Գծային արտապատկերում

Գծային արտապատկերում - փաստարկների և արժեքների ավելի ընդհանուր շարքի համար գծային թվային ֆունկցիայի ընդհանրացում (ավելի հստակ՝ ) տեսքի ֆունկցիաներ:

Գծային արտապատկերումը, ի տարբերություն ոչ գծայինի, բավականին լավ ուսումնասիրված է, ինչը հնարավորություն է տալիս այն հաջողությամբ կիրառել ընդհանուր տեսության վրա, քանի որ նրանց հատկությունները կախված չեն մեծություններից:

Գծային օպերատորը (ձևափոխումը) հանդիսանում է իր վրա վեկտորային տարածության գծային արտապատկերման մասնավոր դեպք։[1]

Ֆորմալ սահմանումըԽմբագրել

  վեկտորային տարածության գծային արտապատկերումը   դաշտի վրա   վեկտորային տարածությունում նույն   դաշտի համար (գծային օպերատոր  -ից  ) կոչվում է արտապատկերում՝

 ,

որը բավարարում է գծային պայմանին[2]՝

 ,
 .

ցանկացած   և  ։

Եթե   և   միևնույն վեկտորային տարածություններ են, ապա  -ը ոչ թե գծային արտապատկերում է, այլ գծային ձևափոխություն։

Եթե կատարվում է միայն առաջին հատկությունը, այդ դեպքում նման արտապատկերումը կոչվում է ադդիտիվ։

Գծային արտապատկերումների տարածությունԽմբագրել

Եթե   հիմնական դաշտից սկալյարների գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանենք որպես․

  •  
  •  

ապա  -ից   բոլոր գծային արտապատկերումների բազմությունն իրենից կներկայացնի վեկտորային տարածություն, որը սովորաբար նշանակվում է  -ով։

Սահմանափակ գծային օպերատորներ։ Օպերատորի նորմա։Խմբագրել

Եթե   և   վեկտորային տարածությունները հանդիսանում եմ տեղագրական տարածություններ, այսինքն, նրանց վրա որոշված են տեղագրություններ, որոնց նկատմամբ այդ տարածությունների գործողությունները անընդհատ են, ապա կարելի է որոշել սահմանափակ օպերատորի հասկացությունը – գծային օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն սահմանափակ բազմությունը տեղափոխում է սահմանափակին (մասնավորապես, բոլոր անընդհատ օպերատորները սահմանափակ են): Մասնավորապես, նորմավորված տարածություններում բազմությունները սահմանափակ են, եթե նրա յուրաքանչյուր տարի նորման սահանափակ է, հետևաբար, այս դեպքում օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե գոյություն ունի   թիվ այնպիսի, որ  : Կարելի է ցույց տալ, որ նորմավորված տարածությունների դեպքում օպերատորների անընդհատությունը և սահմանափակությունը համարժեք են։   հաստատուններից ամենափոքրը, որը բավարարում է վերևում նշված պայմանին, կոչվում է օպերատորի նորմա 

Օպերատորի նորմայի հասկացության ներմուծումը հնարավորություն կտա դիտարկել գծային օպերատորների տարածությունը որպես նորմավորված գծային տարածություն (կարելի է ստուգել համապատասխան ակսիոմների կատարումը ներմուծված նորմայի համար): Եթե   տարածությունը բանախովյան է, ապա գծային օպերատորների տարածությունը նույնպես բանախովյան է։

Հակադարձ օպերատորԽմբագրել

  օպերատորը կոչվում է հակադարձ   գծային օպերատորին, եթե տեղի ունի․  ։

  օպերատորը, որը հակադարձ է   գծային օպերատորին, նույնպես հանդիսանում է գծային օպերատոր։ Եթե   -ն գծային անընդհատ օպերատոր է, որն արտապատկերում է մի բանախովյան տարածությունը (կամ  -տարածություն) մյուսին, ապա հակադարձ օպերատորը նույնպես հանդիսանում է անընդհատ գծային օպերատոր։

Գծային արտապատկերմանԽմբագրել

Գծային արտապատկերման – մատրից, որն արտահայտում է գծային արտապատկերում ինչ-որ բազիսում։ Որպեսզի այն ստանանք, անհրաժեշտ է ներազդել արտապատկերմամբ վեկտորների բազիսի վրա և ստացված վեկտորների (բազիսային վեկտորների պատկերներ) կոորդինատները գրել մատրիցի սյուներում։

Արտապատկերման մատրիցը նման է վեկտորի կոորդինատներին։ Այդ դեպքում վեկտորի վրա արտապատկերման գործողությունը հավասարազոր է մատրիցի և նույն բազիսում այդ վեկտորի կոորդինատի սյան արտադրյալին։

Ընտրենք   բազիսը։ Դիցուք  -ը կամայական վեկտոր է։ Այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ բազիսով՝

 ,

որտեղ    վեկտորի կոորդինատն է նշված բազիսում։ Այստեղ, և հետագայում, առաջարկվում է միավորել ըստ համր ինդեկսների։ Դիցուք  -ն ցանկացած գծային արտապատկերում է։ Ներազդելով նախորդ հավասարման վրա երկու կողմերից, կստանանք՝

 ։

  վեկտորը նույնպես ներկայացնենք նշված բազիսում, կստանանք՝

 ,

որտեղ    -րդ վեկտորի  -րդ կոորդինատը է։ Նախորդ բանաձևում տեղադրելով ընդլայնում, կստանանք՝

 ։

  արտահայտությունը, որն ընդգրկված է փակագծերի մեջ, նունն է, ինչ որ մատրիցի և սյան արտադրյալը։ Այսպիով,   մատրիցը   սյան հետ բազմապատկելիս արդյունքում կստացվի   վեկտորի կոորդինատը, որն առաջանում է   վեկտորի վրա   օպերատորի գործողության արդյունքում, ինչն էլ պետք էր ստանալ։

  Մեկնաբանություն՝ Եթե ստացված մատրիցում տեղերով փոխարինենք մի քանի տողեր և սյուներ, այդ դեպքում, ընդհանրապես ասած, կստանանք արդեն մեկ այլ մատրից, որը համապատասխանում է   բազիսային էլեմենտների հավաքածուին։ Այլ խոսքերով, առաջարկվում է խստորեն պահել բազիսային էլեմենտների հաջորդականությունը։

Փոխակերպման օրինակԽմբագրել

 
Վեկտորները ներկայացված են որպես 2 x 2 մատրից, ձևավորված միավոր քառակուսու համապատասխան կողմերով, ձևափոխված զուգահեռակողմի։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ տեսքի 2×2 չափի մատրիցը՝

 

այն կարող է դիտարկվել որպես մատրից ձևափոխված միավոր քառակուսուց (0, 0), (a, b), (a + c, b + d) և (c, d) գագաթներով զուգահեռակողմի։ Զուգահեռակողմը, որը ցույց է տրված աջ կողմում, ստացվում է 'A մատրիցի և   ու   վեկտոր-սյուների արտադրյալի արդյունքում։ Այս վեկտորները համապատասխանում են միավոր քառակուսու գագաթներին։ Հաջորդ աղյուսակում բերված են 2 × 2 չափի մատրիցի օրինակներ իրական թվերի համար նրանց համապատասխան R2 գծային ձևափոխության։ Կապույտ գույնով նշանակված են ցանցի սկզբնական կոորդինատները, իսկ կանաչով՝ փոխակերպված։ Կոորդինատների (0,0) սկզբնակետը նշված է սև կետով։

Հորիզոնական տեղաշարժ[en] (m=1.25) Հորիզոնական արտապատկերում Սեղմում[en] (r=3/2) Երկրաչափություն (3/2) Պտույտ (π/6R = 30°)
         
         

Կարևոր մասնավոր դեպքերԽմբագրել

  • Գծային տեսք — գծային արտապատկերում, որի համար  :
         ։
  • Գծային էնդոֆորմիզմ — գծային արտապատկերում, որի համար  (օպերատոր):
         ։
  • Նույնական օպերատոր (միակ օպերատոր)—   օպերատոր, որը արտապատկերում է տարածության յուրաքանչյուր էլեմենտ իր վրա։ Այդ օպերատորի նորման հավասար է մեկի (նորմավորված տարածությունների համար)։
  • Զրոյական արտապատկերում — օպերատոր, որը ձևափոխում է  -ի յուրաքանչյուր էլեմենտ  -ի զրոյական էլեմենտի։
  • Պրոյեկտոր — օպերատոր, որը ենթատարածության վրա համեմատում է յուրաքանչյուր  -ին իր պրոյեկցիայի հետ։
  • Համակցված արտապատկերում   արտապատկերմանը —   -ի վրա արտապատկերում, տրված   հարաբերակցությամբ։
  • Ինքնահամակցված օպերատոր — օպերատոր հիլբերտյան տարածության վրա, որը համընկնում է իր համակցված օպերատորի հետ։ Հաճախ այդպիսի օպերատորները անվանում են հիպերմաքսիմալ էրմիտիկ։
  • Էրմիտիկ կամ սիմետրիկ օպերատոր — այնպիսի   օպերատոր, որը որոշված է հիլբերտյան ենթատարածության վրա։   որոշման տիրույթի բոլոր   զույգերի համար  ։ Ամենուրեք որոշված բոլոր օպերատորների համար այդ հատկությունը համընկնում է ինքնահամակցման հետ։
  • Ունիտար օպերատոր — օպերատոր, որի որոշման և արժեքների տիրույթը ամբողջ տարածությունն է, որը պահպանում է   սկալյար արտադրյալը։ Մասնավորապես, ունիտար օպերատորը պահպանում է ցանկացած   վեկտորի նորման։ Ունիտարին հակադարձ օպերատորը համընկնում է   համակցված օպերատորի հետ։ Ունիտար օպերատորի նորման հավասար է 1-ի։ К իրական դաշտի դեպքում ունիտար օպերատորը կոչվում է օրթոգոնալ։

Առնչվող հասկացություններԽմբագրել

  • Գծային արտապատկերման   միջուկ է կոչվում   ենթաբազմությունը, որը արտապատկերվում է զրոյի:
 
Գծային արտապատկերման միջուկը ձևավորում է ենթատարածություն գծային   տարածությունում։
  •   գծային արտապատկերման պատկեր կոչվում է հետևյալ   ենթաբազմությունը՝
     
    Գծային արտապատկերման պատկերը ձևավորում է ենթատարածություն   գծային տարածությունում։
  •   [3] ենթաբազմության պատկեր   գծային փոխակերպուման նկատմամբ կոչվում է   բազմությունը։
  •   և   գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը   գծային   տարածքին կոչվում է բիգծային, եթե այն գծային է նրա երկու արգումենտներով։   մեծ թվերի գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը կոչվում է բազմագծային, եթե այն գծային է իր բոլոր արգումենտներով։
  •   օպերատորը կոչվում է գծային տարասեռ (կամ աֆինացված), եթե այն ունի այսպիսի տեսք՝
     
որտեղ   գծային օպերատոր է, իսկ  -ն՝ վեկտոր։
  • Դիցուկ  ։   ենթատարածությունը կոչվում է ինվարիանտ գծային արտապատկերման նկատմամբ, եթե  [4]
Ինվարիանտության չափանիշը։ Դիցուկ  -ն այնպիսի ենթատարածություն է, որ   տրոհվում է   ուղիղ գումարին: Այդ դեպքում   ինվարիանտ է   գծային արտապատկերման նկատմամբ այն և միայն այն դեպքում, երբ  , որտեղ  պրոյեկտոր   ենթատարածության վրա։
  • Ֆակտոր-օպերատորներ[5]։ Դիցուկ  -ը գծային օպերատոր է և դիցուկ  -ը ինչ-որ ինվարիանտ է այդ ենթաբազմության օպերատորի նկատմամբ։ Ձևավորենք ֆակտոտարածություն   ըստ   ենթատարածության։ Այդ դեպքում ֆակտոր-օպերատորը կոչվում է   օպերատորը, որը կիրառվում է  -ի վրա   կանոնով, որտեղ  -ը ֆակտոտարածության դասից է և պարունակում է  -ը։
  • Երկակի տարածությունների մեջ տրված է դեպի հակառակ ուղությունը գնացող երկակի արտապատկերում։

ՕրինակներԽմբագրել

Միատար գծային օպերատորների օրինակներ՝

  • դիֆերենցացման օպերատոր՝  ;
  • ինտեգրման օպերատոր՝  ;
  • որոշակի ֆունկցիայի վրա բազմապատկման օպերատոր՝  ;
  • տրված «կշռով» ինտեգրացման օպերատոր՝  ;
  •   կետում   ֆունկցիայի արժեքի հաշվման օպերատոր՝  [6];
  • վեկտորի և մատրիցի արտադրյալի օպերատոր՝  ;
  • վեկտորի շրջադարձի օպերատոր։

Ոչ միատարր գծային օպերատորների օրինակներ՝

  • ցանկացած աֆինյան արտապատկերումներ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;

որտեղ  ,   և  -ն որոշակի ֆունկցիաներ են, իսկ  -ն օպերատորի կողմից փոխակերպված ֆունկցիա։

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Э.Б. Винберг Курс алгебры. — МЦНМО, 2013. — С. 234. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-0209-8, ББК 22.14
  2. Шилов, 1961, էջ 203
  3. M-ը կարող է չլինել ենթատարածություն։
  4. Կամ:  ։
  5. Օգտագործվում է նաև ֆակտորօպերատորներ գրառումը։
  6. Որոշ դեպքերում նշանակվում է  -ով։