Լապլասի օպերատոր

Լապլասի օպերատոր (լապլասիան, դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա։ Նշանակվում է$\ \Delta$ տառով։

n-չափանի տարածությունում $F\$ ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝

$\left({\partial ^{2} \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial x_{2}^{2}}+\ldots +{\partial ^{2} \over \partial x_{n}^{2}}\right)F$:

Լապլասի օպերատորը համարժեք է գրադիենտի և դիվերգենցիայի հաջորդական կիրառմանը՝ $\Delta =\operatorname {div} \,\operatorname {grad}$:

Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ $\Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$:

Լապլասի օպերատորը սիմետրիկ է։

Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում

Եռաչափ տարածության մեջ կորագիծ օրթոգոնալ $q_{1},\ q_{2},\ q_{3}$ կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝

$\Delta f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=$

$={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}\right)\right],$

որտեղ $H_{i}\$-ն Լամեի գործակիցն է։

Գլանային կոորդինատներ

Գլանային կոորդինատներով`

$\Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}$

Սֆերիկ կոորդինատներ

Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝

$\Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}$

կամ

$\Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.$

Այն դեպքում, երբ$\ f=f(r)$ n-չափանի տարածության մեջ է՝

$\Delta f={d^{2}f \over dr^{2}}+{n-1 \over r}{df \over dr}.$

Պարաբոլական կոորդինատներ

Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝

$\Delta f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}$

Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ

Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝

$\Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.$

Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և Ռիմանի տարածություն

Հիմնական հոդված՝ Ռիմանի տարածություն

Դիցուք հարթ բազմաձև $X$-ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և $g_{ij}$-ն ռիմանյան մետրիկական թենզոր է $X$-ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝

$ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ .

$g^{ij}$-ով նշանակենք $(g_{ij})^{-1}$ մատրիցի էլեմենտները՝

$g=\operatorname {det} g_{ij}=(\operatorname {det} g^{ij})^{-1}$.

$F^{i}$ տրված կոորդինատներով որոշվող $F$ վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան (որը ներկայացնում է $\sum _{i}F^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) X բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

$\operatorname {div} F={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}F^{i})$,

իսկ f ֆունկցիայի գրադիենտի բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝

$(\nabla f)^{j}=\sum _{i=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.$

Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը $X$-ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

$\Delta f=\operatorname {div} (\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}{\sqrt {g}}\sum _{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\Big )}.$

$\Delta f$-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ։

Կիրառություն

Լապլլասի օպերատորի օգնությամբ հեշտորեն գրվում է Լապլասի, Պուասոնի և ալիքային հավասարումները։

Ֆիզիկայում Լապլասի օպերատորը հաճախակի օգտագործվում է էլեկտրադինամիկայում, քվանտային մեխանիկայում։

Վարիացիա և ընդհանրացում

• Դալամբերի օպերատոր՝ հիպերբոլական հավասարումների համար Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։ ներառում է ըստ ժամանակի երկրորդ կարգի ածանցյալ։
• Լապլասի վեկտորական օպերատոր՝ վեկտորական արգումենտի առկայության դեպքում Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։

Տես նաև

• Նաբլա օպերատոր
• Լապլասի հավասարում
• Հարմոնիկ ֆունկցիա
• Կիրխհոֆի մատրից

Արտաքին հղումներ

• MathWorld description of Laplacian