Սահման (մաթեմատիկա)

HS Disambig.svg Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ սահման (այլ կիրառումներ)

Սահման, արժեք մաթեմատիկայում, որին ֆունկցիան կամ հաջորդականությունը «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի[1]։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտգործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ անընդհատությունը, ածանցյալը և ինտեգրալը։

Հաջորդականության սահմանի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է կատեգորիաների տեսության սահմանի և ուղիղ սահմանի հետ։

Բանաձևերու ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝

և կարդացվում է « ֆունկցիայի սահմանը, երբ -ը ձգտում է -ի հավասար է -ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝

։

Ֆունկցիայի սահմանԽմբագրել

 
Whenever a point x is within a distance δ of c, the value f(x) is within a distance ε of L.
 
For all x > S, the value f(x) is within a distance ε of L.

Ենթադրենք  -ը իրական ֆունկցիա է իսկ  -ն՝ իրական թիվ։ Հետևյալ արտահայտությունը

 

ինտուիտիվ նշանակում է, որ   ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ  -ին՝   թիվը  -ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ «  ֆունկցիայի սահմանը, երբ  -ը ձգտում է  -ի հավասար է  -ի»։

1821 թվականի Օգյուստեն Լուի Կոշին[2], հետագայում Կառլ Վայերշտրասը ձևակերպել են ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, որ այժմ հայտնի է սահմանի (ε, δ) սահմանում անվամբ։ Այս սահմանումը օգտագործում է հունարենի փոքրատառ ε տառը՝ կամայական դրական փոքր թիվ ներկայացնելու համար, հետևաբար՝   ֆունկցիան կամայական չափով մոտենում է  -ին նշանակում է, որ   ֆունկցիան, ի վերջո, գտնվում է   միջակայքում, ինչը նաև կարելի է գրառել բացարձակ արժեքի նշանակմամբ՝  [2] Այս դեպքում « -ը ձգտում է  -ին» արտահայտությունը նշանակում է, որ մենք նկատի ունենք  -ի այն արժեքները, որոնց հեռավորությունը  -ից ավելի փոքր է, քան δ-ն (հունարենի այբբենարանի փոքրատառ դելտա տառը)։ Այլ կերպ ասած, այն  -երը, որոնք գտնվում են   կամ   միջակայքում, ինչը կարելի է գրել   տեսքով։ Արտահայտության առաջին անհավասարությունը   կարևոր է, քանի որ այն ցույց է տալիս, որ  [2]։

Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե  ։ Տրված   ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել   կետում։

Օրինակ, եթե

 

ուրեմն  -ը սահմանված չէ, բայց երբ  -ը ձգտում է  -ի,  -ը ձգտում է  -ի.

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.900 1.990 1.999 սահմանված չէ 2.001 2.010 2.100

Հետևաբար,  -ի արժեքը կարող է  -ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ   ընտրելու դեպքում։

Այլ կերպ ասած,  ։

Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական   թվի համար  ։

Քանի որ   ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել   արժեքը, հետևաբար՝  ։

Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝

 
  • f(100) = 1.9900
  • f(1000) = 1.9990
  • f(10000) = 1.99990

Շատ մեծ   արժեքների դեպքում   ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ   ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ  -ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝

 ։

Հաջորդականության սահմանԽմբագրել

Ենթադրենք  իրական թվերի հաջորդականություն է։ Ասում են, որ   իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե

 ,

որը կարդում են՝ which is read as

  հաջորդականությանը սահմանը, երբ  -ը ձգտում է անվերջության,   է։

Այս արտահայտությունը նշանակում է, որ

Կամայական   իրական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի   բնական թիվ, որ բոլոր   թվերի համար ճիշտ է   արտահայտությունը։

Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ   բացարձակ արժեքը  -ի և  -ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են զուգամետ հաջորդականություններ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։

Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝   հաջորդականության սահմանը, երբ  -ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ   բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Stewart James (2008)։ Calculus: Early Transcendentals (6th ed.)։ Brooks/Cole։ ISBN 978-0-495-01166-8 
  2. 2,0 2,1 2,2 Larson Ron, Edwards Bruce H. (2010)։ Calculus of a single variable (Ninth ed.)։ Brooks/Cole, Cengage Learning։ ISBN 978-0-547-20998-2 

Արտաքին հղումներԽմբագրել