Կոսինուսների թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան կողմերի երկարությունների և երկու կողմերի միջև ընկած անկյան կոսինուսի միջև։
Եռանկյուն
Թեորմի ձևակերպումը.
Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը՝
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \ }
։
Այն հանդիսանում է Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակը։ Երբ γ անկյունը ուղիղ է (90° կամ π/2 ռադիան), կոսինուսների թեորեմը վերածվում է Պյութագորասի թեորեմին.
c
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}
Եռանկյան տարբեր կողմերի միջև ընկած անկյունները ընտրելիս՝ այն կստանա հետևյալ տեսքը.
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,}
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2
a
c
cos
β
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \,}
։
Ապացույց եռանկյունաչափական մեթոդով
խմբագրել
Նկար 1
c կողմին ուղղահայաց տարեք (Նկար 1). այդ դեպքում
c
=
a
cos
β
+
b
cos
α
.
{\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,.}
Երկու կողմերը բազմապատկելով c -ով՝, կստանաք
c
2
=
a
c
cos
β
+
b
c
cos
α
.
{\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .\,}
Մյուս ուղղահայացները տանելով՝ կստանաք
a
2
=
a
c
cos
β
+
a
b
cos
γ
,
{\displaystyle a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\,}
b
2
=
b
c
cos
α
+
a
b
cos
γ
.
{\displaystyle b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\,}
Վերջին երկու հավասարությունները գումարելով՝ կստանաք
a
2
+
b
2
=
a
c
cos
β
+
b
c
cos
α
+
2
a
b
cos
γ
.
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma .\,}
Առաջին հավասարումը երկրորդ հավասարումից հանելով՝ կստանանք
a
2
+
b
2
−
c
2
=
−
a
c
cos
β
−
b
c
cos
α
+
a
c
cos
β
+
b
c
cos
α
+
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ac\cos \beta -bc\cos \alpha +ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma \,}
,
որը կարելի է պարզեցնել հետևյալ տեսքի.
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
.
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\,}
Այս ապացուցման հարմարությունն այն է, որ կարիք չկա առանձին դիտարկել սուր և բութ γ անկյան դեպքերը։
Ապացույց վեկտորների օգտագործմամբ
խմբագրել
Թեորեմը կարելի է ապացուցել՝ օգտվելով վեկտորների գումարման կանոնից և վեկտորների սկալյար արտադրյալի բանաձևից
b
→
⋅
c
→
=
‖
b
→
‖
‖
c
→
‖
cos
θ
{\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta }
։
Նկար 2 — Վեկտորական եռանկյուն
Նկար 2-ից երևում է, որ
a
→
=
b
→
−
c
→
,
{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}-{\vec {c}}\,,}
։
Հաշվի առնելով դա՝
‖
a
→
‖
2
=
‖
b
→
−
c
→
‖
2
=
(
b
→
−
c
→
)
⋅
(
b
→
−
c
→
)
=
‖
b
→
‖
2
+
‖
c
→
‖
2
−
2
b
→
⋅
c
→
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}\\&=({\vec {b}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {c}})\\&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}.\end{aligned}}}
։
Այսպիսով, ստացանք
‖
a
→
‖
2
=
‖
b
→
‖
2
+
‖
c
→
‖
2
−
2
‖
b
→
‖
‖
c
→
‖
cos
(
θ
)
,
{\displaystyle \Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos(\theta ),\,}
որը համարժեք է կոսինուսների թեորեմի հավասարմանը։