Էվկլիդեսյան երկրաչափությունում երկու ուղիղների հատումը կարող է լինել դատարկ բազմություն, կետ կամ ուղիղ: Այդ դեպքերի տարբերությունը և հատման կետի որոնումը օգտագործվում է, օրինակ համակարգչային գրաֆիկայում, շարժման պլանավորման և բախման հայտնաբերման ժամանակ:

Ուղիղների հատում

Եռաչափ էվկլիդյան երկրաչափության մեջ, եթե երկու ուղիղները չեն գտնվում միևնույն հարթության մեջ, կոչվում են խաչվող ուղիղներ և հատման կետեր չունեն: Եթե ուղիղները գտնվում են միևնույն հարթության մեջ, հնարավոր է երեք դեպք: Եթե նրանք համընկնում են, անսահման ունեն անվերջ շատ ընդհանուր կետեր (հենց այդ ուղիղների բոլոր կետերը): Եթե ուղիղները տարբեր են, բայց ունեն նույն թեքությունը, ապա նրանք զուգահեռ են և ընդհանուր կետեր չունեն: Հակառակ դեպքում նրանք ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

Ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափությունում երկու ուղիղներ կարող են հատվել մի քանի կետերում և տվյալ ուղղի հետ չհատվող (զուգահեռ) ուղիղների թիվը կարող է լինել մեկից շատ:

Երկու ուղիղների հատումԽմբագրել

Երկու ուղիղների հատման անհրաժեշտ պայաման է հանդիսանում նրանց մեկ հարթության պատկանելը, այսինքն այդ ուղիղները չպիտի խաչվող լինեն: Այս պայմանի տեղի ունենալը համարժեք է տետրաեդրի այլափոխմանը, որի երկու գագաթներըն ընկած են մի ուղղի վրա, իսկ հաջորդ երկուսը՝ հաջորդի (այսինքն, այդ տետրաեդրի ծավալը հավասար է 0-ի):

Եթե յուրաքանչյուր ուղղի վրա տրված է երկու կետԽմբագրել

Դիտարկենք   և   երկու ուղիղների հատումը հարթության վրա, որտեղна   ուղիղը որոշված է երկու՝   և   տարբեր կետերով, իսկ   ուղիղը՝   և   տարբեր կետերով[1]:

  և   ուղիղների   հատման կետը կարելի է գտնել որոշչի օնությամբ:

 

Որոշիչը կարելի է արտագրել

 

տեսքով:

Նկատենք, որ հատման կետը վերաբերվում է անվերջ ուղիղներին, այլ ոչ թե երկու կետերի միջև հատվածին, և այն կարող է ընկած լինել հատվածներից դուրս: Եթե (մեկ քայլով գտնելու փոխարեն) լուծումը որոնել Բեզեի առաջին կարգի կորերի տերմինաբանությամբ, ապա կարելի է ստուգել այդ կորերի պարամետրերը 0.0 ≤ t ≤ 1.0 и 0.0 ≤ u ≤ 1.0 (t և u-ն պարամետրեր են):

Եթե երկու ուղիղներ զուգահեռ են կամ համընկնում են, հայտարարը վերածվում է զրոյի.

 

Եթե ուղիղները շատ մոտ են զուգահեռության (գրեթե զուգահեռ են), համակարգչում հաշվարկման ժամանակկարող են ի հայտ գալ թվային խնդիրներ և այդպիսի պայմանի ճանաչումը կիրառման համար կարող է պահանջել «անորոշության» համապատախան թեստ:

Եթե տրված են ուղիղների հավասարումներըԽմբագրել

Երկու ոչ ուղղահայաց ուղեղների հատման կետի   և   կոորդինատները կարելի է հեշտությամբ գտնել հետևյալ ներկայացումների և ձևափոխությունների օգնությամբ:

Ենթադրենք, որ երկու ուղիղներն ունեն   և  , հավասարումները, որտեղ   և   -ն ուղիղների անկյունային գործակիցներն են, իսկ   և   -ն՝ ուղիղների հատումները y առանցքի հետ: Ուղիղների հատման կետում (եթե նրանք հատվում են), երկու   կոորդինատները կհամընկնեն, որտեղից ստանում ենք

 

հավասարությունը:

  դուրս բերելու համար մենք այս հավասարությունը կարող ենք ձևափոխել՝

 ,

այստեղից էլ՝

 :

Որպեսզի գտնենք y կոորդինատը, x-ի արժեքը տեղադրենք ուղիղների բանաձևերից մեկի մեջ, օրինակ՝ առաջինի.

 :

Այստեղից ստանում ենք ուղիղների հատման կետը.

 :

Նկատենք, որ a = b դեպքում երկու ուղիղները զուգահեռ են: Եթե այդ դեպքում cd, ուղիղները տերբեր են և չունեն հատման կետ, հակառակ դեպքում ուղիղները համընկնում են[2]:

Համասեռ կոորդինատների օգտագործումԽմբագրել

Համասեռ կոորդինատների օգտագործման ժամանակ երկու հստակ տրված ուղիղների հատման կետը կարող է գտնվել հեշտությամբ: Երկչափ տարածությունում յուրաքանչյուր կետ կարող է որոշվել որպես   եռաչափ կետի պրոյեկցիա: Եռաչափ կոորդինատների արտապատկերումը երկչափի տեղի է ունենում   բանաձևով: Երրորդ կոորդինատը միավորի հավասարեցնելով մենք կարող ենք երկչափ տարածությունում կետերը ձևափոխել համասեռ կոորդինատների՝  :

Ենթադրենք, որ մենք ուզում ենք գտնել երկու անվերջ ուղիղների հատումը երկչափ տարածությունում, որոնք տրված են   և   բանաձևերով: Այդ երկու ուղիղները մենք կարող ենք ներկայացնել գծային կոորդինատներով՝   և  :

Երկու ուղիղների   հատումն այդ դեպքում պարզապես տրվում է հետևյալ բանաձևերով[3].

 

Եթե  , ուղիղները չեն հատվում:

n ուղիղների հատումԽմբագրել

Հատման գոյությունն ու արտահայտությունըԽմբագրել

Երկչափ տարածությունումԽմբագրել

Երկչափ տարածությունում երկուսից ավել ուղիղները գրեթե ճշգրիտ չեն հատվում մեկ կետում: Որպեսզի որոշենք, թե հատվում են նրանք արդյոք մի կետում, և, եթե հատվում են, որպեսզի գտնենք հատման կետը i-րդ հավասարումը (i = 1, ...,n) գրենք որպես   և այդ հավասարումները կցակազմենք մատրիցային տեսքով՝

 

որտեղ n × 2 չափի A մատրիցի i-րդ տողը հավասար է  , w-ն հանդիսանում է (x, y)T -ի 2 × 1 վեկտորը, իսկ b սյունակ-վեկտրի i-րդ անդամը հավասար է bi : Եթե A մատրիցի սյունակներն անկախ են, ապա մատրիցի ռանգը հավասար է 2: Այն և միայն այն դեպքում, երբ [A | b ] ընդլայնված մատրիցի ռանգը ևս 2 է, գոյություն ունի մատրիցային հավասարմամբ լուծում, այդ դեպքում գոյություն ունի նաև n ուղիղների հատման կետը: Հատման կետը, եթե այդպիսին գոյություն ունի, տրվում է

 

բանաձևով, որտեղ    մատրիցի կեղծ հակադարձ մատրիցան է: Այլընտրանքային լուծումը կարող է գտնվել կամայական երկու անկախ հավասարումների լուծման ճանապարհով: Բայց, եթե A մատրիցի ռանգը հավասար է 1, իսկ ընդլայնված մատրիցի ռանգը հավասար է 2, լուծում չունի: Իսկ, երբ ընդլայնված մատրիցի ռանգը հավասար է 1, ապա բոլոր ուղիղները համընկնում են:

Եռաչափ տարածությունումԽմբագրել

Վերևում ներկայացված մոտեցումը հյեշտությամբ տարածվում է նաև եռաչափ տարածության վրա: Եռաչափ և ավելի բարձր չափողականությամբ տարածություններում նույնիսկ երկու ուղիղները հավանաբար չեն հատվում: Ոչ զուգահեռ և չհատվող ուղիղների զույգը կոչվում է խաչվող: Բայց, երբ հատումը գոյություն ունի, այն կարելի է գտնել հետևյալ կերպ:

Եռաչափ տարածությունում ուղիղը ներկայացվում է երկու հարթությունների հատմամբ, որոնցից յուրաքանչյուրը տրվում է   բանաձևով: Այդ դեպքում n ուղիղների բազմությունը կարող է ներկայացվել 2n հավասարումների տեսքով՝ w = (x, y, z)T եռաչափ կոորդինատային վեկտրներից

 ,

որտեղ A -ն՝ 2n × 3 չափի մատրից է, իսկ b-ն՝ 2n × 1: Ինչպես և առաջ, հատման միակ կետը գոյություն ունի այն և միայն այն դեպքում, երբ A մատրիցն ունի ըստ սյուների լրիվ ռանգ, իսկ մատրիցի [A | b ] ընդլայնումը այդպիսին չի հանդիսանում: Հատման միակ կետը, եթե գոյություն ունի, տրվում է

 

բանաձևով:

Չհատվող ուղիղներին մոտ կետԽմբագրել

Երկու և ավելի չափողականությամբ տարածություններում կարելի է գտնել կետ, որը մոտ է հանդիսանում այդ երկու (կամ ավել) ուղիղներին քառակուսիների գումարի ամենափոքր իմաստով:

Երկչափ տարածությունումԽմբագրել

Երկչափ տարածության դեպքում i ուղիղը ներկայացնենք որպես ուղղի վրա   կետ և ուղղին ուղղահայաց   միավոր նորմալը: Այսինքն, եթե  -ը և  -ը 1 ուղղի կետեր են, ապա թող   և

 ,

որը հանդիսանում է ուղղի երկայնքով միավոր վեկտոր, շրջած 90º-ով:

Նկատենք, որ հեռավորությունը x կետից մինչև   ուղիղը տրվում է հետևյալ բանաձևով.

 

Հետևաբար, x-ից մինչև ուղիղ հեռավորության քառակուսին հավասար է

 

Մինչև ուղիղների խումբը հեռավորության քառակուսիների գումարը հանդիասանում է օբյեկտիվ ֆունկցիա.

 

Արտահայտությունը կարելի է ձևափոխել.

 

Մինիմումը գտնելու համար ածանցում ենք ըստ x-ի և արդյունքը հավասարեցնում զրոյի.

 

Այսպիսով,

 ,

որտեղից

 

Եռաչափ տարածությունումԽմբագրել

Չնայած, երկուսից բարձր չափողականությամբ տարածություններում   նորմալները չեն կարող որոշվել, դա կարելի է ընդհանրացնել ցանկացած չափողականության տարածության հետ, եթե նշենք, որ   հանդիսանում է պարզապես (համաչափ) մատրիցա իր բոլոր սեփական միավորի հավասար նշանակություններով, բացառապես ուղղի երկայնքով զրոյական սեփական նշանակության, ինչը տալիս է   կետի և մեկ այլ կետի միջև կիսանորմ: Կամայական չափողականությամբ տարածության մեջ,  -ն հանդիսանում է միավոր վեկտոր i-րդ ուղղի երկայնքով, ապա

 -ն վերածվում է  ,

որտեղ E -ն միավոր մատրից է, հետևաբար.

 

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. «Weisstein, Eric W. "Line-Line Intersection." From MathWorld»։ A Wolfram Web Resource։ Վերցված է 2008-01-10 
  2. Похожие выкладки можно найти в книге Делоне и Райкова (стр. 202-203)
  3. «Homogeneous coordinates»։ robotics.stanford.edu։ Վերցված է 2015-08-18 

ԳրականությունԽմբագրել

  • Б. Н. Делоне, Д. А. Райков Аналитическая геометрия. — М., Л.: ОГИЗ, Государственнон издательство технико-теоретической литературы, 1948. — Т. 1.

Արտաքին հղումներԽմբագրել