Բացել գլխավոր ցանկը
Ֆունկցիայի գրաֆիկը և ածանցյալը այդ կետում

Ֆունկցիայի ածանցյալ, ֆունկցիայի հետազոտման տարր, դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական հասկացություններից, որ բնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը տվյալ կետում։

Ածանցյալը ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության սահմանն է, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի։ Ածանցյալի հաշվման գործողությունը կոչվում է դիֆերենցում, իսկ հակադարձ գործողությունը՝ ինտեգրում։

Բովանդակություն

Ֆունկցիայի ածանցելիությունԽմբագրել

  •   ֆունկցիան ածանցելի է   կետում, եթե կամայական   անվերջ փոքրի համար զուգամետ է   հաջորդականությունը։
  • Եթե   ֆունկցիան ածանցելի է   կետում, ապա   հաջորդականության սահմանն անվանում են   ֆունկցիայի ածանցյալ   կետում և նշանակում   (կարդացվում է՝ էֆ շտրիխ  )

 ։

Դիցուք  -ն այն բազմությունն է, որին պատկանող կետերում   ֆունկցիան ածանցելի է։ Այդ բազմության յուրաքանչյուր   կետի համապատասխանեցնելով   թիվը, կստանանք   բազմության վրա որոշված ֆունկցիա։ Այդ ֆունկցիան անվանում են   ֆունկցիայի ածանցյալ և նշանակում՝   կամ  [1]։

Ածանցյալի ֆիզիկական իմաստներըԽմբագրել

  •   օրենքով ուղղագիծ շարժվող մարմնի   արագությունը ժամանակի   պահին հավասար է   ֆունկցիայի ածանցյալին՝

 ։

  • Եթե ուղղագիծ շարժվող մարմնի արագությունը փոխվում է   օրենքով, ապա նրա   արագացումը ժամանակի   պահին հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալին՝

 

Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալըԽմբագրել

  հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած   կետի և կամայական   անվերջ փոքրի համար՝

 

Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը զրոն է։

Գծային ֆունկցիայի ածանցյալըԽմբագրել

  գծային ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած   կետի և կամայական   անվերջ փոքրի համար՝

 

Հետևաբար,  ։

Քառակուսային ֆունկցիայի ածանցյալըԽմբագրել

  ֆունկցիայի ածանցյալը՝

 

Հետևաբար՝  ։

Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալըԽմբագրել

  ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր   կետում՝

 

Եթե  -ն անվերջ փոքր է, ապա  ։ Կիրառելով զուգամետ հաջորդականությունների քանորդի սահմանի վերաբերյալ թեորեմը, կստանք՝

 

  ֆունկցիան ածանցելի է իր որոշման տիրույթի բոլոր կետերում և  

Ցուցչային ֆունկցիայի ածանցյալըԽմբագրել

  ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր   կետում՝

 

Հաշվի առնելով, որ  , ստանում ենք՝

 ։

Հետևաբար  ։

Անընդհատ ֆունկցիայի թեորեմըԽմբագրել

  • Եթե ֆունկցիան ածանցելի է որևէ կետում, ապա այդ կետում ֆունկցիան անընհատ է։

ԱպացուցումԽմբագրել

Եթե   ֆունկցիան ածանցելի է   կետում, ապա կամայական   անվերջ փոքրի համար

  հաջորդականությունն անվերջ փոքր է։ Այստեղից ստանում ենք ՝

 ։

Քանի որ   և   հաջորդականություններն անվերջ փոքր են. ուրեմն   հաջորդականությունը նույնպես անվերջ փոքր է։ Հետևաբար՝   ֆունկցիան   կետում անընդհատ է։

Գումարի ածանցման կանոնըԽմբագրել

  • Եթե   և   ֆունկցիաները ածանցելի են որևէ կետում, իսկ  -ն հաստատուն է, ապա   և   ֆունկցիաները նույնպես ածանցելի են այդ կետում, ընդ որում՝

 ։

ԱպացուցումԽմբագրել

Դիցուք   և   ֆունկցիաներն ածանցելի են   կետում, և  -ը կամայական անվերջ փոքր է։ Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների հատկություններից, ստանում ենք՝

 

Թեորեմի ֆիզիկական մեկնաբանությունըԽմբագրել

Դիցուք գետափնյա նավամատույցից միաժամանակ սկսում են շարժվել լաստն ու շոգենավը։ Ենթադրենք ժամանակի կամայական   պահին շոգենավի հեռավորությունը լաստից   է, իսկ լաստի հեռավորությունը նավամատույցից՝   է։ Դա կնշանակի, որ շոգենավը լաստից հեռանում է  արագությամբ, իսկ լաստը նավամատույցից՝   արագությամբ։ Պարզ է, որ եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա   պահին շոգենավի հեռավորությունը նավամատույցից կլինի՝ , իսկ եթե շարժվեն հակառակ ուղղություններով, ապա՝  ։ Հետևաբար, եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա շոգենավը նավամատույցից կհեռանա

 

արագությամբ, իսկ հակառակ ուղղություններով շարժվելու դեպքում՝

 

Արտադրյալի ածանցման կանոնըԽմբագրել

  • Եթե   և   ֆունկցիաներն ածանցելի են որևէ կետում, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև   ֆունկցիան, ընդ որում՝

 ։

ԱպացուցումԽմբագրել

Դիցուք   և   ֆունկցիաներն ածանցելի են   կետում, և  -ը կամայական անվերջ փոքր է։ Հեշտ է ստուգել, որ

 

Քանի որ   ֆունկցիան   կետում ածանցելի է, ուրեմն այն անընդհատ է   կետում։ Հետևաբար,   Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների գումարի և արտադրյալի վերաբերյալ թեորեմից՝ երկու առնչություններից ստանում ենք.

 

Քանորդի ածանցման կանոնըԽմբագրել

Թեորեմ 1։ Եթե   ֆունկցիան ածանցելի է   կետում և  , ապա այդ կետում ածանցելի է նաև   ֆունկցիան, ընդ որում

 ։

ԱպացուցումԽմբագրել

Դիցուք  -ն անվերջ փոքր է։ Պարզ ձևափոխություններով ստանում ենք՝

 

Քանի որ   ֆունկցիան ածանցելի և հետևաբար՝ անընդհատ է   կետում, ուստի

 

Թեորեմ 2։ Եթե   և   ֆունկցիաններն ածանցելի են   կետում և  , ապա այդ կետում ածանցելի է նաև   ֆունկցիան, ընդ որում

 ։

ԱպացուցումԽմբագրել

Օգտվելով նախորդ թեորեմից և արտադրյալի ածանցման կանոնից, ստանում ենք՝

 

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալըԽմբագրել

Թեորեմ 1։ Եթե   ֆունկցիան ածանցելի է   կետում, իսկ   ֆունկցիան՝   կետում, ապա   ֆունկցիան ածանցելի է   կետում, և

 

Թեորեմ 2։ Եթե   ֆունկցիան ածանցելի է, ապա   ֆունկցիան նույնպես ածանցելի է, և

 

ԱպացուցումԽմբագրել

Դիցուք  -ն անվերջ փոքր է։ Այդ դեպքում անվերջ փոքր է նաև   հաջորդականությունը, ուստի

 

Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներըԽմբագրել

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր(11-րդ դասարան):Հեղինակներ Գ.Գ. Գևորգյան, Ա. Ա. Սահակյան

Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց [1]