Միջին երկրաչափական

Միջին երկրաչափական -մի քանի դրական իրական թվերի համար այն թիվն է, որով կարելի է փոխարինել թվերից յուրաքանչյուրը այնպես, որ այդ թվերի արտադրյալը մնա անփոփոխ։Առավել ճշգրիտ․

$G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}$։

Երկու թվերի միջին երկրաչափականը կոչվում է նաև «միջին համամասնական», քանի որ երկու $a_{1}$ և $a_{2}$ թվերի $g$ միջին երկրաչափականը օժտված է հետևյալ հատկությամբ․ ${\frac {a_{1}}{g}}={\frac {g}{a_{2}}}$, այսինքն․ միջին երկրաչափականը հարաբերվում է առաջին թվին այնպես, ինչպես երկրորդ թիվը միջին երկրաչափականին։

Հատկությունները

• ինչպես ցանկացած միջին արժեք՝ միջին երկրաչափականը ընկած է այդ թվերի մեծագույն և փոքրագույն արծեքների միջև․

$\operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

• Երկու $a=A_{0},b=G_{0}$ թվերի միջին երկրաչափականը այդ թվերի միջին թվաբանական- հարմոնիկն է, այսինքն հավասար է երկու հաջորդականությունների սահմանին․

$A_{i}={\frac {A_{i-1}+G_{i-1}}{2}},\quad G_{i}={\sqrt {A_{i-1}G_{i-1}}}$

• երկու թվերի միջին երկրաչափականը հավասար է այդ թվերի միջին թվաբանականի և միջին հարմոնիկի միջին եկլրաչափականին։

Կշռված երկրաչափական միջին

Հիմնական հոդված՝ Կշռված երկրաչափական միջին

Կշռված երկրաչափական միջինը իրական թվերի $x_{1},\ldots ,x_{n}$ խմբի համար $w_{1},\ldots ,w_{n}$ իրական զանգվածներով որոշվում է հետևյալ կերպ․

${\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)$

Այն դեպքում, երբ բոլոր զանգվածները իրար հավասար են, կշռված երկրաչափական միջինը հավասար է միջին երկրաչափականին։

Երկրաչափության մեջ

Հատվածների միջին երկրաչափական:
$BH={\sqrt {AH\cdot HC}}={\sqrt {ab}}$

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին իջեցրած բարձրությունը հավասար է ներքնաձիգի վրա էջերի պրոյեկցիաների միջին երկրաչափականին։ Իսկ յուրաքանչյուր էջ հավասար է ներքնաձիգի և նրա վրա այդ էջի պրոյեկցիայի միջին երկրաչափականին։ Սա հնարավորություն է տալիս երկրաչափորեն կառուցելու երկու հատվածների միջին երկրաչափականը․ հարկավոր է կառուցել շրջանագիծ, որի տրամագիծը այդ երկու հատվածների գումարն է, իսկ հատվածների միացման կետում կանգնեցված ուղղահայացը մինչև շրջանագծի հետ հատումը կլինի որոնելի մեծությունը Մինչև գնդի հորիզոն հեռավորությունը հավասար է գնդի ամենամոտ և ամենահեռու կետերի հեռավորությունների միջին երկրաչափականին։

Ֆինանսական

Երկրաչափական միջինը ժամանակ առ ժամանակ օգտագործվել է ֆինանսական ցուցանիշները հաշվարկելու համար (միջին ցուցանիշը գերազանցում է ինդեքսի բաղադրիչները)։ Օրինակ ՝ նախկինում FT 30 ինդեքսը օգտագործում էր երկրաչափական միջակայք։ Այն նաև օգտագործվում է Միացյալ Թագավորությունում և Եվրոպական Միությունում վերջերս ներդրված « RPIJ » գնաճի չափման մեջ։ Սա ազդեցություն է թողնում ցուցանիշի վրա շարժվող շարժումների ազդեցությանը `թվաբանության միջին օգտագործման համեմատությամբ։

Համեմատությունը թվաբանական միջինի հետ

Դրական թվերի ոչ դատարկ տվյալների հավաքածուի երկրաչափական միջինը միշտ առավելագույնը դրանց թվաբանական միջինն է։ Հավասարությունը ձեռք է բերվում միայն այն դեպքում, երբ տվյալների ամբողջ շարքում բոլոր համարները հավասար են. հակառակ դեպքում երկրաչափական միջինը փոքր է։ Օրինակ․ 242-ի և 288-ի երկրաչափական միջին ցուցանիշը հավասար է 264-ին, մինչդեռ դրանց թվաբանական միջինը 265 է։ Մասնավորապես, սա նշանակում է, որ երբ ոչ միանման թվերի մի շարք ենթակա է միջին պահպանման տարածման , այսինքն ` հավաքածուն իրարից ավելի «տարածվում» է, իսկ թվաբանական միջինը թողնելով անփոփոխ ՝ դրանց երկրաչափական միջին քանակը նվազում է։

Ընդհանրացում

• Միջին երկրաչափականը կարելի է դիտարկել որպես միջին աստիճաննայինների սահման․

$A_{g}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g}}{n}}}$ при $g\to 0$.

• Միջին երկրաչափականը հանդիսանում է Կալմագորովի միջին երբ $\phi (x)=\log x$։

Տես նաև

• Երկրաչափական պրոգրեսիա
• Երկրաչափական համամասնություն
• Շվեյցերի անհավասարում