Բացել գլխավոր ցանկը

Սկալյար արտադրյալ (երբեմն՝ ներքին արտադրյալ), գործողություն երկու վեկտորների միջև. արդյունքը թիվ է, (երբ դիտարկվում են վեկտորներ, թվերը հաճախ անվանվում են սկալյարներ) որը կախված չէ կոորդինատային համակարգից և բնութագրում է վեկտոր-արտադրիչների երկարություններն ու անկյունը դրանց միջև: Տրված գործողությանը համապատասխանում է x վեկտորի երկարության բազմապատկումը x վեկտորի վրա y վեկտորի պրոյեկցիայով: Այս գործողությունը սովորաբար դիտարկվում է որպես տեղափոխական և գծային ըստ յուրաքանչյուր արտադրիչի:

Սովորաբար օգտագործվում է հետևյալ նշանակումներից մեկը.

,
,
,

(կամ Դիրակի նշանակումը[1]), որը հաճախ օգտագործվում է քվանտային մեխանիկայում

.

Սովորաբար ենթադրվում է, որ սկալյար արտադրյալը որոշված է դրականորեն, այսինքն՝

բոլոր a-երի համար ().

Հակառակ դեպքում արտադրյալը կոչվում է ինդեֆինիտ կամ անորոշ:

ՍահմանումԽմբագրել

  վեկտորական տարածությունում կոմպլեքս թվերի   (կամ իրական թվերի  ) դաշտի նկատմամբ սկալյար արտադրյալ կոչվում է   ֆունկցիան, որը որոշված է   ցանկացած տարրերի համար և ընդունում է արժեքներ   - ում (կամ  -ում): Ֆունկցիան բավարարում է հետևյալ պայմաններին.

  1.   տարածության ցանկացած երեք   և   տարրերի և  -ի (կամ  -ի) ցանկացած   թվերի համար ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը.  ;
  2. ցանկացած   և  -ի համար ճիշտ է   հավասարությունը;
  3. ցանկացած  -ի համար ունենք  , ընդ որում

  միայն   դեպքում:

Հանրահաշվական սահմանումԽմբագրել

n-աչափ իրական տարածությունում a = [a1, a2, ..., an] և b = [b1, b2, ..., bn] երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը սահմանվում է ինչպես.[2]

 :

Օրինակ, եռաչափ տարածությունում [1, 3, −5] և [4, −2, −1] վեկտորների արտադրյալը կհաշվարկվի այսպես.

 

a = [a1, a2, ..., an] և b = [b1, b2, ..., bn] կոմպլեքս վեկտորների համար սկալյար արտադրյալը կլինի.

 :

Օրինակ,  

Երկրաչափական սահմանումԽմբագրել

== Օրինակներ ==AB վեկտորի և BC վեկտորի սկալյար արտադրյալ

ՀատկություններԽմբագրել

 
  • Անկյունը վեկտորների միջև.
     
  • Վեկտորների կազմած անկյան գնահատումը.
      բանաձևում նշանը որոշվում է միայն անկյան կոսինուսով (նորմաները միշտ դրական են): Այդ պատճառով սկալյար արտադրյալը > 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը սուր է, և < 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը բութ է:
  •   վեկտորի պրոյեկցիան   միավոր վեկտորով սահմանված ուղղության վրա.
     , քանի որ  
  •   և   վեկտորների օրթոգոնալության (ուղղահայացության) պայմանը.
 
  •   և   երկու վեկտորներով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է.
 

Կոշի - Բունյակովսկու անհավասարությունԽմբագրել

Գծային տարածության ցանկացած   և   էլեմենտների համար տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը [1]

 :

ՊատմությունԽմբագրել

Սկալյար արտադրյալը ներմուծվել է Ուիլյամ Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին[3], վեկտորական արտադրյալի հետ միաժամանակ, կապված քվատերնիոնների հետ, համապատասխանաբար ինչպես երկու այնպիսի քվատերնիոնների արտադրյալի սկալյար և վեկտորական մասեր, որոնց սկալյար մասը հավասար է զրոյի[4]:


Տես նաևԽմբագրել

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Бра и кет
  2. S. Lipschutz, M. Lipson (2009)։ Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th ed.)։ McGraw Hill։ ISBN 978-0-07-154352-1 
  3. Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101
  4. Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. —London, 1846. — Т. 29. — С. 30.