Նաբլա օպերատոր

Նաբլա օպերատոր (Համիլտոնի օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, վեկտորական դիֆֆերենցիալ օպերատոր, որի բաղադրիչները, ըստ կոորդինատների, մասնակի ածանցյալներ են: Նշանակվում է $\nabla$ (նաբլա) սիմվոլով:

Էվկլիդյան եռաչափ տարածության մեջ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատական համակարգում նաբլա օպերատորը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝

$\nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}$

որտեղ ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ -ն համապատասխանաբար  $x,y,z$ առանցքների միավոր վեկտորներն են:

Օգտագործվում է նաև հետևյալ գրառման ձևը՝

$\nabla =\left\{{\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right\}$

Նաբլա օպերատորի միջոցով բնական ճանապարհով ներկայացվում են վեկտորական անալիզի հիմնական հետևյալ գործողությունները՝ grad (գրադիենտ), div (դիվերգենցիա), rot (ռոտոր), ինչպես նաև Լապլասի օպերատորը:

Ներկայացված ձևով լայնորեն օգտագործվում է ֆիզիկայում և մաթեմատիկայում:

n-չափանի նաբլա օպերատոր հասկացության տակ հասկանում են n-չափանի տարածության մեջ գտնվող հետևյալ վեկտորը՝

$\nabla ={\partial \over \partial x_{1}}{\vec {e}}_{1}+{\partial \over \partial x_{2}}{\vec {e}}_{2}+...+{\partial \over \partial x_{n}}{\vec {e}}_{n}$, որտեղ ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}$ վեկտորները համապատասխանաբար $x_{1},x_{2},...,x_{n}$առանցքների միավոր վեկտորներն են:

Երբեմն նաբլա օպերատորի վերևում դրվում է սլաք՝ ${\vec {\nabla }}$, օպերատորի վեկտորական բնույթն ընդգծելու համար: Իմաստային առումով այն ոչնչով չի տարբերվում 

• Երբեմն (երբ խոսքը վերաբերում է սկալյար ֆունկցիաների հետ աշխատանքին), նաբլա օպերատորը անվանում են գրադիենտի օպերատոր:
• Դիտողություն՝ ֆիզիկայում մեր ժամանակներում Համիլտոնի օպերատոր անվանումը աշխատում են չօգտագործել, հատկապես քվանտային ֆիզիկայում, երբ հնարավոր է նաբլա օպերատորը շփոթել քվանտային համիլտոնյանի հետ, որը, ի տարբերություն դասական ֆիզիկայի, քվանտային ֆիզիկայում ունի օպերատորային բնույթ:

Նաբլա օպերատորի հատկությունները

Այս օպերատորը իմաստ է ստանում, երբ գործածվում է սկալյար կամ վեկտորական ֆունկցիաների նկատմամբ:

Եթե սկալյարապես բազմապատկենք $\nabla$-ն և $\phi$-ն, կստացվի հետևյալը՝

$\nabla \phi ={\partial \phi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \phi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \phi \over \partial z}{\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi$

որը իրենից ներկայացնում է $\phi$ ֆունկցիայի գրադիենտը:

Եթե $\nabla$-ն և ${\vec {a}}$ վեկտորը սկալյարապես բազմապատկենք, կստացվի հետևյալը՝

$\nabla \cdot {\vec {a}}=\nabla _{x}a_{x}+\nabla _{y}a_{y}+\nabla _{z}a_{z}={\partial a_{x} \over \partial x}+{\partial a_{y} \over \partial y}+{\partial a_{z} \over \partial z}=\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {a}}$,

այսինքն ${\vec {a}}$ վեկտորի դիվերգենցիան:

Եթե $\nabla$-ն և ${\vec {a}}$ վեկտորը վեկտորապես բազմապատկենք, կստացվի ${\vec {a}}$ վեկտորի ռոտորը՝

$\nabla \times {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{vmatrix}}=\left({\partial {a_{z}} \over \partial y}-{\partial {a_{y}} \over \partial z}\right){\vec {i}}\ +\ \left({\partial {a_{x}} \over \partial z}-{\partial {a_{z}} \over \partial x}\right){\vec {j}}\ +\ \left({\partial {a_{y}} \over \partial x}-{\partial {a_{x}} \over \partial y}\right){\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {a}}$

• Դիտողություն՝ երբեմն  $\nabla \cdot {\vec {a}}$-ի փոխարեն գրում են $(\nabla ,{\vec {a}})$, իսկ $\nabla \times {\vec {a}}$-ի փոխարեն՝ $[\nabla ,{\vec {a}}]$:

$\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$-ը սկալյար օպերատոր է, որն անվանում են Լապլասի օպերատոր: Այն նշվում է նաև$\ \Delta$ սիմվոլով: Լապլասի օպերատորը դեկարտյան կոորդինատային համակարգում գրվում է հետևյալ կերպ՝

$\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}$:

Քանի որ նաբլա օպերատորը դիֆֆերենցիալ գործողություն է, կիրառման ժամանակ անհրաժեշտ է պահպանել ոչ միայն վեկտորական հանրահաշվի, այլև դիֆֆերենցման օրենքները:

Օրինակ՝

$\mathbf {\operatorname {grad} } (\phi \psi )=\mathbf {\nabla } (\phi \psi )=\psi \mathbf {\nabla } \phi +\phi \mathbf {\nabla } \psi =\psi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi +\phi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\psi$

$\operatorname {div} (\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi )=\nabla \cdot (\nabla \phi )=(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2}\phi =\Delta \phi$:

Այսինքն՝ ածանցյալ արտահայտությունը, որը կախված է երկու դաշտերից արտահայտությունների գումար է, որոնցից յուրաքանչյուրում դիֆֆերնցման է ենթարկվում դաշտերից միայն մեկը:

Կապված այն բանի հետ, թե նաբլա օպերատորը դաշտերից որի վրա է ազդում, ընդունված է համարել, որ յուրաքանչյուր օպերատոր գործում է իրենից աջ գտնվող արտահայտության վրա և չի ազդում իրենից ձախ գտնվող որևէ արտահայտության վրա:

Եթե անհրաժեշտ է, որ օպերատորը գործի իրենից ձախ գտնվող դաշտի վրա, որևէ կերպ նշում են համապատասխան դաշտը, օրինակ ուղղահայաց սլաք են դնում՝

$\nabla \cdot {\vec {v}}={\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}\cdot \nabla$

Գրառման նման ձևը հաճախ օգտագործվում է միջանկյալ ձևափոխությունների մեջ: Անհարմարություններից խուսափելու համար վերջնական պատասխանում աշխատում են ազատվել ուղղահայաց սլաքից:

Երկրորդ կարգի օպերատորներ

Քանի որ կան վեկտորապես և սկալյարապես բազմապատկման տարբեր ձևեր կան նաբլա օպերատորի միջոցով հնարավոր է լինում դիֆֆերենցման տարբեր ձևեր ստանալ: Վեկտորական և սկալյարապես բազմապատկումների շնորհիվ ստացվել են 2 -րդ կարգի հետևյալ 7 արտահայտությունները՝

$\mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)$

$\mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)$

$\Delta f=\nabla ^{2}f$

$\mathbf {\operatorname {grad} } \,(\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {v}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})$

$\mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})$

$\mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})$

$\Delta {\vec {v}}=\nabla ^{2}{\vec {v}}$

Բավականաչափ հարթ դաշտերի համար (երկու անգամ անընդհատ դիֆֆերենցելի) այդ օպերատորները անկախ չեն:

Նրանցից երկուսը միշտ հավասար են 0-ի`

$\mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)=(\nabla \times \nabla )f=0$

$\mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})=(\nabla \times \nabla )\cdot {\vec {v}}=0$

Երկուսը միշտ համընկնում են՝

$\mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f=\Delta f$

Մնացած երեքը կապված են հետևյալ արտահայտությամբ՝

$(\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}}))=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla ^{2}{\vec {v}}$

Եվս մեկը կարելի է ներկայացնել թենզորական ձևափոխության միջոցով՝

$\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})$

Պատմություն

Վ. Ռ. Համիլտոնը

1853 թվականին Վ. Ռ. Համիլտոնը մտցրեց այդ օպերատորը և որպես սիմվոլ մտածեց $\nabla$ նշանը, որը շուռ տված Δ (դելտա) տառն է: Համիլտոնն այն անվանել էր «ատլեդ» (դելտա բառը տառերի հակառակ հերթականությամբ), սակայն ավելի ուշ անգլիացի գիտնականները, որոնց թվում նաև Պ. Գ Հեվիսայդը սկսեցին այդ սիմվոլը անվանել «նաբլա», քանի որ այն արտաքնապես նման էր հին սիրիական նաբլա կոչվող երաժշտական գործիքին: Օպերատորն անվանվեց Համիլտոնի օպերատոր կամ նաբլա օպերատոր:

Կարծիք կա, որ $\nabla$-ն փյունիկերեն լեզվի տառ է, որի առաջացումը կապված է տավիղի նմանվող երաժշտական գործիքի հետ: «ναβλα»-ն (նաբլա) հին հուներենում նշանակում է «տավիղ»:

Օրինակ

1. $z=xy,\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=y{\vec {i}}+x{\vec {j}}$
2. $z=30yx^{3},\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=90yx^{2}{\vec {i}}+30x^{3}{\vec {j}}$

Տես նաև

• Նաբլա օպերատորը տարբեր կոորդինատական համակարգերում