Միջին թվաբանական

"Միջին թվաբանական(մաթեմատիկայում և վիճակագրությունում), միջին արժեքի բազմաձևությունն է։Սահմանվում է որպես բազմության բոլոր տարրերի գումարի հարաբերությունը նրանց քանակին։ Առաջադրվել է պյութագորասակնների կողմից(միջին երկրաչափականի և միջին հարմոնիկի հետ միաժամանակ)։ Երբ բազմության տարրերի թիվը ձգտում է անսահմանության, միջին թվաբանականը ձգտում է պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասմանը։

Ներածություն

Նշանակենք թվերի բազմությունը X = (x₁, x₂, …, x_n), ապա ընտրովի միջինը կնշանակվի փոփոխականի վրա հորիզոնական գծիկով (${\bar {x}}$, կարդացվում է «x գծիկով»).

Թվերի համախմբի միջին թվաբանականը նշանակելու համար օգտագործվում է հունական μ տառը։ Պատահական մեծության դեպքում,որի համար որոշված է միջին արժեք, μ-ն միջին հավանականն է կամ պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասումը։ Եթե X բազմությունը պատահական թվերի համախումբ է μ միջին հավանականով, ապա այդ համախմբից ցանկացած x_i ընտրության համար μ = E{x_i} հանդիսանում է այդ ընտրության մաթեմատիկական սպասումը։

Գործնականում μ-ի և ${\bar {x}}$ տարբերությունը կայանում էնրանում, որ μ-ն հանդիսանում է տիպիկ փոփոխական, քանի որ կարելի է տեսնել ընտրությունը, և ոչ թե ամբողջ համախումբը։ Այդ պատճառով էլ, եթե ընտրությունը լինի պատահական, ապա ${\bar {x}}$ (բայց ոչ μ-ն)կարելին է ներկայհացնել որպես պատահական փոփոխական։

Երկու մեծություններն էլ հաշվվում են նույն կերպ․

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})$։

Տարրական հանրահաշվում ապացուցված է, որ n + 1 թվերի միջինը մեծ է n թվերի միջինից այն և միայն այն դեպքում, երբ նոր թիվը ավելի մեծ է, քան հին միջինը, և փոքր է այն և միայն այն դեպքում, երբ նոր թիվը փոքր է միջինից, և չի փոխվում այն և միայն այն դեպքում, երբ նոր թիվը հավասար է միջինին։ Ինչքան մեծ է n-ը, այնքան հին և նոր միջին արժեքները քիչ են տարբերվում։

Նկատենք, որ գոյություն ունեն այլ «միջին արժեքներ», այդ թվում․ միջին աստիճանային, Կալմագորովի միջին, միջին հարմոնիկ, թվաբանա-երկրաչափական միջին։

Օրինակներ

• Երեք թվերի միջին թվաբանականընստանալու համար հարկավոր է դրանք գումարել և բաժանել 3-ի․

${\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.$

• Չորս թվերի միջին թվաբանականընստանալու համար հարկավոր է դրանք գումարել և բաժանել 4-ի․

${\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}$։

Անընդհատ պատահական մեծություն

Եթե գոյություն ունի մեկ փոփոխականի $f(x)$ ֆունկցիայիցծ ինտեգրալը, ապա այդ ֆունկցիայի միջին թվաբանականը $[a;b]$ հատվածի վրա որոշվում է որոշյալ ինտեգրալի օգնությամբ։

${\overline {f(x)}}_{[a;b]}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx.$

Այստեղ ենթադրվում է,որ $b>a$։

Միջին թվաբանականի կիրառության որոշ դժվարություններ

Խստության բացակայություն

Չնայած այն բանին, որ միջին թվաբանականը հաճախ է կիրառվում միջին արժեքների հաշվման ժամանակ, սակայն այն չի վերաբերվում խիստ վիճակագրությանը։ Այն կարող է ենթարկվել խիստ շեղումների։ Հատկանշական է, որ մեծ գարծակիցներով բաշխումների դեպքում միջին թվաբանականը կարող է չհամընկնել «միջին» հասկացության հետ։ Դասական օրինակ է հանդիսանում միջին եկամտի հաշվարկը։ Միջին թվաբանակը հնարավոր է ճիշտ չմեկնաբանվի կիսորդի(մեդիանի) կարգավիճակում, այդ պատչառով մեծ եկամուտներ ունեցոցները կարող է ավելի շատ ստացվեն, քան իրականում են։ «Միջին» եկամուտը նշանակում է, որ մարդկանց մեծամասնության եկամուտը մոտ է այս թվին։ Այս «միջին» եկամուտը ավելի մեծ է, քան մարդկանց մեծամասնության եկամուտը, քանի որ բարձր եկամուտը, որը մեծ շեղում է միջինից, ստիպում է, որ միջին թվաբանականը է խստորեն շեղվի (ի տարբերություն, միջին եկամուտը «դիմադրում է» այդպիսի շեղումով)։ Այնուամենայնիվ, այս «միջին» եկամուտը ոչինչ չի ասում միջին եկամտի մոտ գտնվող մարդկանց թվաքանակի մասին (և ոչինչ չի ասում այն ​​մասին, թե որքանով է հասուն եկամտի մոտ գտնվող մարդկանց թիվը)։ Այսպես կարող եք սխալ եզրակացություն անել, որ մարդկանց մեծամասնության եկամուտներն ավելի բարձր են, քան իրականում կան։ Օրինակ ՝ Վաշինգտոնի Մեդինա նահանգի «միջին» զուտ եկամտի մասին հաշվետվությունը, որը հաշվարկվում է որպես բոլոր ռեզիդենտների տարեկան զուտ եկամուտների թվաբանական միջին, հաշվառված կլինի զարմանալիորեն մեծ թվով ՝ Բիլ Գեյթսի պատճառով։ Դիտարկենք նմուշը (1, 2, 2, 2, 3, 9)։ Թվաբանության միջին ցուցանիշը 3,17 է, բայց վեց արժեքներից հինգը այս միջինից ցածր են։

Բարդ տոկոսներ

Եթե ​​թվերը պետք է բազմապատկվեն, այլ ոչ թե ավելացվեն, ապա պետք է օգտագործեք երկրաչափական միջինը, այլ ոչ թե թվաբանական միջինը։ Ամենից հաճախ, այս դեպքը տեղի է ունենում ֆինանսների մեջ ներդրումների վերադարձի հաշվարկման ժամանակ։ Օրինակ․ եթե առաջին տարում բաժնետոմսերը նվազել են 10% -ով և երկրորդ տարում աճել են 30% -ով, ապա ճիշտ չէ այս երկու տարիների ընթացքում «միջին» աճը հաշվարկել որպես թվաբանական միջին (-10% + 30%) / 2 = 10%; ճիշտ միջինն այս դեպքում տրված է կուտակային տարեկան աճի տեմպով, որի դեպքում տարեկան աճը կազմում է ընդամենը 8.16653826392% ≈ 8.2%: Դրա պատճառն այն է, որ ամեն անգամ տոկոսադրույքն ունի նոր ելակետ. 30% -ը առաջին տարվա սկզբից ցածր է թվի 30% -ից, եթե սկզբնական շրջանում ֆոնդային արժեքը 30 դոլար է և ընկել 10% -ով, ապա դրանք երկրորդ տարվա սկզբին են 27 դոլար։ Եթե ​​ֆոնդային բորսան աճում է 30% -ով, ապա երկրորդ տարվա վերջին արժե 35.1 դոլար։ Այս աճի թվաբանական միջին ցուցանիշը 10% է, բայց քանի որ բաժնետոմսը 2 տարվա ընթացքում ընդամենը 5.1 դոլար է, միջին 8,2% աճը տալիս է վերջնական արդյունքը `35.1 $: Այս աճի թվաբանական միջինը 10% է, բայց քանի որ բաժնետոմսը 2 տարվա ընթացքում ընդամենը 5.1 դոլար է, միջին 8,2% աճը տալիս է վերջնական արդյունքը `35.1 $:

[$ 30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35,1 դոլար]։ Եթե ​​նույն ձևով օգտագործենք 10% թվաբանական միջինը, ապա մենք չենք ստանա իրական արժեք `[30 $ (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 $]: Երկրորդ տարվա վերջում բարդ տոկոսը կլինի 90 % * 130 % = 117 % , այսինքն ընդհանուր աճը 17 %, իսկ տարեկան միջին բարդ տոկոսը  ${\sqrt {117\%}}\approx 108.2\%$, այսինքն միջին տարեկան աճը 8,2 %։

Ուղղությունները

Հատուկ զգուշություն պետք է ցուցաբերվի որոշ փոփոխականների թվաբանական միջինի հաշվարկման ժամանակ, որոնք փոփոխվում են որոշ պարբերությամբ(օրինականկյուն)։ Օրինակ 1⁰ և 359⁰ միջինը հավասար է ${\frac {1^{\circ }+359^{\circ }}{2}}=$180⁰։ Այս թիվը չիշտ չէ երկու պատճառով․

• Նախ անկյունները սահմանված են 0⁰-360⁰ միջակայքում (կամ 0-2π, երբ հաշվում ենք ռադիաններով)։ Այլ կերպ ասած․ այդ թվերի զույգը կարելի է գրել (1° և −1°) կամ (1° և 719°). Միջին արժեքները կտարբերվեն․ ${\frac {1^{\circ }+(-1^{\circ })}{2}}=0^{\circ }$, ${\frac {1^{\circ }+719^{\circ }}{2}}=360^{\circ }$։
• Երկրորդ․ այս դեպքում 0 ° արժեքը (համարժեք է 360 °) կլինի երկրաչափորեն ավելի լավ միջին արժեքը, քանի որ թվերը 0 ° -ից ավելի քիչ են շեղվում, քան ցանկացած այլ արժեքից (0 ° արժեքը ունի ամենափոքր դիսպերսիան։
  • 1 ° թիվը շեղվում է 0 ° -ից ընդամենը 1 ° -ով;
  • 1 ° թիվը շեղվում է հաշվարկված միջինից `180 ° -ից հավասար, 179 ° -ով։

Նման դեպքերի համար որպես միջին ընտրվում է ամենափոքր դիսպերսիայով թիվը։ Նաև հանելու փոխարեն օգտագործվում է մոդուլային հեռավորությունը (այսինքն ՝հեռավորությունը շրջանագծով)։ Օրինակ ՝ 1 ° -ից մինչև 359 ° միջև ընկած մոդուլային հեռավորությունը 2 ° է, ոչ թե 358 ° (359 ° -ից մինչև 360 ° == 0 ° -ի միջև ընկած շրջանի վրա - 1 ° , 0 ° -ից մինչև 1 ° - նաև 1 °, ընդհանուրով ՝ 2 °):

Տես նաև

• Թվաբանական պրոգրեսիա
• Թվաբանական համամասնություն
• Շվեյցերի անհավասարում

Արտաքին հղումներ

• «Арифметическая средняя»։ Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ)։ Սանկտ Պետերբուրգ։ 1890–1907 
• Финансовая математика. Дисперсия. Среднее арифметическое. Среднеквадратическое отклонение. Коэффициент вариации Archived 2020-09-19 at the Wayback Machine. / Методики финансового анализа

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 219)։