Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (շրջանային ֆունկցիաներ, արկֆունկցիաներ), մաթեմատիկական ֆունկցիաներ, որոնք համարվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձը։ Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հիմնականում լինում են վեց տեսակի.

  • արկսինուս (նշանակում — սա այն անկյունն է, որի սինուսը հավասար է )
  • արկկոսինուս (նշանակում։ — սա այն անկյունն է, որի կոսինուսը հավասար է և այդպես շարունակ)
  • արկտանգենս (նշանակում։ ; գրականության մեջ նաև՝ )
  • արկկոտանգենս (նշանակում։ ; գրականության մեջ՝ կամ )
  • արկսեկանս (նշանակում։ )
  • արկկոսեկանս (նշանակում։ ; գրականության մեջ՝ )

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անունները ստեղծվել են համապատասխան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին «արկ-» նախածանցը ավելացնելով (լատ.՝ arcus — աղեղ)։ Դա կապված է նրա հետ, որ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների երկրաչափական արժեքները կապված են միավոր շրջանագծի վրա այդ աղեղի երկարությունից (կամ անկյունից)։ Սովորական սինունսը հնարավորություն է տալիս աղեղից գտնել նրան ձգող լարը, իսկ հակադարձ ֆունկցիան որոշում է հակառակ խնդիրը։ Եռակնյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձ եղանակի մասին հայտնել է ավստրիացի մաթեմատիկոս Կարլ Շերֆերը (գերմ.՝ Karl Scherffer; 1716-1783), բայց դրա արմատները հիմնակում պատկանում էին Լագրանժին։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար առաջին հատուկ նշանը ստեղծել է Դանիել Բերնուլին՝ 1729 թվականին։ Անգլիական և գերմանական շատ դպրոցների մինչև 19-րդ դարի վերջը առաջարկում էին այլ նշանակումներ. , սակայն դրանք չնդունվեցին[1]։ Միայն երբեմն այլ գրականության և գիտական/ինժեներական հաշվիչներում արկսինուսի, արկկոսինուսի և այլնի համար օգտագործվում էր sin−1, cos−1 եղանակը[2], - դա ընդհանրապես ճիշտ չէր համարվում, քանի որ այդեղ կարող էր շփոթմունք լինել -1 աստիճանի դեպքում։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձները երկիմաստ էին։ Այսինքն արկֆունկցիաների արժեքները իրենցից ներկայացնում էին բազմաթիվ անկյուններ (աղեղի), որի պատճառով համապատասխան ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի համար ճիշտ էր տվյալ արժեքը։ Օրինակ, իրենից ներկայացնում է բազմաթիվ անկյուններ՝ , որի սինուսը հավասար է : Այս բազմաթիվ արժեքների արկֆունկցիային հատկացվում է իր հիմնական արժեքները, որոնք սովորաբար պետք է նկատի ունենալ երբ խոսվում է արկսինուս, արկկոսինուս և այլ ֆունկցիաների մասին։
Ընդհանուր առմամբ պայմանի դեպքում հավասարում կարող է ներկայանալ հետևյալ ձևով՝ [3]

Հիմնական նույնություններԽմբագրել

 
 

Հիմնական հատկություններԽմբագրել

Գլխավոր արժեքներԽմբագրել

Անուն Նշանակում Սահմանում Միջակայք Անվանական արժքի միջակայք
(ռադիաններով)
Անվանական արժեքի միջակայք
(աստիճաններով)
arcsine y = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 −π/2 ≤ y ≤ π/2 −90° ≤ y ≤ 90°
arccosine y = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤ 180°
arctangent y = arctan x x = tg y բոլոր իրական թվերը −π/2 < y < π/2 −90° < y < 90°
arccotangent y = arccot x x = ctg y բոլոր իրական թվերը 0 < y < π 0° < y < 180°
arcsecant y = arcsec x x = sec y x ≤ −1 or 1 ≤ x 0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π 0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
arccosecant y = arccsc x x = csc y x ≤ −1 or 1 ≤ x −π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2 -90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°

Կապը եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջևԽմբագրել

Եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները աղյուսակավորված են ներքևում.

        Գծագիր
         
         
         
         
         
         

Կապը հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջևԽմբագրել

 
arcsin(x) (կարմիր) և arccos(x) (կապույտ) ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:
 
arctan(x) և arccot(x) ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:
 
arcsec(x) և arccsc(x) ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:

Լրացուցիչ անկյուններ.

 

Բացասական արգումենտներ.

 

Դրական արգումենտներ.

 
 
 

Արկտանգենսի գումարման բանաձևԽմբագրել

 

Ստացվածը տանգենսների գումարման բանաձևն է.

 
 

arcsin ֆունկցիանԽմբագրել

 
  ֆունկցիայի գրաֆիկը

Արկսինուս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար  

  ֆունկցիան անընդհատ է և սահմանափակ է իր թվային առանցքի վրա։   ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

  •  ,   միջակայքում,
  •  ,   միջակայքում,
  •   (որոշման տիրույթ),
  •   (փոփոխման տիրույթ)։

arcsin ֆունկցիայի հատկություններԽմբագրել

  •   (ֆունկցիան կենտ է).
  •  ,  .
  •  ,  
  •  ,  
  •  
  •  
  •  

arcsin ֆունկցիայի ստացումԽմբագրել

Տրված է   ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, բայց դրա հակադարձ   ֆունկցիան մոնոտոն չի համարվում։ Դրա համար մենք նշում ենք, որ ֆունկցիան կտրուկ աճող է իր փոփոխման տիրույթի վրա՝  :   ֆունկցիայի յուրաքանչյուր արժեք   միջակայքում հասնում է միակ արգումենտի արժեքին և այդ միջակայքում համարվում է   ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը համաչափ է   ուղղի նկատմամբ՝   միջակայքում։ (հակադարձ ֆունկցիաների գրաֆիկները համարվում են կոորդինատային   հարթության առաջին և երրորդ քառորդների կիսորդը)

arccos ֆունկցիանԽմբագրել

 
  ֆունկցիայի գրաֆիկը

Արկոսինուս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար  

  ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։   ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

  •  ,  
  •  ,  
  •   (որոշման տիրույթ),
  •   (փոփոխման տիրույթ)։

arccos ֆունկցիայի հատկություններԽմբագրել

  •   (ֆունկցիան համաչափ է կոորդինատային հարթության   կետի նկատմամբ), համարվում է ո՛չ զույգ, ո՛չ կենտ ֆունկցիա։
  •  ,  
  •  ,  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

arccos ֆունկցիայի ստացումԽմբագրել

Տրված է   ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտան, սակայն նրա հակադարձ   ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով մենք դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները՝  :   միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն նվազող է և իր բոլոր արժեքները ընդունում է միայն մեկ անգամ, իսկ   միջակայքում   ֆունկցիայի հակադարձն է, որի գրաֆիկը   ուղղի նկատմամբ համաչափ է   ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ՝   միջակայքում։

arctg ֆունկցիանԽմբագրել

 
  ֆունկցիայի գրաֆիկը

Արկտանգենս m թվից կոչվում է այն   անկյունը՝ արտահայտված ռադիանով, որի համար  

  ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։   ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

  •  ,  
  •  ,  
  •  
  •  

arctg ֆունկցիայի հատկություններԽմբագրել

  •  
  •  
  •  , x > 0
  •  

arctg ֆունկցիայի ստացումԽմբագրել

Տրված է   ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ   ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝   Այդ միջակայքի վրա   ֆունկցիան խիստ մոնոտոն աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի   միջակայքի վրա այն համարվում է   ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը   ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ հակադարձ է   ուղղի նկատմամբ՝   հատվածում։

arcctg ֆունկցիանԽմբագրել

 
  ֆունկցիայի գրաֆիկը

Արկկոտանգենս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար  

  ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր ոչոշման տիրույթի վրա։   Ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

  •  ,  
  •  ,  
  •  
  •  

arcctg ֆունկցիայի հատկություններԽմբագրել

  •   (ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է   կետի նկատմամբ)։
  •   ցանկացած  -ի համար։
  •  
  •  

arcctg ֆունկցիայի ստացումԽմբագրել

Տրված է   ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ   ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝  : Այս միջակայքում   ֆունկցիան խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի   միջակայքում համարվում է   ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը   ուղղի նկատմամաբ համաչափ է   ֆունկցիայի գրաֆիկին՝   միջակայքում։

Արկկոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է արկտանգենս ֆունկցիայի միջոցով, վերջինս օրդինատների առանցքով արտապատկերելով (որը պետք է փոխարինել արգումենտի նշանով.  ) և բարձրացնելով վերև π/2 միավորով. դա կարող ենք տերկայացնել հետևյալ բանաձևով՝  

arcsec ֆունկցիանԽմբագրել

 

arccosec ֆունկցիանԽմբագրել

 

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալԽմբագրել

 
 
 
 

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալԽմբագրել

Անորոշ ինտեգրալներԽմբագրել

Իրական և կոմպլեքս x-երի համար.

 

Իրական թվերի համար՝ x ≥ 1:

 

Կիրառությունը երկրաչափության մեջԽմբագրել

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործում են եռանկյան անկյունները գտնելու համար, եթե հայտնի են նրա կողմները, օրինակ կոսինուսների թեորեմի միջոցով։

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ այդ ֆունկցիաները միանգամից տալիս են անկյունը.

α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)

Կապը բնական լոգարիթմների հետԽմբագրել

 
 
 
 
 
 

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 211. — ISBN 978-5-382-00839-4
  2. Здесь знак −1 определяет функцию x = f−1 (y), обратную функции y = f (x)
  3. Энциклопедический словарь, 1985, էջ 220

Արտաքին հղումներԽմբագրել

Տես նաևԽմբագրել