Հիլբերտյան տարածություն

Հիլբերտյան տարածություն, արդի մաթեմատիկայի կարևոր հասկացություններից մեկը։ Ձևավորվել է 20-րդ դարի սկզբին, գերմանացի մաթեմատիկոս Դավիթ Հիլբերտի աշխատություններում արտահայտված գաղափարների ազդեցությամբ։ Հիլբերտյան տարածություն սահմանման մեջ հանդես եկող հիմնական հասկացությունը ներքին կամ սկալյար արտադրյալն է։ Այդպես կոչվում է այն արտապատկերումը, որը կոմպլեքս (կամ իրական) գծային տարածության տարրերի (վեկտորների) յուրաքանչյուր զույգին համապատասխանեցնում է կոմպլեքս (իրական) թիվ և -ի կամայական տարրերի և կոմպլեքս (իրական) թվի համար բավարարում է հետևյալ պայմաններին՝

  1. , ընդ որում միայն դեպքում,
  2. ,
  3. ,
  4. եթե , ապա , այսինքն՝ :
Տատանվող լարը կարող է դիտարկվել որպես Հիլբերտյան տարածության կետ։

և մեծությունները համապատասխանաբար որոշում են և վեկտորների միջև հեռավորությունը և վեկտորի երկարությունը (նորմը), որոնց միջոցով -ում ներմուծվում է մետրիկական ու նորմավորված տարածությունների կառուցվածք։ Ներքին արտադրյալով օժտված գծային տարածությունը, որը լրիվ է որպես մետրիկական տարածություն, կոչվում է հիլբերտյան տարածություն։ Հիլբերտյան տարածությունը էվկլիդեսյան տարածության հասկացության լայն ընդհանրացումն է։ Հիլբերտյան տարածության կարևոր օրինակ է հաջորդականությունների գծային տարածությունը՝ ներքին արտադրյալով։

Սեպարաբել հիլբերտյան տարածությունը պարունակում է օրթոնորմավորված բազիս, այսինքն՝ տարրերի այնպիսի համակարգ , որի կամայական տարր ունի միարժեք ներկայացում՝ , որտեղ -երը թվեր են, իսկ շարքը զուգամիտում է -ի նորմով։ Վերը նշված տարածությունը սեպարաբել է, որում օրթոնորմալ բազիս է, օրինակ, վեկտորների համակարգը։ Հիլբերտյան տարածությունների իզոմորֆիզմ ասելով հասկանում են գծային կառուցվածքը և ներքին արտադրյալը պահպանող փոխմիարժեք համապատասխանությունը։ Բոլոր սեպարաբել հիլբերտյան տարածությունները իզոմորֆ են։ Հիլբերտյան տարածության կիրառությունների ոլորտը ապահովվում է, առաջին հերթին, հիլբերտյան տարածությունում գծային օպերատորների խոր և բովանդակալից տեսությամբ, որը լայնորեն օգտագործվում է մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի բազմաթիվ բնագավառներում՝ դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հավասարումների տեսությունում, ֆունկցիոնալ անալիզում, քվանտային մեխանիկայում ևս։

Տես նաև

խմբագրել
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 6, էջ 403