Մնացորդով բաժանում
Մնացորդով բաժանում, թվաբանության, թվերի տեսության, հանրահաշվում և կրիպտոգրաֆիայում կարևոր դեր ունեցող թվաբանական գործողություն։ Հաճախ այս գործողությունը՝ ամբողջ և բնական թվերի համար, հետևյալ կերպ է սահմանվում[1]․
Դիցուք, և -ն ամբողջ թվեր են, ընդորում, ։ թվի մնացորդով բաժանում («բաժանելի») -ի («բաժանարար») նշանակում է գտնել ամբողջ և թվեր, որոնց դեպքում տեղի ունի հավասարությունը։
Այսպիսով, մնացորդով բաժանման արդյունքը երկու ամբողջ թվեր են՝ -ն կոչվում է թերի քանորդ, իսկ -ը մնացորդ բաժանումից։ Մնացորդի պետք է բավարարի ևս մեկ պայմանի․ , այսինքն, մնացորդը պիտի լինի ոչ բացասական թիվ և բացարձակ արժեքով բաժանարարից փոքր։ Ամբողջ թվերի համար այս պայմանը միանշանակ է, այսինքն, վերը նշված պայմանների դեպքում գոյություն ունի հավասարման միակ լուծում։ Մնացորդի 0-ի հավասար լինելու դեպքում ասում են, որ թվերը ամբողջությամբ բաժանվում են։
Օրինակ
- Դրական թվի և -ի մնացորդով բաժանման դեպքում, կստանանք թերի քանորդ և մնացորդ։
- Ստուգում․
Բաժանում
- Բացասական թվի և դրական -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք թերի քանորդ և մնացորդ։
- Ստուգում․
- Բացասական թվի և բացասական -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք թերի քանորդ և մնաց
- Ստուգում․
- Դրական թվի և մնացորդով բաժանման ժամանակ կստանան թերի քանորդ և մնացորդ։
- Ստուգում․
- թվի և մնացորդով բաժանման դեպքում կստանանք թերի քանորդ և մնացորդ։
Մնացորդով բաժանում կարող է տեղի ունենալ ոչ միայն ամբողջ թվերի այլ նաև ուրիշ մաթեմատիկական օբյեկտների միջև (օրինակ բազմանդամների)։
Սահմանում
խմբագրելՉխախտելով ամբողջ թվերի սահմանը, ստիպված ենք տարբերակել մնացորդով և ամբողջական բաժանումները, քանի որ զրո մնացորդը չի համարվում բնական թիվ, բացի այդ, թերի քանորդը, երբ բաժանվում է փոքր թիվը մեծ թվի վրա՝ պետք է հավասարվի զրոյի, ինչը դուրս է գալիս բնական թվերի սահմանից։ Նման արհեստական սահմանափակումները բարդացնում են սահմանումները, դրա համար կամ օգտագործվում է ընդլայնված բնական թվերի շարքը՝ զրոյի հետ միասին[2], կամ տեսությունը ձևակերպում է միանգամից ամբողջ թվերի համար։
և թվերի բաժանումից առաջացած թերի քանորդը գտնելու համար, անհրաժեշտ է սովորական ձևով բաժանել -ն -ին և կլորացնել արդյունքը մինչև մոտակա ամբողջ թիվը՝ փոքրի ուղղությամբ։
- երբ .
որտեղ կիսափակագծերը նշանակում են ամբողջ մասի առանձնացում։ Թերի քանորդի արժեքը հաշվելը թույլ է տալիս հաշվել մնացորդը հետևյալ բանաձևով։
Բացասական բաժանարարի դեպքում անհրաժեշտ է ամբողջը կլորացնել մեծի ուղղությամբ։
- երբ .
«mod» օպերացիան և կապը համեմատությունների հետ
խմբագրելՄնացորդի մեծությունը կարող է ստացվել բինար գործողությամբ՝ -ի և -ի քանորդից մնացորդի վերցմամբ, որը նշանակվում է որպես mod
Հարկ է չշփոթել այդ նշանակումը բացարձակ արժեքի համեմատության նշանակման հետ։ -ի համար բանաձևը բերում է համեմատության կատարմանը։
Այդ համեմատությունը չի ենթադրում անհավասարման տեղի ունենալու անհրաժեշտությունը,որի դեպքում լինի մնացորդ։
Ծրագրավորման մեջ
խմբագրելԼեզու | Թերի քանորդ | Մնացորդ | Մնացորդի նշանը |
---|---|---|---|
ActionScript | % |
Բաժանելի | |
Ada | mod |
Բաժանարար | |
rem |
Բաժանելի | ||
Besic | \ |
MOD |
Որոշված չէ |
C (ISO 1990) | / |
% |
Որոշված չէ |
C (ISO 1999) | / |
% |
Բաժանելի[3] |
C++ (ISO 2003) | / |
% |
Որոշված չէ[4] |
C++ (ISO 2011) | / |
% |
Բաժանելի[5] |
C# | / |
% |
Բաժանելի |
ColdFusion | MOD |
Բաժանելի | |
Common Lisp | mod |
Բաժանարար | |
rem |
Բաժանելի | ||
D | / |
% |
Բաժանելի[6] |
Delphi | div |
mod |
Բաժանելի |
Eiffel | // |
\\ |
Բաժանելի |
Erlang | div |
rem |
Բաժանելի |
Euphoria | remainder |
Բաժանելի | |
Microsoft Excel (անգ․) | QUOTIENT() |
MOD()
|
Բաժանարար |
Microsoft Excel (ռուս․) | ЧАСТНОЕ() |
ОСТАТ()
| |
FileMaker | Div() |
Mod() |
Բաժանարար |
Fortran | mod |
Բաժանելի | |
modulo |
Բաժանելի | ||
GML (Game Maker) | div |
mod |
Բաժանելի |
Go | / |
% |
Բաժանելի |
Haskell | div
|
mod |
Բաժանարար |
quot
|
rem |
Բաժանելի | |
J | |~ |
Բաժանարար | |
Java | /
|
%
|
Բաժանելի[7] |
Math.floorDiv
|
Math.floorMod
|
Բաժանարար (1.8+) | |
JavaScript | .toFixed(0) | % |
Բաժանելի |
Lua | % |
Բաժանարար | |
Mathematica | Quotient
|
Mod |
Բաժանարար |
MATLAB | idivide(?, ?, 'floor') |
mod |
Բաժանարար |
idivide |
rem |
Բաժանելի | |
MySQL | DIV |
MOD % |
Բաժանելի |
Oberon | DIV |
MOD |
+, եթե բաժանարարը >0 |
Objective Caml | mod |
Որոշված չէ | |
Pascal | div |
mod |
Բաժանելի[8] |
Perl | Нет | % |
Բաժանարար |
PHP | Нет[9] | % |
Բաժանելի |
PL/I | mod |
Բաժնարար(ANSI PL/I) | |
Prolog (ISO 1995) | mod |
Բաժանարար | |
PureBasic | / |
Mod % |
Բաժանելի |
Python | // |
% |
Բաժանարար |
QBasic | \ |
MOD |
Բաժանելի |
R | %% |
Բաժանարար | |
RPG | %REM |
Բաժանելի | |
Ruby | /
|
% |
Բաժանարար |
Scheme | modulo |
Բաժանարար | |
SenseTalk | modulo |
Բաժանարար | |
rem |
Բաժանելի | ||
Tcl | % |
Բաժանարար | |
Verilog (2001) | % |
Բաժանելի | |
VHDL | mod |
Բաժանարար | |
rem |
Բաժանելի | ||
Visual Basic | \ |
Mod |
Բաժանելի |
Բաժանման մնացորդի գտնելը հաճախ օգտագործվում է համակարգչային տեխնիկայում և հեռուստատեսային սարքավորումներում՝ ստուգիչ թվերի և սահմանափակ միջակայքերում պատահական թվերի ստացման համար։
Տարբեր ծրագրավորման լեզուներով մնացորդի վերցնելը տրված է աղյուսակում։ Օրինակ Պասկալով mod
գործողությունը հաշվում է բաժանման մնացորդը, իսկdiv-ը
կատարում է ամբողջական բաժանում, որի ժամանակ մնացորդը անտեսվում է
78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2
Ընդհանրացում
խմբագրելԵթե և երկու թվեր պատկանում են իրական թվերի բազմությանը և հավասար չեն զրոյի, ապա -ն կարելի է բաժանել -ի առանց մնացորդի, ընդ որում քանորդը իրականթիվ է։ Եթե ըստ պայմանի քանորդը պիտի լինի ամբողջ թիվ, ապա մնացորդը կլինիիրական թիվ,այսինքն կրող է լինել կոտորակային։
Ձևաբանորեն․ եթե , ապա , որտեղ .
- Օրինակ
7,9 -ը 2,1-ի մնացորդով բաժանման դեպքում ․
- (թերի քանորդ)․
- (մնացորդ)։
Գաուսյան թիվը, դա տեսքի կոմպլեքս թիվ է, որտեղ a-ն և b-ն ամբողջ թվեր են և դրանց համար կարելի է սահմանել մնացորդով բաժանում։
Ցանկացած գաուսի թիվ կարելի է բաժանել զրոյից տարբեր թվի վրա, այսինքն ներկայացնել հետևյալ տեսքով․
- ,
որտեղ քանորդը և մնացորդը գաուսյան թվեր են, ընդ որում
Սակայն, ի տարբերություն ամբողջ թվերի, մնացորդը որոշվումը ոչ միանշանակ է։
Օրինակ․ կարելի է բաժանել ՝ երեք եղանակով։
Երկու և բազմանդամները մնացորդով բաժանելու համար պայման է ներմուծվում․
Մնացորդ բազմանդամի աստիճանը պիտի շատ անգամ փոքր լինի բաժանարարի աստիճանից։
- , причём .
- Օրինակ
- (մնացորդ 3), քանի որ .
Տես նաև
խմբագրել- Էվկլիդեսի ալգորիթմ
- Բաժանելիություն
- Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար
- Անընդհատ կոտորակ
- Մոդուլով համեմատում
Ծանոթագրություն
խմբագրել- ↑ Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2.
- ↑ Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
- ↑ ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the
/
operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. [This is often called «truncation toward zero».]; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится. - ↑ «ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages -- C++», 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003
{{citation}}
: Italic or bold markup not allowed in:|publisher=
(օգնություն)CS1 սպաս․ location (link). «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined». - ↑ N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
- ↑ «D language specification» (PDF) (անգլերեն). dlang.org. Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2017 թ․ հոկտեմբերի 3-ին. Վերցված է 2017 թ․ հոկտեմբերի 29-ին.
- ↑ К. Арнолд, Дж. Гослинг, Д. Холмс Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0
- ↑ Стандарт 1973 года: div — division with truncation.
- ↑ PHP: Arithmetic Operators — Manual