Բաժանելիություն, թվաբանության և թվերի տեսության հիմնական հասկացություններից մեկը՝ կապված բաժանման գործողության հետ: Բազմությունների տեսության տեսանկյունից ամբողջ թվերի բաժանելիությունը հանդիսանում է հարաբերություն՝ որոշված ամբողջ թվերի բազմության վրա:

ՍահմանումԽմբագրել

Եթե որևէ   և   ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի   ամբողջ թիվ, որ  , ապա ասում են, որ   թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է   թվի վրա կամ՝   թիվը տրոհում է   թիվը:

Ընդ որում   թիվը կոչվում է   թվի բաժանարար,   թիվը՝ բաժանելին, հանդիսանում է   թվի բազմապատիկ, իսկ   թիվը կոչվում է   թիվը   թվի վրա բաժանելու արդյունքում ստացված քանորդ:

Թեև բաժանելիության հատկությունը սահմանված է ամբողջ թվերի բազմության վրա, սովորաբար դիտարկվում է միայն բնական թվերի բաժանելիությունը: Մասնավորապես, բնական թվի բաժանարարների քանակի ֆունկցիան հաշվում է նրա միայն դրական բաժանարարները:

ՆշանակումներԽմբագրել

  •   նշանակում է, որ   թիվը բաժանվում է   թվի վրա, կամ՝ որ   թիվը   թվի բազմապատիկն է:
  •   նշանակում է, որ   թիվը տրոհում է   թիվը, կամ, որ նույնն է՝   թիվը   թվի բաժանարարն է:

Առնչվող սահմանումներԽմբագրել

  • Մեկից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի առնվազն երկու բնական բաժանարար՝ մեկը և նույն թիվը: Ընդ որում՝ այն բնական թվերը, որոնք ունեն ճիշտ երկու բաժանարար, կոչվում են պարզ, իսկ երկուսից ավելի բաժանարարներ ունեցողները՝ բաղադրյալ թվեր: Մեկ թիվն ունի միայն մեկ բաժանարար և չի հանդիսանում ո՛չ պարզ, ո՛չ բաղադրյալ:
  •  -ից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի գոնե մեկ պարզ բաժանարար:
  • Թվի սեփական բաժանարար է կոչվում այդ թվի՝ իրենից տարբեր ցանկացած բաժանարար: Պարզ թվերն ունեն միայն մեկ սեփական բաժանարար՝ մեկ թիվը:
  • Անկախ   ամբողջ թվի՝   ամբողջ թվի վրա բաժանելիությունից,   թիվը միշտ կարելի է մնացորդով բաժանել   թվի վրա, այսինքն՝ ներկայացնել հետևյալ տեսքով.
      որտեղ  :
Այս առնչության մեջ   թիվը կոչվում է թերի քանորդ, իսկ   թիվը՝   թիվը   թվի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ: Ինչպես քանորդը, այնպես էլ մնացորդը որոշվում են միարժեքորեն:
  թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է   թվի վրա միայն այն դեպքում, երբ   թիվը   թվի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է 0-ի:
  • Ցանկացած թիվ, որի վրա բաժանվում են ինչպես  , այնպես էլ   թվերը, կոչվում է նրանց ընդհանուր բաժանարար, այդ թվերից մեծագույնը կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար: Ցանկացած թվազույգ ունի առնվազն երկու ընդհանուր բաժանարար՝   և  : Եթե այլ ընդհանուր բաժանարարներ չկան, ապա այդ թվերը կոչվում են փոխադարձ պարզ:
  • Երկու   և   ամբողջ թվեր կոչվում են հավասարապես բաժանելի   ամբողջ թվի վրա, եթե և՛   թիվը, և՛   թիվը բաժանվում է   թվի վրա, կամ ո՛չ   թիվը, և ո՛չ էլ   թիվը չի բաժանվում նրա վրա:
  • Ասում են, որ   թիվը   թվի բազմապատիկ է, եթե   թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է   թվի վրա: Եթե   թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է   և   թվերի վրա, ապա այն կոչվում է այդ թվերի ընդհանուր բազմապատիկ: Այդպիսի ամենափոքր բնական թիվը կոչվում է   և   թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ:

ՀատկություններԽմբագրել

Նշում. այս բաժնի բոլոր բանաձևերում ենթադրվում է, որ   ամբողջ թվեր են:
  • Ցանկացած ամբողջ թիվ հանդիսանում է զրոյի բաժանարար, և քանորդը հավասար է զրոյի.
 
  • Ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է մեկի.
 
  • Զրոյի վրա բաժանվում է միայն զրոն.
 , ընդ որում՝ քանորդն այս դեպքում որոշված չէ:
  • Մեկը բաժանվում է միայն մեկի վրա.
 
  • Ցանկացած   ամբողջ թվի համար կգտնվի այնպիսի   ամբողջ թիվ, որի դեպքում  
  • Եթե   և   ապա   Այստեղից էլ հետևում է, որ եթե   և   ապա  
  • Որպեսզի   անհրաժեշտ է և բավարար, որ  
  • Եթե   ապա  
  • Բնական թվերի բաժանելիության առնչությունը հանդիսանում է ոչ խիստ կարգի հարաբերակցություն, և մասնավորաբար, այն
    • անդրադարձական է, այսինքն՝ ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է ինքն իր վրա. 
    • փոխանցական է, այսինքն՝ եթե   և   ապա  
    • հակասիմետրիկ (հակահամաչափ) է, այսինքն՝ եթե   և   ապա  
Ամբողջ թվերի համակարգում բավարարվում են այս երեք հատկություններից առաջին երկուսը; օրինակ՝   և   սակայն  

Բաժանարարների քանակըԽմբագրել

  բնական թվի դրական բաժանարարների քանակը, որը սովորաբար նշանակվում է   հանդիսանում է բազմապատկական ֆունկցիա, նրա համար ճշմարիտ է Դիրիխլեի ասիմպտոտիկ բանաձևը.

 

Այստեղ  -ն՝ Էյլեր — Մասկերոնիի հաստատունն է, իսկ  -ի համար Դիրիխլեն ստացել է   արժեքը: Այս արդյունքը բազմիցս բարելավվել է, և ներկայումս հայտնի ամենալավ արդյունքն է՝   (2003 թվականին ստացել է Հաքսլին): Սակայն,  -ի փոքրագույն արժեքը, որի դեպքում այդ բանաձևը կլինի ճշմարիտ, հայտնի չէ (ապացուցված է, որ այն փոքր չէ, քան  )[1][2][3]:

Ընդ որում՝ n մեծ թվի միջին բաժանարարն աճում է ինչպես  , ինչը հայտնաբերել է Ա. Կարացուբան[4]: Մ. Կորոլյովի համակարգչային գնահատմամբ՝  :

ԸնդհանրացումներԽմբագրել

Բաժանելիության հասկացությունը ընդհանրացվում է կամայական օղակների վրա, օրինակ՝ գաուսյան ամբողջ թվերը կամ բազմանդամների օղակը:

Տես նաևԽմբագրել

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. А. А. Бухштаб Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966.
  2. И. М. Виноградов Аналитическая теория чисел // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
  3. Weisstein, Eric W., "Dirichlet Divisor Problem", MathWorld.
  4. В. И Арнольд Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.

ԳրականությունԽմբագրել

  • Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
  • Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6
  • Делимость // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 95. — 352 с.

Արտաքին հղումներԽմբագրել