Սահման (մաթեմատիկա)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ սահման (այլ կիրառումներ)

Տես նաև՝ հաջորդականության սահման և ֆունկցիայի սահման։

Սահման, արժեք մաթեմատիկայում, որին ֆունկցիան կամ հաջորդականությունը «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի^[1]։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտագործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ անընդհատությունը, ածանցյալը և ինտեգրալը։

Հաջորդականության սահմանի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է կատեգորիաների տեսության սահմանի և ուղիղ սահմանի հետ։

Բանաձևերու ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝

\lim _{x\to c}f(x)=L,

և կարդացվում է « $f(x)$ ֆունկցիայի սահմանը, երբ $x$ -ը ձգտում է $c$ -ի հավասար է $L$ -ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝

f(x)\to L{\text{ as }}x\to c

։

Ֆունկցիայի սահման խմբագրել

Whenever a point

x

is within a distance

δ

of

c

, the value

f (x)

is within a distance

ε

of

L

.

For all

x > S

, the value

f (x)

is within a distance

ε

of

L

.

Ենթադրենք $f$ -ը իրական ֆունկցիա է իսկ $c$ -ն՝ իրական թիվ։ Հետևյալ արտահայտությունը

\lim _{x\to c}f(x)=L

ինտուիտիվ նշանակում է, որ $f(x)$ ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ $L$ -ին՝ $x$ թիվը $c$ -ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ « $f(x)$ ֆունկցիայի սահմանը, երբ $x$ -ը ձգտում է $c$ -ի հավասար է $L$ -ի»։

1821 թվականի Օգյուստեն Լուի Կոշին^[2], հետագայում Կառլ Վայերշտրասը ձևակերպել են ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, որ այժմ հայտնի է սահմանի (ε, δ) սահմանում անվամբ։ Այս սահմանումը օգտագործում է հունարենի փոքրատառ ε տառը՝ կամայական դրական փոքր թիվ ներկայացնելու համար, հետևաբար՝ $f(x)$ ֆունկցիան կամայական չափով մոտենում է $L$ -ին նշանակում է, որ $f(x)$ ֆունկցիան, ի վերջո, գտնվում է $(L-\epsilon ,L+\epsilon )$ միջակայքում, ինչը նաև կարելի է գրառել բացարձակ արժեքի նշանակմամբ՝ $|f(x)-L|<\epsilon$ ^[2] Այս դեպքում « $x$ -ը ձգտում է $c$ -ին» արտահայտությունը նշանակում է, որ մենք նկատի ունենք $x$ -ի այն արժեքները, որոնց հեռավորությունը $c$ -ից ավելի փոքր է, քան $δ$ -ն (հունարենի այբբենարանի փոքրատառ դելտա տառը)։ Այլ կերպ ասած, այն $x$ -երը, որոնք գտնվում են $(c-\delta ,c+\delta )$ կամ $(c,c+\delta )$ միջակայքում, ինչը կարելի է գրել $0<|x-c|<\delta$ տեսքով։ Արտահայտության առաջին անհավասարությունը $0<|x-c|$ կարևոր է, քանի որ այն ցույց է տալիս, որ $x\neq c$ ^[2]։

Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե $f(c)\neq L$ ։ Տրված $f$ ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել $c$ կետում։

Օրինակ, եթե

f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}

ուրեմն $f(1)$ -ը սահմանված չէ, բայց երբ $x$ -ը ձգտում է $1$ -ի, $f(x)$ -ը ձգտում է $2$ -ի.

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	սահմանված չէ	2.001	2.010	2.100

Հետևաբար, $f(x)$ -ի արժեքը կարող է $2$ -ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ $x$ ընտրելու դեպքում։

Այլ կերպ ասած, $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2$ ։

Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական $x$ թվի համար ${\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1$ ։

Քանի որ $x+1$ ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել $x=1$ արժեքը, հետևաբար՝ $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2$ ։

Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝

f(x)={2x-1 \over x}

f(100) = 1.9900
f(1000) = 1.9990
f(10000) = 1.99990

Շատ մեծ $x$ արժեքների դեպքում $f(x)$ ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ $f(x)$ ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ $x$ -ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝

\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2

։

Հաջորդականության սահման խմբագրել

Ենթադրենք $a_{1},a_{2},...$ -ը իրական թվերի հաջորդականություն է։ Ասում են, որ $L$ իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե

\lim _{n\to \infty }a_{n}=L

,

որը կարդում են՝

a_{n}

հաջորդականությանը սահմանը, երբ

n

-ը ձգտում է անվերջության,

L

է։

Այս արտահայտությունը նշանակում է, որ

Կամայական

\epsilon >0

իրական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի

N

բնական թիվ, որ բոլոր

n>N

թվերի համար ճիշտ է

|a_{n}-L|<\epsilon

արտահայտությունը։

Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ $|a_{n}-L|$ բացարձակ արժեքը $a_{n}$ -ի և $L$ -ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են զուգամետ հաջորդականություններ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։

Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝ $a_{n}$ հաջորդականության սահմանը, երբ $n$ -ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ $n$ բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։

Ծանոթագրություններ խմբագրել

↑ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.

Արտաքին հղումներ խմբագրել

Weisstein, Eric W., "Limit", MathWorld.
Mathwords: Limit,

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Սահման (մաթեմատիկա)» հոդվածին։

[1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.

[Larson-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.

[1]

[2]