Ռիմանի ինտեգրալ, մաթեմատիկական անալիզի ամենակարևոր հասկացություններից մեկը: Այն ներմուծվել է 1854 թվականին Բեռնարդ Ռիմանի կողմից և իրենից ներկայացնում է ինտեգրալի հասկացության սկզբնական ձևակերպումը:

Ռիմանի ինտեգրալի երկրաչափական իմաստը

Երկրաչափական ոչ ֆորմալ նկարագրությունԽմբագրել

 
Ռիմանի գումարի (ուղղանկյունների գումարային մակերեսը) սահմանը, փոքրագույն բաժանումների դեպքում, տալիս է ենթագրաֆիկի մակերեսը:

Ռիմանի գումարի (ուղղանկյունների գումարային մակերեսը) սահմանը, փոքրագույն բաժանումների դեպքում, տալիս է ենթագրաֆիկի մակերեսը: Ռիմանը ձևակերպեց ինտեգրալի հասկացությունը, որը մշակվել էր Նյուտոնի և Լայբնիցի կողմից՝ որպես ենթագրաֆիկի (պատկեր, որն ընկած է ֆունկցիայի գրաֆիկի և աբցիսների առանցքի միջև) մակերես:

Ռիմանը ենթագրաֆիկը դիտարկել է որպես մի քանի ուղղահայաց ուղղանկյուններից բաղկացած պատկեր, որոնց հիմքերը միասին կազմում են ամբողջ ինտեգրվող միջակայքը և այն բաժանվում է համապատասխան քանակի փոքր հատվածների:

Տրված պատկերի S մակերեսը տրված   երկարությամբ հատվածների բաժանելիս հավասար կլինի հետևյալ ինտեգրալային գումարին.

 

Եթե գոյություն ունի սահման, որին ձգտում է S(ինտեգրալային գումար) մակերեսը յուրաքանչյուր բաժանման համար, որն իրականացվել է՝ մեծագույն   -ը ձգտեցնելով զրոյի, ապա այդ սահմանը կոչվում է Ռիմանի ֆունկցիայի ինտեգրալ միջակայքում:

Ինտեգրալային գումարի միջոցովԽմբագրել

Թող, որ   միջակայքում որոշված լինի  իրական ֆունկցիան:

Դիտարկենք միջակայքի բաժանումը (մասնատում)՝  , որն իրենից ներկայացնում է միջակայքի բաժանված տարբեր հատվածների բազմությունը:

Այս մասնատումը   միջակայքը բաժանում է n հատ   միջակայքերի: Ամենամեծ միջակայքի երկարությունը՝  -ը կոչվում է բաժանման քայլ, որտեղ  -ը տարրական միջակայքի երկարությունն է:

Յուրաքանչյուր բաժանված միջակայքում նշենք մեկական կետ՝  : Ինտեգրալային գումար համարվում է հետևյալ արտահայտությունը  :

Եթե անկախ  -ի ընտրությունից, երբ բաժանման քայլը ձգտում է զրոյի, ինտեգրալային գումարը ձգտում է միևնույն թվի, ապա այդ թիվը կոչվում է   ֆունկցիայի ինտեգրալ   միջակայքում, այսինքն՝  :

Այս դեպքում,   ֆունկցիան կոչվում է ինտեգրվող (ըստ Ռիմանի)   միջակայքում, իսկ հակառակ դեպքում՝ չինտեգրվող (ըստ Ռիմանի)   միջակայքում:

ՀատկություններԽմբագրել

  1. Ոչ այլասերված լինելը.  :
  2. Դրական լինելը. եթե   ինտեգրալային ֆունկցիան ոչ բացասական է, ապա նրա ինտեգրալը   միջակայքում նույնպես ոչ բացասական է:
  3. Գծայնություն. եթե   և   ֆունկցիաներն ինտեգրելի են, և  , ապա   ֆունկցիան նույնպես ինտեգրելի է և  :
  4. Անընդհատություն. եթե  ինտեգրվող ֆունկցիան համաչափ համընկնում է   ֆունկցիայի հետ   միջակայքում, ապա   -ը ինտեգրվող է, և  : (Վերջին բանաձևը կարելի է ստանալ 1-ից 3 հատկությունների և սահմանային ֆունկցիայի ինտեգրման կիրառման միջոցով:)
  5. Միջակայքերի բաժանման ադդետիվություն (Մասերի գումարը հավասար է ամբողջին:). ընդունենք որ  :   ֆունկցիան ինտեգրվող է   միջակայքում միայն ու միայն այն դեպքում, երբ այն ինտեգրվող է   և   միջակայքերից յուրաքանչյուրում, և այդ դեպքում  :
  6. Ըստ Ռիմանի՝ ինտեգրվող ֆունկցիայի անընդհատությունը միջակայքերում (1-5 հատկությունների հետևանքը): Խզվող ֆունկցիաները կարող են լինել կամ չլինել ինտեգրվող: Ըստ Ռիմանի չինտեգրվող ֆունկցիայի օրինակ է անընդհատ խզվող Դիրիխլեյի ֆունկցիան: Ըստ Ռիմանի ինտեգրվող ֆունկցիաների Լեբեգի չափանիշները. ֆունկցիան ինտեգրվող է, ըստ Ռիմանի՝   միջակայքում միմիայն այն դեպքում, երբ այն սահմանափակ է տվյալ միջակայքում և խզման բազմաթիվ կետերում ունի զրոյական չափ (այսինքն՝ ծածկված լինեն անվերջ փոքր երկարությամբ հաշվելի ինտերվալներով):
  7. Եթե   ֆունկցիան հանդիսանում է  ֆունկցիայի նախնականը, ապա  ֆունկցիայի ինտեգրալը  միջակայքում կարելի է հաշվել Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձևով, և այն հավասար է  : (Այն ոչ միայն ըստ Ռիմանի ինտեգրալի, այլ ցանկացած ինտեգրալի ընդհանուր հատկանիշն է, որը բավարարում է 1ի-ց 5 հատկություններին): Միջակայքում անընդհատ  ֆունկցիան միշտ ունի նախնական, և յուրաքանչյուր նախնական ունի հետևյալ տեսքը՝  , որտեղ  -ն ինտեգրման հաստատունն է:

Ռիմանի ինտեգրալի գոյության անհրաժեշտ և բավարար պայմանըԽմբագրել

Որպեսզի   ֆունկցիան լինի ինտեգրվող  միջակայքում, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի   գումարը ձգտի զրոյի բաժանման   երկարության հետ: Այստեղ    ֆունկցիայի տատանումն է   հատվածում,   ֆունկցիայի   տատանումը  բազմության վրա հավասար է հետևյալ տարբերությանը՝  , բաժանման երկարությունը՝  [1]:

ՊատմությունԽմբագրել

Ինտեգրալի նման սահմանում տվել է Կոշը[2], բայց այն կիրառվում էր միայն անընդհատ ֆունկցիաների համար:

Ռիմանը 1854 թվականին (հրատարակվել է 1868 թվականին[3]:101-103, իսկ ռուսերենով՝ առաջին անգամ 1914 թվականին)[4][5] տվեց այդ սահմանումը առանց անընդհատության հաշվի առնելու:

Տես նաևԽմբագրել

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука. — С. 17
  2. Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
  3. Riemann В. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. — 1868. — Vol. 13. — P. 87-132.
  4. Риманн Б. О возможности выражения функции при помощи тригонометрического ряда // Разложение функций в тригонометрические ряды / Лежен-Дирикле, Риманн, Липщиц; Пер. Г.А. Грузинцева и С.Н. Бернштейна. — Харьков: Харьковское математическое общество, 1914. — (Харьковская математическая библиотека. Серия В; № 2).
  5. Архипов Г.И., Садовничий В.А., евич Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 186. — ISBN 5-06-003955-2

ԳրականությունԽմբագրել

  • В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.

Արտաքին հղումներԽմբագրել