Մնացորդով բաժանում

Մնացորդով բաժանում, թվաբանության, թվերի տեսության, հանրահաշվում և կրիպտոգրաֆիայում կարևոր դեր ունեցող թվաբանական գործողություն։ Հաճախ այս գործողությունը՝ ամբողջ և բնական թվերի համար, հետևյալ կերպ է սահմանվում[1]

Կարկանդակը ունի 9 կտոր, կնշանակի 4 հոգուց յուրաքանչյուրը ստանում է 2 կտոր, իսկ 1-ը մնացել է

Դիցուք, և  -ն ամբողջ թվեր են, ընդորում, ։ թվի մնացորդով բաժանում («բաժանելի») -ի («բաժանարար») նշանակում է գտնել ամբողջ և թվեր, որոնց դեպքում տեղի ունի հավասարությունը։

Այսպիսով, մնացորդով բաժանման արդյունքը երկու ամբողջ թվեր են՝ -ն կոչվում է թերի քանորդ, իսկ -ը մնացորդ բաժանումից։ Մնացորդի պետք է բավարարի ևս մեկ պայմանի․ , այսինքն, մնացորդը պիտի լինի ոչ բացասական թիվ և բացարձակ արժեքով բաժանարարից փոքր։ Ամբողջ թվերի համար այս պայմանը միանշանակ է, այսինքն, վերը նշված պայմանների դեպքում գոյություն ունի հավասարման միակ լուծում։ Մնացորդի 0-ի հավասար լինելու դեպքում ասում են, որ թվերը ամբողջությամբ բաժանվում են։

Օրինակ

  • Դրական թվի և -ի մնացորդով բաժանման դեպքում, կստանանք թերի քանորդ և մնացորդ։
Ստուգում․

Բաժանում

  • Բացասական թվի և դրական -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք թերի քանորդ և մնացորդ։
Ստուգում․
  • Բացասական թվի և բացասական -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք թերի քանորդ և մնաց
Ստուգում․
  • Դրական թվի և մնացորդով բաժանման ժամանակ կստանան թերի քանորդ և մնացորդ։
Ստուգում․
  • թվի և մնացորդով բաժանման դեպքում կստանանք թերի քանորդ և մնացորդ։

Մնացորդով բաժանում կարող է տեղի ունենալ ոչ միայն ամբողջ թվերի այլ նաև ուրիշ մաթեմատիկական օբյեկտների միջև (օրինակ բազմանդամների)։

ՍահմանումԽմբագրել

Չխախտելով ամբողջ թվերի սահմանը, ստիպված ենք տարբերակել մնացորդով և ամբողջական բաժանումները, քանի որ զրո մնացորդը չի համարվում բնական թիվ, բացի այդ, թերի քանորդը, երբ բաժանվում է փոքր թիվը մեծ թվի վրա՝ պետք է հավասարվի զրոյի, ինչը դուրս է գալիս բնական թվերի սահմանից։ Նման արհեստական սահմանափակումները բարդացնում են սահմանումները, դրա համար կամ օգտագործվում է ընդլայնված բնական թվերի շարքը՝ զրոյի հետ միասին[2], կամ տեսությունը ձևակերպում է միանգամից ամբողջ թվերի համար։

  և   թվերի բաժանումից առաջացած թերի քանորդը գտնելու համար, անհրաժեշտ է սովորական ձևով բաժանել   -ին և կլորացնել արդյունքը մինչև մոտակա ամբողջ թիվը՝ փոքրի ուղղությամբ։

  երբ  .

որտեղ կիսափակագծերը   նշանակում են ամբողջ մասի առանձնացում։ Թերի քանորդի   արժեքը հաշվելը թույլ է տալիս հաշվել   մնացորդը հետևյալ բանաձևով։

 

Բացասական բաժանարարի դեպքում անհրաժեշտ է ամբողջը կլորացնել մեծի ուղղությամբ։

  երբ  .

«mod» օպերացիան և կապը համեմատությունների հետԽմբագրել

Մնացորդի մեծությունը կարող է ստացվել բինար գործողությամբ՝  -ի և  -ի քանորդից մնացորդի վերցմամբ, որը նշանակվում է որպես mod

 

Հարկ է չշփոթել այդ նշանակումը բացարձակ արժեքի համեմատության   նշանակման հետ։  -ի համար բանաձևը բերում է համեմատության կատարմանը։

 

Այդ համեմատությունը չի ենթադրում   անհավասարման տեղի ունենալու անհրաժեշտությունը,որի դեպքում   լինի մնացորդ։

Ծրագրավորման մեջԽմբագրել

Թերի քանորդի և մնացորդի հաշվումը ծրագրավորման տարբեր լեզուներում
Լեզու Թերի քանորդ Մնացորդ Մնացորդի նշանը
ActionScript % Բաժանելի
Ada mod Բաժանարար
rem Բաժանելի
Besic \ MOD Որոշված չէ
C (ISO 1990) / % Որոշված չէ
C (ISO 1999) / % Բաժանելի[3]
C++ (ISO 2003) / % Որոշված չէ[4]
C++ (ISO 2011) / % Բաժանելի[5]
C# / % Բաժանելի
ColdFusion MOD Բաժանելի
Common Lisp mod Բաժանարար
rem Բաժանելի
D / % Բաժանելի[6]
Delphi div mod Բաժանելի
Eiffel // \\ Բաժանելի
Erlang div rem Բաժանելի
Euphoria remainder Բաժանելի
Microsoft Excel (անգ․) QUOTIENT() MOD() Բաժանարար
Microsoft Excel (ռուս․) ЧАСТНОЕ() ОСТАТ()
FileMaker Div() Mod() Բաժանարար
Fortran mod Բաժանելի
modulo Բաժանելի
GML (Game Maker) div mod Բաժանելի
Go / % Բաժանելի
Haskell div mod Բաժանարար
quot rem Բաժանելի
J |~ Բաժանարար
Java / % Բաժանելի[7]
Math.floorDiv Math.floorMod Բաժանարար (1.8+)
JavaScript .toFixed(0) % Բաժանելի
Lua % Բաժանարար
Mathematica Quotient Mod Բաժանարար
MATLAB idivide(?, ?, 'floor') mod Բաժանարար
idivide rem Բաժանելի
MySQL DIV MOD
%
Բաժանելի
Oberon DIV MOD +, եթե բաժանարարը >0
Objective Caml mod Որոշված չէ
Pascal div mod Բաժանելի[8]
Perl Нет % Բաժանարար
PHP Нет[9] % Բաժանելի
PL/I mod Բաժնարար(ANSI PL/I)
Prolog (ISO 1995) mod Բաժանարար
PureBasic / Mod
%
Բաժանելի
Python // % Բաժանարար
QBasic \ MOD Բաժանելի
R %% Բաժանարար
RPG %REM Բաժանելի
Ruby / % Բաժանարար
Scheme modulo Բաժանարար
SenseTalk modulo Բաժանարար
rem Բաժանելի
Tcl % Բաժանարար
Verilog (2001) % Բաժանելի
VHDL mod Բաժանարար
rem Բաժանելի
Visual Basic \ Mod Բաժանելի

Բաժանման մնացորդի գտնելը հաճախ օգտագործվում է համակարգչային տեխնիկայում և հեռուստատեսային սարքավորումներում՝ ստուգիչ թվերի և սահմանափակ միջակայքերում պատահական թվերի ստացման համար։

Տարբեր ծրագրավորման լեզուներով մնացորդի վերցնելը տրված է աղյուսակում։ Օրինակ Պասկալով modգործողությունը հաշվում է բաժանման մնացորդը, իսկdiv-ը կատարում է ամբողջական բաժանում, որի ժամանակ մնացորդը անտեսվում է

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

ԸնդհանրացումԽմբագրել

Իրական թվերԽմբագրել

Եթե   և   երկու թվեր պատկանում են իրական թվերի բազմությանը և հավասար չեն զրոյի, ապա  -ն կարելի է բաժանել  -ի առանց մնացորդի, ընդ որում քանորդը իրականթիվ է։ Եթե ըստ պայմանի քանորդը պիտի լինի ամբողջ թիվ, ապա մնացորդը կլինիիրական թիվ,այսինքն կրող է լինել կոտորակային։

Ձևաբանորեն․ եթե  , ապա  , որտեղ  .

Օրինակ

7,9 -ը 2,1-ի մնացորդով բաժանման դեպքում ․

  (թերի քանորդ)․
  (մնացորդ)։

Գաուսի ամբողջ թվերԽմբագրել

Գաուսյան թիվը, դա   տեսքի կոմպլեքս թիվ է, որտեղ a-ն և b-ն ամբողջ թվեր են և դրանց համար կարելի է սահմանել մնացորդով բաժանում։

Ցանկացած   գաուսի թիվ կարելի է բաժանել զրոյից տարբեր   թվի վրա, այսինքն ներկայացնել հետևյալ տեսքով․

 ,

որտեղ   քանորդը և   մնացորդը գաուսյան թվեր են, ընդ որում  

Սակայն, ի տարբերություն ամբողջ թվերի, մնացորդը որոշվումը ոչ միանշանակ է։

Օրինակ․   կարելի է բաժանել   ՝ երեք եղանակով։

 

ԲազմանդամներԽմբագրել

Երկու   և   բազմանդամները մնացորդով բաժանելու համար պայման է ներմուծվում․

Մնացորդ բազմանդամի աստիճանը պիտի շատ անգամ փոքր լինի բաժանարարի աստիճանից։

 , причём  .
Օրինակ
  (մնացորդ 3), քանի որ  .

Տես նաևԽմբագրել

ԾանոթագրությունԽմբագրել

  1. Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2.
  2. Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
  3. ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the / operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. [This is often called «truncation toward zero».]; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
  4. «ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages -- C++», 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003 . «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
  5. N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
  6. «D language specification» (անգլերեն)։ dlang.org։ Վերցված է 2017-10-29 
  7. К. Арнолд, Дж. Гослинг, Д. Холмс Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0
  8. Стандарт 1973 года: div — division with truncation.
  9. PHP: Arithmetic Operators — Manual