Որոշիչ (մաթեմատիկա)

Գծային հանրահաշվում որոշիչը (կամ դետերմինանտը) սկալյար մեծություն է, որը կարող է հաշվվել և դրվել միանշանակ համապատասխանության ցանկացած քառակուսի մատրիցի։ $A$ մատրիցի որոշիչը նշանակվում է հետևյալ ձևերով՝ $\det(A)$, $|A|$ կամ $\Delta (A)$։

$n\times n$ չափի $A$ քառակուսի մատրիցի որոշիչը, տրված $R$ կոմուտատիվ օղակի վրա, հանդիսանում է $R$ օղակի էլեմենտ, որը հաշվվում է ներքևում բերված բանաձևով։

Այն «որոշում է» $A$ մատրիցի հատկությունը։ Մասնավորապես, $A$ մատրիցը հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա որոշիչը հանդիսանում է $R$ օղակի շրջելի տարր։

Այն դեպքում, երբ $R$-ը դաշտ է, $A$ մատրիցի որոշիչը հավասար է զրոյի այն և միայն այն դեպքում, երբ $A$ մատրիցայի ռանգը փոքր է $n$-ից կամ, եթե $A$ մատրիցի տողերի և սյուների համակարգը հանդիսանում է գծային կախված։

Պատմությունը

Որոշիչների տեսությունն առաջացել է գծային հավասարումների համակարգի լուծման հետ կապված։

Որոշիչի հասկացությանն առավել մոտեցել են հին չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքերում» դասագրքերի հեղինակները։

Եվրոպայում 2×2 մատրիցի որոշիչը հանդիպում է XVI դարում Կարդանոյի մոտ։ Ավելի բարձր չափերի համար Լեյբնիցը այն սահմանել է 1693 թվականին։ Առաջին հրապարակումը պատկանում է Կրամերին։ Որոշիչների տեսությունը ստեղծվել է Վանդերմոնդի, Լապլասի, Կոշիի և Յակոբիի կողմից։ Առաջին անգամ «որոշիչ» տերմինը հանդիպում է Գաուսի մոտ։

Ճապոնացի մաթեմատիկոս Սեկի Տակակաձուն որոշիչը օգտագործեց անկախ 1683 թվականին։

Սահմանումը

Վերադասավորման միջոցով

$n\times n$ չափի $A=(a_{ij})$ քառակուսի մատրիցի համար նրա $\det A$ որոշիչը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝

$\det A=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}(-1)^{N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}\cdot a_{1\alpha _{1}}a_{2\alpha _{2}}\dots a_{n\alpha _{n}}$,

որտեղ գումարումը կատարվում է բոլոր $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ թվերի $1,2,\dots ,n$ վերադասավորումներով, իսկ $N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$ նշանակում է ինվերսիաների թիվը $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ վերադասավորումներում։

Այսպիսով, որոշիչում մտնում են $n!$ գումարելիներ, որոնք անվանվում են նաև «որոշիչի անդամներ»։

Համարժեք բանաձևը՝

$\det A=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\cdot a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}\dots a_{ni_{n}}$,

որտեղ $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$ գործակիցները (Լևի-Չիվի սիմվոլներ) հավասար են՝

0, եթե ոչ բոլոր $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}$ ինդեքսներն են տարբեր,

1, եթե բոլոր $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}$ ինդեքսները տարբեր են և ${\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i_{1}&i_{2}&\dots &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}$ վերադասավորումները զույգ են,

−1, եթե բոլոր $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}$ ինդեքսները տարբեր են և ${\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i_{1}&i_{2}&\dots &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}$ վերադասավորումները կենտ են։

Ասիմպտոտիկ կառուցում (հատկությունների հիման վրա որոշում)

Որոշիչի հասկացությունը կարող է ներդրվել իր հատկության հիման վրա։ Մասնավորապես, իրական մատրիցի որոշիչ կոչվում է $\det :\mathbb {R} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {R}$ ֆունկցիան, որը բավարարում է երեք պայմանների՝

1. $\det(A)$ — $A$ մատրիցի տողերի (սյուների) կոսոսիմետրիկ ֆունկցիա,
2. $\det(A)$ — $A$ մատրիցի տողերի (սյուների) պոլիգծային ֆունկցիա,
3. $\det(E)=1$, որտեղ $E$-ն $n\times n$ չափի միավոր մատրից է։

Մատրիցի որոշիչի արժեքը

Առաջին կարգի մատրիցի դետերմինանտի արժեքը հավասար է այդ մաատրիցի միակ էլեմենտին՝

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}$

2 x 2 մատրից

2×2 մատրիցի որոշիչի հաշվարկի սխեման

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է մատրիցի որոշիչի մոդուլին, որը ձևավորվում է զուգահեռագծի կողմերի վեկտորներով

$2\times 2$ մատրիցի համար որոշիչը հաշվվում է հետևյալ ձևով՝

$\Delta ={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$

Այս $A$ մատրիցը կարող է դիտարկվել ինչպես գծային արտապատկերման մատրից՝ ձևափոխված միավոր քառակուսուց (0, 0), (a, b), (a + c, b + d) և (c, d) գագաթներով զուգահեռագծից։

$|ad-bc|$ որոշիչի բացարձակ արժեքը հավասար է այդ զուգահեռակողմի մակերեսին, և, այսպիսով, ցույց է տալիս գործակիցը, որի վրա մասշտաբայնացվում է մակերեսը $A$-ի փոխակերպման դեպքում։

Որոշիչի նշանով արժեքը (զուգահեռագծի «օրենտավորված մակերես») գործակցից բացի նույնպես ցույց է տալիս մասշտաբայնացումը, այն կատարում է $A$-ի փոխակերպման արտապատկերում։

3 x 3 մատրից

$3\times 3$ մատրիցի որոշիչը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}=$

$=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$

Երրորդ կարգի որոշչի հարմար հաշվարկի համար կարելի է օգտվել Սարյուսի կանոնից կամ եռանկյան կանոնից։

Մատրիցի որոշիչը, որը կազմված է $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ վեկտորներից, հավասար է աջ դեկարտյան կոորդինատների համակարգի խառը արտադրյալին։ Նմանապես երկչափ դեպքում, այդ մատրիցի որոշիչը հավասար է զուգահեռակողմի օրենտավորված ծավալին, ձգված $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$-ով։

N × N մատրից

Ընհանուր դեպքում, $n\times n$ կարգի մատրիցի համար (2-րդ կարգից մեծ) որոշիչը կարելի է հաշվել, կիրառելով ռեկուրսիայի հետևյալ բանաձևը՝

$\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}$, որտեղ ${\bar {M}}_{j}^{1}$-ն $a_{1j}$ տարրի լրացուցիչ մինորն է։ Այս բանաձևը կոչվում է տրոհում ըստ տողերի։

Դժվար չէ ապացուցել, որ մատրիցի տրանսպոնացման դեպքում նրա որոշիչը չի փոխվում (այլ կերպ ասած, նմանատիպ տրոհումը ըստ առաջին սյան նույնպես ճշմարիտ է, այսինքն, տալիս է նույն արդյունքը, ինչպես նաև ըստ տողի նրա տրոհումը)՝

$\Delta =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}$։

Ապացույց  

դիցուք ${\tilde {\Delta }}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}$։

Ինդուկցիայի մեթոդով ապացուցենք, որ ${\tilde {\Delta }}=\Delta$։ Հեշտ է տեսնել, որ $2\times 2$ մատրիցի համար այն ճիշտ է՝

${\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=\Delta _{2}$

Ենթադրենք, որ $n-1$ կարգի մատրիցի համար ${\tilde {\Delta }}_{n-1}=\Delta _{n-1}$ այն ճշմարիտ է։

${\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\sum _{j=2}^{n}(-1)^{j}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{i1}=$

$=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=2}^{n}(-1)^{i+j+1}a_{i1}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{i1}$

${\Delta _{n}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}=$

$=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+j+1}a_{1j}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}={\tilde {\Delta _{n}}}$

Նույնպես ճշմարիտ է նմանատիպ տրոհումը ցանկացած տողի (սյան) համար՝

$\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}$։

Ապացույց  

դիցուք ${\tilde {\Delta }}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}$.

Ինդուկցիայի մեթոդով ապացուցենք, որ ${\tilde {\Delta }}=\Delta$։ Հեշտ է տեսնել, որ $2\times 2$ մատրիցի համար այն ճիշտ է՝

${\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}=-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11}=\Delta _{2}$

Ենթադրենք, որ $n-1$ կարգի մատրիցի համար ${\tilde {\Delta }}_{n-1}=\Delta _{n-1}$ ճշմարիտ է։

${\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\left(\sum _{k<j}(-1)^{1+k}a_{1k}{\bar {M}}_{jk}^{i1}+\sum _{k>j}(-1)^{k}a_{1k}{\bar {M}}_{jk}^{i1}\right)$

Գործակիցները ${\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}$-ի համար՝

$j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}}a_{1j_{0}}=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}(a_{ij_{0}}a_{1k_{0}}-a_{ik_{0}}a_{1j_{0}})=$

$=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}$

$j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{k_{0}}a_{1k_{0}}+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}+1}a_{1j_{0}}=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}(a_{ik_{0}}a_{1j_{0}}-a_{ij_{0}}a_{1k_{0}})=$

$=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}$

${\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M}}_{jk}^{1i}$

$\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\left(\sum _{k<j}(-1)^{i+k-1}a_{ik}{\bar {M}}_{jk}^{1i}+\sum _{k>j}(-1)^{i+k-2}a_{ik}{\bar {M}}_{jk}^{1i}\right)$

Գործակիցները ${\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}$-ի համար՝

$j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-1}a_{ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-2}a_{ij_{0}}=(-1)^{j_{0}+i+k_{0}}(a_{1j_{0}}a_{ik_{0}}-a_{1k_{0}}a_{ij_{0}})=$

$=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}$

$j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-2}a_{ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-1}a_{ij_{0}}=(-1)^{k_{0}+i+j_{0}}(a_{1k_{0}}a_{ij_{0}}-a_{1j_{0}}a_{ik_{0}})=$

$=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}$

${\Delta _{n}}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M}}_{jk}^{1i}={\tilde {\Delta _{n}}}$

Վերը նշված բանաձևերի ընդհանրացումը հանդիսանում է դետերմինանտի տրոհումը ըստ Լապլասի (Լապլասի թեորեմը), որը հնարավորություն է տալիս հաշվել որոշիչը ցանկացած $k$ տողով (սյունով)՝

$\Delta =\sum _{1\leqslant j_{1}<\ldots <j_{k}\leqslant n}(-1)^{i_{1}+\ldots +i_{k}+j_{1}+\ldots +j_{k}}M_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{k}}{\bar {M}}_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{k}}$։

Հաշվարկի այլընտրանքային մեթոդներ

• Ջոնսոնի կոնդենսացիայի մեթոդ, որը հիմնված է ռեկուրսիվ բանաձևի վրա՝

$\det(M)={\frac {\det(M_{1}^{1})\det(M_{k}^{k})-\det(M_{1}^{k})\det(M_{k}^{1})}{\det(M_{1,k}^{1,k})}},$ որտեղ $M_{1}^{1},M_{k}^{k},M_{1}^{k},M_{k}^{1},M_{1,k}^{1,k}$ մատրիցներ են, որոնք ստացվում են հիմնական մատրիցից համապատասխան տեղերի և սյուների ջնջման միջոցով։

Որոշիչի հիմնական հատկությունները

Այս հատկությունները արտացոլում են որոշիչների տեսության հիմնական արդյունքները, որոնց կիրառությունը դուրս է գալիս այս տեսության սահմաններից՝

1. $\det E=1$ (միավոր մատրիցի որոշիչը հավասար է 1-ի);
2. $\det cA=c^{n}\det A$ ($n$ չափի մատրիցների տարածության վրա որոշիչը հանդիսանում է $n$ աստիճանի միատար ֆունկցիա);
3. $\det A^{T}=\det A$ (Մատրիցի որոշիչը չի փոխվում նրա տրանսպոնացման դեպքում);
4. $\det(AB)=\det A\cdot \det B$ (Մատրիցների արտադրյալի որոշիչը հավասար է նրանց որոշիչների արտադրյալին, $A$ և $B$ մատրիցները նույն կարգի քառակուսային մատրիցներ են);
5. $\det A^{-1}=(\det A)^{-1}$, ընդ որում $A$ մատրիցը հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ հակադարձելի է նրա $\det A$ որոշիչը;
6. Գոյություն ունի $AX=0$ հավասարման ոչզրոյական լուծում այն և միայն այն դեպքում, երբ $\det A=0$ (կամ էլ $\det A$-ը պետք է լինի ոչհասարակ զրոյի բաժանարար այն դեպքում, երբ $R$-ը ոչամբողջական օղակ է)։

Որոշիչը որպես տողերի (սյուների) մատրիցի ֆունկցիա

Որոշիչների տեսությունը ուսումնասիրելիս օգտակար է հաշվի առնել, որ այդ տեսության հիմքում ընկած է մատրիցի տողերով և սյուներով մանիպուլիացիան՝ մշակված Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսի (Գաուսի ձևափոխում) կողմից։ Այդ ձևափոխությունների էությունը տանում է մատրիցների տողերի (սյուների) և նրանց տեղափոխությունների վրա գծային գործողությունների։ Այդ ձևափոխությունները բավականին պարզ ձևով արտացոլվում են որոշիչի վրա և նրանց ուսումնասիրությունը հարմար է սկզբնական մատրիցը «մասնատել» տողերի (կամ սյուների) և ընդունել որոշիչը որպես ֆունկցիա, որոշված տողերի (սյուների) հավաքածուի վրա։ Հետագայում ${\hat {A}}_{i}$ տառերով նշանակվում են $A$ մատրիցի տողերը (սյուները)։

1. Որոշիչ - մատրիցի տողերի (սյուների) բազմագծային ֆունկցիա։

Բազմագծայնությունը նշանակում է յուրաքանչյուր արգումենտով ֆունկցիայի գծայնություն մյուս արգումենտների ֆիկսած արժեքների դեպքում՝

$\det({\hat {A}}_{1},\ldots ,\alpha {\hat {A}}_{i}+\beta {\hat {A'}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})=\alpha \det({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})+\beta \det({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A'}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})$

2. Որոշիչ - մատրիցի տողերի (սյուների) կոսիմետրիկ ֆունկցիա, այսինքն, մատրիցի երկու տողերի (սյուների) տեղափոխման արդյունքում նրա որոշիչը բազմապատկվում է −1-ով։

$\det(\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{j},\ldots )=-\det(\ldots ,{\hat {A}}_{j},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots )$

3. Եթե մատրիցի երկու տողեր (սյուներ) համընկնում են, ապա նրա որոշիչը հավասար է զրոյի՝

${\hat {A}}_{i}={\hat {A}}_{j}\Longrightarrow \det(\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{j},\ldots )=0$

Ուշադրություն։ 1-3 հատկությունները հանդիսանում են որոշիչի հիմնական հատկություններ որպես տողերի (սյուների) ֆունկցիա, որոնք հեշտ է ապացուցել անմիջապես իրենց սահմանումներից։ 2-րդ հատկությունը (կոսիմետրիկությունը) հանդիսանում է 1-ին և 3-րդ հատկությունների տրամաբանական հետևանքը։ 3-րդ հատկությունը հանդիսանում է 2-րդ հատկության տրամաբանական հետևանքը, եթե $R$ օղակում 2-րդ տարրը (այսինքն, 1 + 1) չի համընկնում զրոյին և չի հանդիսանում զրոյի բաժանարար։ 1-ին և 3-րդ հատկություններից հետևում են նաև այսպիսի հատկություններ՝

4. Որոշիչի ինչ-որ տողի (սյան) էլեմենտների ընդհանուր արտադրիչը կարելի է դուրս բերել որպես որոշիչի նշան (1-ին հատկության հետևանք)։

5. Եթե մատրիցի գոնե մի տող (սյուն) զրոյական է, ապա որոշիչը հավասար է զրոյի (4-րդ հատկության հետևանք)։

6. Եթե մատրիցի երկու (կամ ավելի) տողեր (սյուներ) գծային կախված, ապա նրա որոշիչըհավասար է զրոյի (1-ին և 3-րդ հատկությունների հետևանք)։

7. Ցանկացած տողին (սյանը) այլ տողի (սյան) գծային կոմբինացիայի ավելացման դեպքում որոշիչի արժեքը չի փոխվում (1-ին և 6-րդ հատկությունների հետևանք)։

Փաստը, որն ունի հիմնարար նշանակություն, հանդիսանում է որոշիչի ունիվերսալությունը որպես ամբողջական ռանգի բազմագծային կոսիմետրիկ ֆունկցիա, որի արգումենտները հանդիսանում են $V$ (կամ վերջավոր բազիսով $V$-ի $R$ մոդուլը) վեկտորային տարածության տարրեր։ Ճշմարիտ է հետևյալը՝

Թեորեմ։ դիցուք $V$-ն $n$-րդ կարգի ազատ $R$ մոդուլն է ($n$-նիշային վեկտորային տարածություն $R$-ի վրա, եթե $R$-ը դաշտ է)։ դիցուք $\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$-ը $R$-նիշային ֆունկցիա է $V^{n}$-ի վրա, որը բավարարում է 1-ից 3-րդ հատկություններին։ Այդ դեպքում $V$ տարածության $E_{1},E_{2},\dots ,E_{n}$ բազիսի ընտրության դեպքում գոյություն ունի այնպիսի $c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})$ հաստատուն, որ ցանկացած $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ արժեքների դեպքում ճշմատրտ է հավասարությունը՝

$\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})$,

որտեղ ${\hat {X}}_{i}$-ը $X_{i}$ վեկտորի սյան կոորդինատն է $E_{1},E_{2},\dots ,E_{n}$ բազիսի նկատմամբ։

Ապացույց  

$X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ վեկտորները տրոհենք ըստ $E_{1},E_{2},\dots ,E_{n}$: $X_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{ij}E_{j}$ բազիսների։ Այդ դեպքում նրանց կհամապատասխանի հետևյալ ${\hat {X}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{ij}{\hat {E}}_{j}$ սյունները։

Հաշվի առնելով $\varphi$ ֆունկցիայի բազմագծայնությունը $\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\varphi (\sum _{i_{1}=1}^{n}x_{1i_{1}}E_{i_{1}},\sum _{i_{2}=1}^{n}x_{2i_{2}}E_{i_{2}},\dots ,\sum _{i_{n}=1}^{n}x_{ni_{n}}E_{i_{n}})=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}=1}^{n}\varphi (E_{i_{1}},E_{i_{2}},\dots ,E_{i_{n}})\cdot x_{1i_{1}}x_{2i_{2}}\dots x_{ni_{n}}$։

Համաձայն 3-րդ հատկության, եթե $i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}$ ինդեկսներում կան համընկնողներ, ապա

$\varphi (E_{i_{1}},E_{i_{2}},\dots ,E_{i_{n}})=0$։

Հակառակ դեպքում, կոսիմետրիկության պատճառով (հատկություն 2), կստացվի՝

$\varphi (E_{i_{1}},E_{i_{2}},\dots ,E_{i_{n}})=\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})$։

Այսպիսով, $\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})$, որտեղ $c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})$։

Որոշիչ և կողմնորոշված ծավալ

դիցուք ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ երեք վեկտորներ են $\mathbb {R} ^{3}$ տարածությունում։ Նրանք ձևավորում են զուգահեռանիստ, որի գագաթները գտնվում են ${\vec {0}},{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}},{\vec {c}}+{\vec {a}},{\vec {b}}+{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}$ շառավիղ-վեկտորների կետերիում։ Այդ զուգահեռանիստը կարող է ձևավորվել, եթե ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ վեկտորները կոմպլանար են (գտնվում են մի հարթության վրա, գծային կախված են)։

${\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ օրենտավորված ծավալի ֆունկցիան որոշվում է որպես զուգահեռանիստի ծավալ, ձևավորված այդ վեկտորներով, և վերցված են «+» նշանով, եթե $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ վեկտորների եռյակը դրական է օրենտացված, և «-» նշանով, եթե այն օրենտացված է բացասական։

${\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ ֆունկցիան բազմագծային է և կոսիմետրիկ։ Ակնհայտ է, որ 3-րդ հատկությունը կատարված է։ Այս ֆունկցիայի բազմագծայնությունը ապացուցելու համար բավական է ապացուցել նրա գծայնությունն ըստ ${\vec {a}}$ վեկտորի։ Եթե ${\vec {b}},{\vec {c}}$ վեկտորը գծային կախված է, ${\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$-ի արժեքը կլինի զրոյական, անկախ ${\vec {a}}$ վեկտորից, և նշանակում է, նրանից գծային կախված է։ Եթե ${\vec {b}},{\vec {c}}$ վեկտորը գծային կախված է, նշանակենք ${\vec {n}}$-ով միավոր նոմինալ վեկտորը ${\vec {b}},{\vec {c}}$ վեկտորների հարթության վրա այնպիսին, որ ${\rm {Vol}}({\vec {n}},{\vec {b}},{\vec {c}})>0$։ Այդ դեպքում զուգահեռանիստի օրիենտավորված ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի, որը կազմված է ${\vec {b}},{\vec {c}}$ վեկտորներով, և ${\vec {a}}$ վեկտորից չկախված և ${\vec {a}}$ վեկտորի պրոյեկցիայի հիմքի նորմալի հանրահաշվական մեծության, որը հավասար է $\langle {\vec {a}},{\vec {n}}\rangle$ սկալյար մեծությունների արտադրյալին և հանդիսանում է մեծություն, որը գծային կախված է ${\vec {a}}$ վեկտորին։ Ըստ ${\vec {a}}$-ի գծայնությունը ապացուցված է, և նմանատիպ ձևով ապացուցվում է մնացած արգումենտներով գծայնույունը։

Կիրառելով որոշիչի որոշիչի ունիվերսալության թեորեմը որպես կոսիմետրիկ բազմագծային ֆունկցիա, կստանանք, որ $\mathbb {R} ^{3}$ տարածության $({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})$ օրթոնորմավորված բազիսի ընտրության դեպքում՝

${\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})={\rm {Vol}}({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}$,

որտեղ $a_{i},b_{i},c_{i}$-ը $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ վեկտորի կոորդինատներն են ընտրված բազիսում։

Այսպիսով, վեկտորների գործակիցների մատրիցայի որոշիչը ըստ օրթոնորմավորված բազիսի ունի զուգահեռանիստի օրենտավորված ծավալի իմաստ, կառուցված այդ վեկտորներով։

Վերոնշյալները առանց էական փոփոխության տեղափոխվում է կամայական չափի $\mathbb {R} ^{n}$ տարածության վրա։