Ածանցյալ

Ֆունկցիայի ածանցյալ, ֆունկցիայի հետազոտման տարր, դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական հասկացություններից, որ բնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը տվյալ կետում։

Ֆունկցիայի գրաֆիկը և ածանցյալը այդ կետում

Ածանցյալը ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության սահմանն է, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի։ Ածանցյալի հաշվման գործողությունը կոչվում է դիֆերենցում, իսկ հակադարձ գործողությունը՝ ինտեգրում։

Ֆունկցիայի ածանցելիություն

• $f$ ֆունկցիան ածանցելի է $X_{0}$ կետում, եթե կամայական $h_{n}$ անվերջ փոքրի համար զուգամետ է ${\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}$ հաջորդականությունը։
• Եթե $f$ ֆունկցիան ածանցելի է $X_{0}$ կետում, ապա ${\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}$ հաջորդականության սահմանն անվանում են $f$ ֆունկցիայի ածանցյալ $x_{0}$ կետում և նշանակում $f'(x_{0})$ (կարդացվում է՝ էֆ շտրիխ $x_{0}$)

$f'(x_{0})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}$։

Դիցուք $D$-ն այն բազմությունն է, որին պատկանող կետերում $y=f(x)$ ֆունկցիան ածանցելի է։ Այդ բազմության յուրաքանչյուր $x$ կետի համապատասխանեցնելով $f'(x)$ թիվը, կստանանք $D$ բազմության վրա որոշված ֆունկցիա։ Այդ ֆունկցիան անվանում են $y=f(x)$ ֆունկցիայի ածանցյալ և նշանակում՝ $f'$ կամ $y'$։

Ածանցյալի ֆիզիկական իմաստները

• $s(t)$ օրենքով ուղղագիծ շարժվող մարմնի $V(t)$ արագությունը ժամանակի $t$ պահին հավասար է $s(t)$ ֆունկցիայի ածանցյալին՝

$V(t)=s'(t)$։

• Եթե ուղղագիծ շարժվող մարմնի արագությունը փոխվում է $V(t)$ օրենքով, ապա նրա $a(t)$ արագացումը ժամանակի $t$ պահին հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալին՝

$a(t)=V'(t)$

Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը

$f(x)=a$ հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած $x_{0}$ կետի և կամայական $h_{n}$ անվերջ փոքրի համար՝

${\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {a-a}{h_{n}}}=0:$

Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը զրոն է։

Գծային ֆունկցիայի ածանցյալը

Օրինակ  

Գտնենք $f(x)=6x+1$ գծային ֆունկցիայի ածանցյալը։

${\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {6(x+h_{n})+1-6x-1}{h_{n}}}\rightarrow 6:$

Հետևաբար, $(6x+1)'=6$։

$f(x)=kx+b$ գծային ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած $x_{0}$ կետի և կամայական $h_{n}$ անվերջ փոքրի համար՝

${\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {k(x+h_{n})+b-kx-b}{h_{n}}}=k:$

Հետևաբար, $(kx+b)'=k$։

Քառակուսային ֆունկցիայի ածանցյալը

Օրինակ  

Գտնենք $f(x)=4x^{2}$ քառակուսային ֆունկցիայի ածանցյալը։

${\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {(4x+h_{n})^{2}-(4x)^{2}}{h_{n}}}=4\cdot 2x+h_{n}\rightarrow 8x:$

Հետևաբար՝ $(4x^{2})'=8x$։

$f(x)=x^{2}$ ֆունկցիայի ածանցյալը՝

${\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {(x+h_{n})^{2}-x^{2}}{h_{n}}}=2x+h_{n}\rightarrow 2x:$

Հետևաբար՝ $(x^{2})'=2x$։

Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը

Օրինակ  

Գտնենք $f(x)={\frac {1}{5x}}$ հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը։

${\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {{\frac {1}{5x+h_{n}}}-{\frac {1}{5x}}}{h_{n}}}=-{\frac {1}{5x(5x+h_{n})}}\rightarrow -{\frac {1}{25x^{2}}}$

Հետևաբար՝ $f(x)=\left({\frac {1}{5x}}\right)'=-{\frac {1}{25x^{2}}}$։

$f(x)={\frac {1}{x}}$ ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր $x$ կետում՝

${\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {{\frac {1}{x+h_{n}}}-{\frac {1}{x}}}{h_{n}}}=-{\frac {1}{x(x+h_{n})}}:$

Եթե $h_{n}$-ն անվերջ փոքր է, ապա $\lim _{n\rightarrow \infty }(x+h_{n})=x$։ Կիրառելով զուգամետ հաջորդականությունների քանորդի սահմանի վերաբերյալ թեորեմը, կստանք՝

${\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}\rightarrow -{\frac {1}{x^{2}}}:$

$f(x)={\frac {1}{x}}$ ֆունկցիան ածանցելի է իր որոշման տիրույթի բոլոր կետերում և $\left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}:$

Ցուցչային ֆունկցիայի ածանցյալը

Օրինակ  

Գտնենք $f(x)={\sqrt {8x+1}}$ ցուցչային ֆունկցիայի ածանցյալը։

${\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {{\sqrt {(8x+1)+h_{n}}}-{\sqrt {(8x+1)}}}{h_{n}}}={\frac {({\sqrt {(8x+1)+h_{n}}}-{\sqrt {(8x+1)}}){\sqrt {(8x+1)+h_{n}}}+{\sqrt {(8x+1)}})}{h_{n}({\sqrt {(8x+1)+h_{n}}}+{\sqrt {(8x+1)}})}}=$

$={\frac {1}{{\sqrt {(8x+1)+h_{n}}}+{\sqrt {(8x+1)}}}}\rightarrow {\frac {1}{2{\sqrt {8x+1}}}}:$

Հետևաբար $f(x)=\left({\sqrt {8x+1}}\right)'={\frac {1}{2{\sqrt {8x+1}}}}$։

$f(x)={\sqrt {x}}$ ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր $x$ կետում՝

${\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {{\sqrt {x+h_{n}}}-{\sqrt {x}}}{h_{n}}}={\frac {({\sqrt {x+h_{n}}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h_{n}}}+{\sqrt {x}})}{h_{n}({\sqrt {x+h_{n}}}+{\sqrt {x}})}}={\frac {1}{{\sqrt {x+h_{n}}}+{\sqrt {x}}}}:$

Հաշվի առնելով, որ $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt {(x+h_{n})}}={\sqrt {x}}$, ստանում ենք՝

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$։

Հետևաբար $({\sqrt {x}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$։

Անընդհատ ֆունկցիայի թեորեմը

• Եթե ֆունկցիան ածանցելի է որևէ կետում, ապա այդ կետում ֆունկցիան անընհատ է։

Ապացուցում

Եթե $f$ ֆունկցիան ածանցելի է $x_{0}$ կետում, ապա կամայական $h_{n}$ անվերջ փոքրի համար

$\beta _{n}={\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}-f'(x_{0})$ հաջորդականությունն անվերջ փոքր է։ Այստեղից ստանում ենք ՝

$f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot h_{n}+\beta _{n}\cdot h_{n}$։

Քանի որ $h_{n}$ և $\beta _{n}$ հաջորդականություններն անվերջ փոքր են. ուրեմն $f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})$ հաջորդականությունը նույնպես անվերջ փոքր է։ Հետևաբար՝ $f$ ֆունկցիան $x_{0}$ կետում անընդհատ է։

Գումարի ածանցման կանոնը

Օրինակներ  

Գտնենք $f(x)=6x^{2}+9x$ և $(\sin x+\cos x)$ ֆունկցիաների ածանցյալը՝ գումարի ածանցման կանոնի օգնությամբ։

$f(x)=(6x^{2}+9x)'=(6x^{2})'+(9x)'=12x+9$

$(\sin x+\cos x)'=(\sin x)'+(\cos x)'=\cos x-\sin x$

• Եթե $f$ և $g$ ֆունկցիաները ածանցելի են որևէ կետում, իսկ $k$-ն հաստատուն է, ապա $k\cdot f,f+g$ և $f-g$ ֆունկցիաները նույնպես ածանցելի են այդ կետում, ընդ որում՝

$(k\cdot f)'=k\cdot f',~~~(f+g)'=f'+g',~~~(f-g)'=f'-g'$։

Ապացուցում

Դիցուք $f$ և $g$ ֆունկցիաներն ածանցելի են $x$ կետում, և $h_{n}$-ը կամայական անվերջ փոքր է։ Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների հատկություններից, ստանում ենք՝

${\frac {(f(x+h_{n})+g(x+h_{n}))-(f(x)+g(x))}{h_{n}}}={\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}+{\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}\rightarrow f'(x)+g'(x):$

Թեորեմի ֆիզիկական մեկնաբանությունը

Դիցուք գետափնյա նավամատույցից միաժամանակ սկսում են շարժվել լաստն ու շոգենավը։ Ենթադրենք ժամանակի կամայական $t$ պահին շոգենավի հեռավորությունը լաստից $s_{1}(t)$ է, իսկ լաստի հեռավորությունը նավամատույցից՝ $s_{2}(t)$ է։ Դա կնշանակի, որ շոգենավը լաստից հեռանում է $V_{1}(t)=s'_{1}(t)$արագությամբ, իսկ լաստը նավամատույցից՝ $V_{2}(t)=s'_{2}(t)$ արագությամբ։ Պարզ է, որ եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա $t$ պահին շոգենավի հեռավորությունը նավամատույցից կլինի՝$s(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)$, իսկ եթե շարժվեն հակառակ ուղղություններով, ապա՝ $s(t)=s_{1}(t)-s_{2}(t)$։ Հետևաբար, եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա շոգենավը նավամատույցից կհեռանա

$V(t)=s'(t)=s'_{1}(t)+s'_{2}(t)=V_{1}(t)+V_{2}(t)$

արագությամբ, իսկ հակառակ ուղղություններով շարժվելու դեպքում՝

$V(t)=s'(t)=s'_{1}(t)-s'_{2}(t)=V_{1}(t)-V_{2}(t)$

Արտադրյալի ածանցման կանոնը

Օրինակներ  

Գտնենք $f(x)=6x^{2}\cdot 9x$ և $(\sin x\cdot \cos x)$ ֆունկցիաների ածանցյալը՝ արտադրյալի ածանցման կանոնի օգնությամբ։

$f(x)=(6x^{2}\cdot 9x)'=(6x^{2})'\cdot (9x)+(6x^{2})\cdot (9x)'=12x\cdot (9x)+(6x^{2})\cdot 9=108x^{2}+54x^{2}=162x^{2}$

$(\sin x\cdot \cos x)'=(\sin x)'\cdot \cos x+\sin x\cdot (\cos x)'=\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot \sin x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$

• Եթե $f$ և $g$ ֆունկցիաներն ածանցելի են որևէ կետում, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև $f\cdot g$ ֆունկցիան, ընդ որում՝

$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$։

Ապացուցում

Դիցուք $f$ և $g$ ֆունկցիաներն ածանցելի են $x$ կետում, և $h_{n}$-ը կամայական անվերջ փոքր է։ Հեշտ է ստուգել, որ

$f(x+h_{n})\cdot g(x+h_{n})-f(x)\cdot g(x)=g(x+h_{n})\cdot [f(x+h_{n})-f(x)]+f(x)\cdot [g(x+h_{n})-g(x)]:$

Քանի որ $g$ ֆունկցիան $x$ կետում ածանցելի է, ուրեմն այն անընդհատ է $x$ կետում։ Հետևաբար, $\lim _{n\rightarrow \infty }g(x+h_{n})=g(x):$ Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների գումարի և արտադրյալի վերաբերյալ թեորեմից՝ երկու առնչություններից ստանում ենք.

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h_{n})\cdot g(x+h_{n})-f(x)\cdot g(x)}{h_{n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }g(x+h_{n})\cdot \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}+f(x)\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x):$

Քանորդի ածանցման կանոնը

Օրինակներ  

Գտնենք $f(x)={\frac {6x^{2}}{9x}}$ և ${\frac {2x}{\cos x}}$ ֆունկցիաների ածանցյալը՝ քանորդի ածանցման կանոնի օգնությամբ։

$f(x)=\left({\frac {6x^{2}}{9x}}\right)'={\frac {(6x^{2})'\cdot (9x)-(6x^{2})\cdot (9x)'}{(9x)^{2}}}={\frac {12x\cdot (9x)-(6x^{2})\cdot 9}{81x^{2}}}={\frac {2}{3}}$

$\left({\frac {2x}{\cos x}}\right)'={\frac {(2x)'\cdot \cos x+2x\cdot (\cos x)'}{(\cos ^{2}x)}}={\frac {2\cos x-2x\cdot \sin x}{cos^{2}x}}$

Թեորեմ 1։ Եթե $g$ ֆունկցիան ածանցելի է $x$ կետում և $g(x)\neq 0$, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև ${\frac {1}{g}}$ ֆունկցիան, ընդ որում

$\left({\frac {1}{g}}\right)'=-{\frac {g'}{g^{2}}}$։

Ապացուցում

Դիցուք $h_{n}$-ն անվերջ փոքր է։ Պարզ ձևափոխություններով ստանում ենք՝

${\frac {{\frac {1}{g(x+h_{n})}}-{\frac {1}{g(x)}}}{h_{n}}}=-{\frac {1}{g(x)g(x+h_{n})}}\cdot {\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}:$

Քանի որ $g$ ֆունկցիան ածանցելի և հետևաբար՝ անընդհատ է $x$ կետում, ուստի

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}=g'(x),~~~\lim _{n\rightarrow \infty }g(x+h_{n})=g(x):$

Թեորեմ 2։ Եթե $f$ և $g$ ֆունկցիաններն ածանցելի են $x$ կետում և $g(x)\neq 0$, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև ${\frac {f}{g}}$ ֆունկցիան, ընդ որում

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'\cdot g-f\cdot g'}{g^{2}}}$։

Ապացուցում

Օգտվելով նախորդ թեորեմից և արտադրյալի ածանցման կանոնից, ստանում ենք՝

$\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'=\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)'=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\left({\frac {1}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)}{g(x)}}+f(x)\left(-{\frac {g'(x)}{g^{2}(x)}}\right)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}:$

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը

Օրինակ  

Գտնենք $f(x)=\cos(2x^{2}+6)$ բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը։

$(\cos(2x^{2}+6))'=(2x^{2}+6)'\cdot (\cos(2x^{2}+6))'=-4x\sin(2x^{2}+6)$

Թեորեմ 1։ Եթե $t=g(x)$ ֆունկցիան ածանցելի է $x_{0}$ կետում, իսկ $y=f(t)$ ֆունկցիան՝ $t_{0}=g(x_{0})$ կետում, ապա $F=f\circ g$ ֆունկցիան ածանցելի է $x_{0}$ կետում, և

$F'(x_{0})=f'(g(x_{0}))\cdot g'(x_{0}):$

Թեորեմ 2։ Եթե $f$ ֆունկցիան ածանցելի է, ապա $F(x)=f(kx+b)$ ֆունկցիան նույնպես ածանցելի է, և

$F'(x)=k\cdot f'(kx+b):$

Ապացուցում

Դիցուք $h_{n}$-ն անվերջ փոքր է։ Այդ դեպքում անվերջ փոքր է նաև $k\cdot h_{n}$ հաջորդականությունը, ուստի

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {F(x+h_{n})-F(x)}{h_{n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(kx+kh_{n}+b)-f(kx+b)}{h_{n}}}=k\cdot \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(kx+b+kh_{n})-f(kx+b)}{kh_{n}}}=k\cdot f'(kx+b):$

Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները

• $(x^{a})'=a\cdot x^{a-1}$
• $(\sin x)'=\cos x$
• $(\cos x)'=-\sin x$
• $(\mathrm {tg} \ x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$
• $(\mathrm {ctg} \ x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$
• $(e^{x})'=e^{x}$
• $(a^{x})'=a^{x}\ln a$
• $(\ln x)'={\frac {1}{x}}$
• $(\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}$
• $(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• $(\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• $(\mathrm {arctg} \ x)'={\frac {1}{\ {1+x^{2}}}}$
• $(\mathrm {arcctg} \ x)'=-{\frac {1}{\ {1+x^{2}}}}$

Ծանոթագրություններ

Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց [1](չաշխատող հղում)