Կոսինուսների թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան կողմերի երկարությունների և երկու կողմերի միջև ընկած անկյան կոսինուսի միջև։

Եռանկյուն

Թեորմի ձևակերպումը.

Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը՝
։

Այն հանդիսանում է Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակը։ Երբ γ անկյունը ուղիղ է (90° կամ π/2 ռադիան), կոսինուսների թեորեմը վերածվում է Պյութագորասի թեորեմին.

Եռանկյան տարբեր կողմերի միջև ընկած անկյունները ընտրելիս՝ այն կստանա հետևյալ տեսքը.

։

Ապացույց եռանկյունաչափական մեթոդով

խմբագրել
 
Նկար 1

c կողմին ուղղահայաց տարեք (Նկար 1). այդ դեպքում

 

Երկու կողմերը բազմապատկելով c-ով՝, կստանաք

 

Մյուս ուղղահայացները տանելով՝ կստանաք

 
 

Վերջին երկու հավասարությունները գումարելով՝ կստանաք

 

Առաջին հավասարումը երկրորդ հավասարումից հանելով՝ կստանանք

 ,

որը կարելի է պարզեցնել հետևյալ տեսքի.

 

Այս ապացուցման հարմարությունն այն է, որ կարիք չկա առանձին դիտարկել սուր և բութ γ անկյան դեպքերը։

Ապացույց վեկտորների օգտագործմամբ

խմբագրել

Թեորեմը կարելի է ապացուցել՝ օգտվելով վեկտորների գումարման կանոնից և վեկտորների սկալյար արտադրյալի բանաձևից

 ։
 
Նկար 2 — Վեկտորական եռանկյուն

Նկար 2-ից երևում է, որ

 ։

Հաշվի առնելով դա՝

 ։

Այսպիսով, ստացանք

 

որը համարժեք է կոսինուսների թեորեմի հավասարմանը։