեպ  , վաթսունական դիրքային համակարգում տասնյակների նշանակման համար։

Այսպիսով բաբելոնյան թվերը բաղադրյալ էին և գրվում էին ինչպես տասական դիրքայի համակարգի թերը։ Համանման սկզբունք օգտագործում էին նաև Մայաի հնդիկները իրենց տասներկուակական դիրքային հաշվարկման համակարգի համար։ Թվերի գրությունը հասկանալու համար բաբելոնյան թվերի մեջ անհրաժեշտ է «բացատներ» դնել։

   = 62,    = 122 и    = 129։

Այս համակարգը օգտագործվում էր ինչպես ամբողջ, այնպես էլ կոտորակային թվերը գրելու համար։

Սկզբում զրո չկար, ինչը բերում էր թվերի ոչ միանշանակ գրելաձևի, և նրանց արժեքը անհրաժեշտ էր գլխի ընկնել դուրս գալով կոնտեքստից։ Ավելի ուշ (մ․թ․ա 6-րդ և 3-րդ դարերի միջև) հայտնվեց «զրոն», այն նշանակվում էր՝ , բայց օգտագործվում էր միայն թվի մեջտեղում վաթսունական համակարգի դատարկ դիրքերի նշանակման համար[8][9]։ Թվերի վերջի զրոները չէին գրվում, իսկ թվերի գրությունը շարունակում էր մնալ ոչ միանշանակ։

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Ван дер Варден, 1959, Комментарии И. Н. Веселовского, стр. 437-438.
  2. Г. И. Глейзер История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
  3. Веселовский И. Н. Вавилонская математика // Труды Института истории естествознания и техники. — М.: Академия наук СССР, 1955. — В. 5. — С. 241—304..
  4. Виолант-и-Хольц, Альберт. Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике. — М.: Де Агостини, 2014. — С. 23—24. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3
  5. Торра, Бизенц. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления. — М.: Де Агостини, 2014. — С. 17—18. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 15). — ISBN 978-5-9774-0710-6
  6. Smith D. E. History of mathematics, p. 238.
  7. 现代汉语词典 (Сяньдай Ханьюй Цидянь). — 5-е изд. (2005). — Пекин: Шану иньшугуань, 2010. — С. 1837-1854. — ISBN 9787100043854. На странице 1837 приведено описание таблицы правителей и таблица соответствия номера года в шестидесятилетнем цикле его иероглифическому (два иероглифа) обозначению в словаре.
  8. Знакомство с системами счисления.
  9. Robert Kaplan The Nothing That Is: A Natural History of Zero. — Oxford University Press, 2000. — С. 12. — ISBN 0-19-512842-7

ԳրականությունԽմբագրել

  • Ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М., 1959. — 456 с.