Միջին հարմոնիկ

Միջին հարմոնիկ-միջոց է որոշակի թվերի հավաքածուի «միջին» մեծությունը հասկանալու համար։ Հաճախ օգտագործվում է միջին արագությունը որոշելիս։ Այն կարելի է սահմանել հետևյալ կերպ․ դիցուք տրված են դրական $x_{1},\ldots ,x_{n}$ թվերը, ապա նրանց միջին հարմոնիկը կլինի այն $H$ թիվը, որը

${\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}$.

Կարելի է ստանալ միջին հարմոնիկի համար իրական բանաձև․

$H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$,

այսինքն միջին հարմոնիկը $x_{1},\ldots ,x_{n}$ թվերի հակադարձների միջինի հակադարձ մեծությունն է։

Հատկությունները

• Միջին հարմոնիկը իսկապես հանդիսանում է միջին այն իմաստով, որ $\min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})$։
• Ընդհանրապես միջին հարմոնիկը միջին աստիճանային է -1 աստիճանով։
• Միջին հարմոնիկը երկակի է միջին թվաբանականին հետևյալ իմաստով․

$H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})$ и

$A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})$ (երբ վերջինս որոշված է)։

• Միջին հարմոնիկը չի գերազանցում միջին երկրաչափականին, միջին թվաբանականին և միջին քառակուսայինին, ընդ որում․ բոլոր միջինները հավասար են բոլոր $x_{1}=\ldots =x_{n},$ թվերի հավասարության դեպքում, այսինքն․

$H\leq G\leq A\leq S,$

որտեղ $H$ — միջին հարմոնիկն է;

$G$ — միջին երկրաչափականն է;

$A$ — միջին թվաբանականն է;

$S$ — միջին քառակուսայինն է։

Կշռված միջին հարմոնիկ

Դիցուք տրված է ոչ բացասական թվերի $x_{1},\ldots ,x_{n}$ համախումբը և $w_{1},\ldots ,w_{n}$ թվերի համախումբը, որտեղ $w_{i}$-ն կոչվում է $x_{i}$ մեծության «զանգված»։ Ապա նրանց կշռված միջին հարմոնիկ է կոչվում հետևյալ թիվը․

$H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}$։

Հեշտ է նկատել, որ երբ $w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0$(երբ բոլորը հավասարամեծ են)ստացվումէ սովորական միջին հարմոնիկ։

У սեղանի անկյունագծերի հատման կետով անցնող հատվածը զուգահեռ է հիմքերին, և հավասար է նրանց միջին հարմոնիկին

։

Ներկված շրջանների տրամագծերը նույնն են(կոչվում են երկվորյակ շրջաններ) և հավասար են AB և BC հատվածների վրա կառուցված կիսաշրջանագծերի շառավիղների միջին հարմոնիկին

։

Օրինակներ

Վիճակագրության մեջ միջին հարմոնիկը օգտագործվում է այն դեպքում, երբ դիտարկումները, որոնց համար անհրաժեշտ է թվաբանական միջինի հաշվում ձեռք , տրվում են հակադարձ արժեքներով։

Բարակ ոսպնյակի բանաձևում երկու անգամ կիզակետային երկարությունը հավասար է ոսպնյակներից մինչև առարկայի հեռավորության ը և ոսպնյակներից մինչև պատկերի հեռավորության միջին հարմոնիկին։ Նմանատիպ եղանակով, միջին հարմոնիկը ներառված է գնդաձև հայելու համար բանաձևում։ Միջին արագությունը մի ճանապարհի վրա, որը բաժանված է հավասար մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա արագությունը կայուն է, հավասար է ուղու այդ հատվածների արագությունների նմիջին հարմոնիկին։ Ընդհանուր առմամբ, եթե ուղին բաժանվում է մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա արագությունը կայուն է, ապա միջին արագությունը հավասար կլինի կշռված միջին հարմոնիկ արագությանը (յուրաքանչյուր արագություն գալիս է համապատասխան քաշի երկարությանը հավասար քաշով)։ Ալյումինի միջին խտությունը հավասար է ձուլված նյութերի կշռված միջին հարմոնիկ խտությանը (կշիռներ - համապատասխան նյութերի մասերի զանգվածներ)։ Զուգահեռ միացված են մի քանի դիմադրիչների ձեռք բերած դիմադրությունը հավասար է դրանց դիմադրությունների միջին հարմոնիկին՝ բաժանված ըստ դրանց քանակի։ Նմանատիպ հայտարարությունը ճշմարիտ է շարքի միացված կոնդենսատորների համար։

Տես նաև

• Հարմոնիկ համամասնություն
• Հարմոնիկ շարք
• Միջին թվաբանական

Արտաքին հղումներ

• Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource