Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (շրջանային ֆունկցիաներ, արկֆունկցիաներ), մաթեմատիկական ֆունկցիաներ, որոնք համարվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձը։ Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հիմնականում լինում են վեց տեսակի.

• արկսինուս (նշանակում$:\mathrm {arcsin} \,x;\mathrm {arcsin} \,x$ — սա այն անկյունն է, որի սինուսը հավասար է $x$)
• արկկոսինուս (նշանակում։ $\mathrm {arccos} \,x;\mathrm {arccos} \,x$ — սա այն անկյունն է, որի կոսինուսը հավասար է $x$ և այդպես շարունակ)
• արկտանգենս (նշանակում։ $\mathrm {arctg} \,x$; գրականության մեջ նաև՝ $\mathrm {arctan} \,x$)
• արկկոտանգենս (նշանակում։ $\mathrm {arcctg} \,x$; գրականության մեջ՝ $\mathrm {arccot} \,x$ կամ $\mathrm {arccotan} \,x$)
• արկսեկանս (նշանակում։ $\mathrm {arcsec} \,x$)
• արկկոսեկանս (նշանակում։ $\mathrm {arccosec} \,x$; գրականության մեջ՝ $\mathrm {arccsc} \,x$)

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անունները ստեղծվել են համապատասխան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին «արկ-» նախածանցը ավելացնելով (լատ.՝ arcus — աղեղ)։ Դա կապված է նրա հետ, որ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների երկրաչափական արժեքները կապված են միավոր շրջանագծի վրա այդ աղեղի երկարությունից (կամ անկյունից)։ Սովորական սինուսը հնարավորություն է տալիս աղեղից գտնել նրան ձգող լարը, իսկ հակադարձ ֆունկցիան որոշում է հակառակ խնդիրը։ Եռակնյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձ եղանակի մասին հայտնել է ավստրիացի մաթեմատիկոս Կարլ Շերֆերը (գերմ.՝ Karl Scherffer; 1716-1783), բայց դրա արմատները հիմնակում պատկանում էին Լագրանժին։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար առաջին հատուկ նշանը ստեղծել է Դանիել Բերնուլին՝ 1729 թվականին։ Անգլիական և գերմանական շատ դպրոցների մինչև 19-րդ դարի վերջը առաջարկում էին այլ նշանակումներ. $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }}$, սակայն դրանք չընդունվեցին։ Միայն երբեմն այլ գրականության և գիտական/ինժեներական հաշվիչներում արկսինուսի, արկկոսինուսի և այլնի համար օգտագործվում էր sin⁻¹, cos⁻¹ եղանակը, - դա ընդհանրապես ճիշտ չէր համարվում, քանի որ այդեղ կարող էր շփոթմունք լինել -1 աստիճանի դեպքում։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձները երկիմաստ էին։ Այսինքն արկֆունկցիաների արժեքները իրենցից ներկայացնում էին բազմաթիվ անկյուններ (աղեղի), որի պատճառով համապատասխան ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի համար ճիշտ էր տվյալ արժեքը։ Օրինակ, $\arcsin 1/2$ իրենից ներկայացնում է բազմաթիվ անկյուններ՝ $\left({\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}},{\frac {13\pi }{6}},{\frac {17\pi }{6}}\dots ~(30^{\circ },150^{\circ },390^{\circ },510^{\circ }\dots )\right)$, որի սինուսը հավասար է $1/2$: Այս բազմաթիվ արժեքների արկֆունկցիային հատկացվում է իր հիմնական արժեքները, որոնք սովորաբար պետք է նկատի ունենալ երբ խոսվում է արկսինուս, արկկոսինուս և այլ ֆունկցիաների մասին։
Ընդհանուր առմամբ $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$ պայմանի դեպքում $\sin x=\alpha$ հավասարում կարող է ներկայանալ հետևյալ ձևով՝ $x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.$

Հիմնական նույնություններ

$\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {arctg} \,x+\operatorname {arcctg} \,x={\frac {\pi }{2}}$

Հիմնական հատկություններ

Գլխավոր արժեքներ

Անուն	Նշանակում	Սահմանում	Միջակայք	Անվանական արժքի միջակայք (ռադիաններով)	Անվանական արժեքի միջակայք (աստիճաններով)
arcsine	y = arcsin x	x = sin y	−1 ≤ x ≤ 1	−π/2 ≤ y ≤ π/2	−90° ≤ y ≤ 90°
arccosine	y = arccos x	x = cos y	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0° ≤ y ≤ 180°
arctangent	y = arctan x	x = tg y	բոլոր իրական թվերը	−π/2 < y < π/2	−90° < y < 90°
arccotangent	y = arccot x	x = ctg y	բոլոր իրական թվերը	0 < y < π	0° < y < 180°
arcsecant	y = arcsec x	x = sec y	x ≤ −1 or 1 ≤ x	0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π	0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
arccosecant	y = arccsc x	x = csc y	x ≤ −1 or 1 ≤ x	−π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2	-90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°

Կապը եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև

Եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները աղյուսակավորված են ներքևում.

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$	Գծագիր
$\arcsin x$	$\sin(\arcsin x)=x$	$\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos x$	$\sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos x)=x$	$\tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan x$	$\sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan x)=x$
$\operatorname {arccot} x$	$\sin(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{x}}$
$\operatorname {arcsec} x$	$\sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccsc} x$	$\sin(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Կապը հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև

arcsin(x) (կարմիր) և arccos(x) (կապույտ) ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:

arctan(x) և arccot(x) ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:

arcsec(x) և arccsc(x) ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:

Լրացուցիչ անկյուններ.

${\begin{aligned}\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\[0.5em]\operatorname {arccot} x&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x\\[0.5em]\operatorname {arccsc} x&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x\end{aligned}}$

Բացասական արգումենտներ.

${\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin x\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos x\\\arctan(-x)&=-\arctan x\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot} x\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec} x\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc} x\end{aligned}}$

Դրական արգումենտներ.

${\begin{aligned}\arccos(1/x)&=\operatorname {arcsec} x\\[0.3em]\arcsin(1/x)&=\operatorname {arccsc} x\\[0.3em]\arctan(1/x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x\,,{\text{if}}x>0\\[0.3em]\arctan(1/x)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x-\pi \,,{\text{ if}}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot}(1/x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x\,,{\text{ if}}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot}(1/x)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x\,,{\text{ if}}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec}(1/x)&=\arccos x\\[0.3em]\operatorname {arccsc}(1/x)&=\arcsin x\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\arccos x&=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}}\,,{\text{ if}}0\leq x\leq 1\\\arctan x&=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\arcsin x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\\[0.5em]\arccos x&=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\,,{\text{ if}}-1<x\leq +1\\[0.5em]\arctan x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\end{aligned}}$

Արկտանգենսի գումարման բանաձև

$\arctan u+\arctan v=\arctan \left({\frac {u+v}{1-uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,$

Ստացվածը տանգենսների գումարման բանաձևն է.

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}\,,$

$\alpha =\arctan u\,,\quad \beta =\arctan v\,:$

arcsin ֆունկցիան

$y=\arcsin x$ ֆունկցիայի գրաֆիկը

Արկսինուս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար $\sin x=m,\,-{\frac {\pi }{2}}\leqslant x\leqslant {\frac {\pi }{2}},\,|m|\leqslant 1:$

$y=\sin x$ ֆունկցիան անընդհատ է և սահմանափակ է իր թվային առանցքի վրա։ $y=\arcsin x$ ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

• $\sin(\arcsin x)=x\qquad$, $-1\leqslant x\leqslant 1$ միջակայքում,
• $\arcsin(\sin y)=y\qquad$, $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}}$ միջակայքում,
• $D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad$ (որոշման տիրույթ),
• $E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad$ (փոփոխման տիրույթ)։

arcsin ֆունկցիայի հատկություններ

• $\arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad$ (ֆունկցիան կենտ է).
• $\arcsin x>0\,$, $0<x\leqslant 1$.
• $\arcsin x=0\,$, $x=0.$
• $\arcsin x<0\,$, $-1\leqslant x<0.$
• $\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$
• $\arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• $\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$

arcsin ֆունկցիայի ստացում

Տրված է $y=\sin x$ ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, բայց դրա հակադարձ $y=\arcsin x$ ֆունկցիան մոնոտոն չի համարվում։ Դրա համար մենք նշում ենք, որ ֆունկցիան կտրուկ աճող է իր փոփոխման տիրույթի վրա՝ $\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$: $y=\sin x$ ֆունկցիայի յուրաքանչյուր արժեք $\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$ միջակայքում հասնում է միակ արգումենտի արժեքին և այդ միջակայքում համարվում է $y=\arcsin x$ ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը համաչափ է $y=\sin x$ ուղղի նկատմամբ՝ $\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$ միջակայքում։ (հակադարձ ֆունկցիաների գրաֆիկները համարվում են կոորդինատային $Oxy$ հարթության առաջին և երրորդ քառորդների կիսորդը)

arccos ֆունկցիան

$y=\arccos x$ ֆունկցիայի գրաֆիկը

Արկոսինուս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար $\cos x=m,\qquad 0\leqslant x\leqslant \pi ,|m|\leqslant 1:$

$y=\cos x$ ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։ $y=\arccos x$ ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

• $\cos(\arccos x)=x$, $-1\leqslant x\leqslant 1,$
• $\arccos(\cos y)=y$, $0\leqslant y\leqslant \pi .$
• $D(\arccos x)=[-1;1],$ (որոշման տիրույթ),
• $E(\arccos x)=[0;\pi ].$ (փոփոխման տիրույթ)։

arccos ֆունկցիայի հատկություններ

• $\arccos(-x)=\pi -\arccos x\,$ (ֆունկցիան համաչափ է կոորդինատային հարթության $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)$ կետի նկատմամբ), համարվում է ո՛չ զույգ, ո՛չ կենտ ֆունկցիա։
• $\arccos x>0\,$, $-1\leqslant x<1.$
• $\arccos x=0\,$, $x=1.\,$
• $\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.$
• $\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$
• $\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$
• $\arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}$
• $\arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}$
• $\arccos x=2\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}$

arccos ֆունկցիայի ստացում

Տրված է $y=\cos x$ ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտան, սակայն նրա հակադարձ $y=\arccos x$ ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով մենք դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները՝ $[0;\pi ]$: $y=\cos x$ միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն նվազող է և իր բոլոր արժեքները ընդունում է միայն մեկ անգամ, իսկ $[0;\pi ]$ միջակայքում $y=\arccos x$ ֆունկցիայի հակադարձն է, որի գրաֆիկը $y=x$ ուղղի նկատմամբ համաչափ է $y=\cos x$ ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ՝ $[0;\pi ]$ միջակայքում։

arctg ֆունկցիան

$y=\operatorname {arctg} \,x$ ֆունկցիայի գրաֆիկը

Արկտանգենս m թվից կոչվում է այն $\alpha$ անկյունը՝ արտահայտված ռադիանով, որի համար $\operatorname {tg} \,\alpha =m,\qquad -{\frac {\pi }{2}}<\alpha <{\frac {\pi }{2}}:$

$y=\operatorname {arctg} x$ ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։ $y=\operatorname {arctg} x$ ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

• $\operatorname {tg} \,(\operatorname {arctg} \,x)=x$, $x\in \mathbb {R} ,$
• $\operatorname {arctg} \,(\operatorname {tg} \,y)=y$, $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},$
• $D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty ),$
• $E(\operatorname {arctg} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)$

arctg ֆունկցիայի հատկություններ

• $\operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\qquad$
• $\operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$
• $\operatorname {arctg} x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$, x > 0
• $\operatorname {arctg} x=\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}}$

arctg ֆունկցիայի ստացում

Տրված է $y=\operatorname {tg} \,x$ ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ $y=\operatorname {arctg} \ x$ ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝ $\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right):$ Այդ միջակայքի վրա $y=\operatorname {tg} \ x$ ֆունկցիան խիստ մոնոտոն աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի $\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)$ միջակայքի վրա այն համարվում է $y=\operatorname {arctg} \ x$ ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը $y=\operatorname {tg} \,x$ ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ հակադարձ է $y=x$ ուղղի նկատմամբ՝ $\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)$ հատվածում։

arcctg ֆունկցիան

$y=\operatorname {arcctg} x$ ֆունկցիայի գրաֆիկը

Արկկոտանգենս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար $\operatorname {ctg} \,x=m,\qquad 0<x<\pi :$

$y=\operatorname {arcctg} \,x$ ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր ոչոշման տիրույթի վրա։ $y=\operatorname {arcctg} \,x$ Ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

• $\operatorname {ctg} \,(\operatorname {arcctg} \,x)=x$, $x\in \mathbb {R} ,$
• $\operatorname {arcctg} \,(\operatorname {ctg} \,y)=y$, $0<y<\pi ,$
• $D(\operatorname {arcctg} \,x)=(-\infty ;\infty ),$
• $E(\operatorname {arcctg} \,x)=(0;\pi ):$

arcctg ֆունկցիայի հատկություններ

• $\operatorname {arcctg} \,(-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \,x$ (ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)$ կետի նկատմամբ)։
• $\operatorname {arcctg} \,x>0$ ցանկացած $x$-ի համար։
• $\operatorname {arcctg} \,x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x<0\end{matrix}}\right.$
• $\operatorname {arcctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x:$

arcctg ֆունկցիայի ստացում

Տրված է $y=\operatorname {ctg} \,x$ ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ $y=\operatorname {arcctg} \,x$ ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝ $(0;\pi )$: Այս միջակայքում $y=\operatorname {ctg} \,x$ ֆունկցիան խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի $(0;\pi )$ միջակայքում համարվում է $y=\operatorname {arcctg} \,x$ ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը $y=x$ ուղղի նկատմամաբ համաչափ է $y=\operatorname {ctg} \,x$ ֆունկցիայի գրաֆիկին՝ $(0;\pi )$ միջակայքում։

Արկկոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է արկտանգենս ֆունկցիայի միջոցով, վերջինս օրդինատների առանցքով արտապատկերելով (որը պետք է փոխարինել արգումենտի նշանով. $x\rightarrow -x$) և բարձրացնելով վերև π/2 միավորով. դա կարող ենք տերկայացնել հետևյալ բանաձևով՝ $\operatorname {arcctg} x=\operatorname {arctg} (-x)+\pi /2:$

arcsec ֆունկցիան

$\mathop {\operatorname {arcsec} } \,(x)\,=\operatorname {arccos} \left({\frac {1}{x}}\right)\,$

arccosec ֆունկցիան

$\mathop {\operatorname {arccosec} } \,(y)\,=\operatorname {arcsin} \left({\frac {1}{y}}\right)\,$

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալ

$(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$(\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$(\operatorname {arctg} \,x)'={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}$
$(\operatorname {arcctg} \,x)'=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}$

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալ

Անորոշ ինտեգրալներ

Իրական և կոմպլեքս x-երի համար.

${\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C:\end{aligned}}$

Իրական թվերի համար՝ x ≥ 1:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C:\end{aligned}}$

Կիրառությունը երկրաչափության մեջ

ABC ուղղանկյուն եռանկյուն

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործում են եռանկյան անկյունները գտնելու համար, եթե հայտնի են նրա կողմները, օրինակ կոսինուսների թեորեմի միջոցով։

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ այդ ֆունկցիաները միանգամից տալիս են անկյունը.

α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)

Կապը բնական լոգարիթմների հետ

${\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arccosec} \,z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}$

Արտաքին հղումներ

• Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — Т. 3. — с. 1135.
• Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220–221. — 352 с.
• Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
• Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

Տես նաև

• Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
• Եռանկյունաչափության պատմություն