Ծավալ

Ծավալ, մարմնի կամ նյութի զբաղեցրած տարածության քանակական բնութագիրը, երկրաչափական մարմինը բնորոշող հիմնական հասկացություններից։

Չափիչ բաժակ, որի օգնությամբ կարելի է հեղուկ չափել

Ծավալի հաշվումը

Ծավալի միավոր է համարվում միավոր կողով խորանարդի ծավալը։ Պարզագույն դեպքում մարմնի ծավալը հաշվվում է իր պարունակած միավոր խորանարդների քանակով։ Ավելի բարդ դեպքերում մարմնի ծավալը հաշվում են հետևյալ կերպ. A մարմինն ու իր շրջակայքը փոխուղղահայաց հարթություններով տրոհում են a երկարության կող ունեցող խորանարդների։ V (a)-ով նշանակենք բոլոր այն խորանարդների ծավալների գումարը, որոնք ամբողջությամբ ընդգրկված են A-ի մեջ, իսկ W (a)-ով՝ բոլոր այն խորանարդներինը, որոնք A-ի հետ ունեն գոնե մեկ ընդհանուր կետ։ a-ն փոքրացնելիս V (a)-ն աճում է, իսկ W (a)-ն՝ նվազում, ընդ որում՝ միշտ V(a)≤W(a)։ V (a)-ն և W (a)-ն ունեն նույն սահմանը (երբ a-ն ձգտում է 0-ի), որը և կոչվում է A մարմնի ծավալ։

Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատների համակարգում A մարմնի ծավալը հաշվվում է

$V=\iiint \limits _{A}dxdydz$ և

$V=\int \limits _{Z_{1}}^{Z_{2}}S(z)dz$ բանաձևերով, որտեղ առաջին ինտեգրալը տարածված է A մարմնով, իսկ երկրորդը՝ A-ի՝ Z առանցքի վրա ունեցած պրոյեկցիայով։

Ընդհանուր աֆինական կոորդինատական համակարգում ծավալը հաշվվում է

$V=\iiint \limits _{A}{\sqrt {g}}\ dx_{1}dx_{2}dx_{3}$ բանաձևով, որտեղ $g$-ն $ds^{2}=g_{ij}dx^{1}dx^{j}$ հիմնական քառակուսային ձևի դիսկրիմինանտն է։

Ընդհանրացնելով այս բանաձևը՝ մուծվում է ո-չափանի ծավալի հասկացությունը.

$V=\underbrace {\int \int \dots \int } _{n\ {\text{հատ}}}{\sqrt {g}}\ dx_{1}\dots dx_{n}$

Չափի միավորները

Երկարության յուրաքանչյուր միավորից ստացվում է ծավալի համապատասխան միավոր, որն իրենից ներկայացնում է այդ միավորով կողով խորանարդ։ Օրինակ, խորանարդ սանտիմետրը (սմ³) կլինի այն խորանարդի ծավալը, որի կողերն ունեն 1 սմ երկարություն։
Չափերի միավորների SI միջազգային համակարգում ծավալի հիմնական միավորն է խորանարդ մետրը (մ³)։ Մետրական համակարգի մեջ է մտնում նաև լիտրը (Լ), որպես հեղուկների և սորուն նյութերի ծավալի միավոր։ Լիտրը 10 սանտիմետրանոց խորանարդի ծավալն է՝

1 լիտր=(10սմ)³=1000 խորանարդ սանտիմետր=0.001 խորանարդ մետր,

հետևաբար՝

1 խորանարդ մետր=1000 լիտր

Փոքր քանակի հեղուկների ծավալները հաճախ չափվում են միլիլիտրերով՝

1 միլիլիտր=0.001 լիտր=1 խորանարդ սանտիմետր։

Կան նաև ծավալի այլ ավանդական չափի միավորներ՝ թեյի գդալ, ճաշի գդալ, փինթ, գալոն, բարել, բուշել և այլն։

Երկրաչափական մարմինների ծավալների բանաձևեր

Խորանարդ	$a^{3}\;$ որտեղ $a$-ն կողի երկարությունն է։ _____________________________________________________________
Գլան	$\pi r^{2}h\;$ որտեղ $r$-ը հիմքի շառավիղն է, $h$-ը՝ բարձրությունը։ _____________________________________________________________
Պրիզմա	$B\cdot h$ որտեղ՝ $B$-ն հիմքի մակերեսն է, $h$-ը՝ բարձրությունը _____________________________________________________________
Բուրգ	${\frac {1}{3}}Bh$ որտեղ՝ $B$-ն հիմքի մակերեսն է, $h$-ը՝ բարձրությունը _____________________________________________________________
Կոն	${\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$ որտեղ՝ $r$-ը հիմքի շառավիղն է, $h$-ը՝ բարձրությունը _____________________________________________________________
Էլիպսոիդ	${\frac {4}{3}}\pi abc$ որտեղ՝ $a$-ն, $b$-ն, $c$-ն կիսաառանցքներն են։ _____________________________________________________________
Կանոնավոր քառանիստ	${{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}\,$ որտեղ՝ $a$-ն կողի երկարությունն է։ _____________________________________________________________
Զուգահեռանիստ	$abc{\sqrt {K}}$ ${\begin{aligned}K=1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\end{aligned}}$ որտեղ՝ $a$-ն, $b$-ն, $c$-ն կողերի երկարություններն են, α-ն, β-ն, և γ-ն՝ կողերի ներսի անկյունները։

Միևնույն շառավղով և բարձրության կոնի, գնդի և գլանի ծավալների հարաբերակցությունը

r շառավղով և h բարձրությունով կոն, գունդ և գլան

Վերևում բերված բանաձևերը կարելի է օգտագործել ցույց տալու համար, որ միևնույն շառավիղ և բարձրություն ունեցող կոնի, գնդի և գլանի ծավալները հարաբերվում են ինչպես 1 ։ 2 ։ 3. Եթե շառավիղը r է, բարձրությունը՝ h, ապա կոնի ծավալը կլինի՝

${\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}h={\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 1,$

գնդինը՝

${\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 2,$

իսկ գլանինը՝

$\pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 3.$

Գնդի և գլանի ծավալների 2 ։ 3 հարաբերությունը հայտնաբերել է Արքիմեդեսը։

Ինտեգրալ հաշվումը

Մարմինը	Ծավալի բանաձևը	Փոփոխական մեծությունները
Որևէ տարածական մարմին	$\int _{a}^{b}A(h)\,\mathrm {d} h$	$h$-ը որևէ չափն է, $A(h)$-ը $h$-ին ուղղահայաց կտրվածքի մակերեսի ֆունկցիան է ըստ $h$-ի երկայնքի։ $a$-ն և $b$-ն տարածական մարմնի ինտեգրալների սահմաններն են։ (Հաշվարկը կարելի է անել այնպիսի դեպքերում, եթե կտրվածքի մակերեսը հնարավոր է որոշել ըստ $h$-ի)։
Ցանկացած պտտական մարմին	$\pi \int _{a}^{b}\left({\left[R_{O}(x)\right]}^{2}-{\left[R_{I}(x)\right]}^{2}\right)\mathrm {d} x$	$R_{O}$-ը և $R_{I}$-ը համապատասխանաբար ներքին և արտաքին շառավիղներն արտահայտող ֆունկցիաներն են։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 118)։