Բարձրություններ տարբեր տեսակի եռանկյուններում

Եռանկյան բարձրություն, եռանկյան գագաթից հանդիպակաց կողմին կամ այն պարունակող ուղղին տարված ուղղահայաց։ Եռանկյան տեսակից կախված, բարձրությունը կարող է գտնվել եռանկյան ներսում(սուրանկյուն եռանկյան համար), համընկնել նրա կողմի հետ(ուղղանկյուն եռանկյան համար հանդիսանում է էջ), կամ անցնել եռանկյան արտաքին տիրույթով(բութանկյուն եռանկյան համար)։

Եռանկյան երեք բարձրությունների հատման կետի (օրթոկենտրոնի) հատկություններըԽմբագրել

 
Եռանկյան բարձրություններ

Եռանկյան բարձրությունները հատվում են մեկ կետում, որը կոչվում է օրթոկենտրոն։ Այս պնդումը հեշտ է ապացուցել, կիրառելով ցանկացած   կետերի (որոնց պատկանելիությունը միևնույն հարթությանը պարտադիր չէ) համար վեկտորական նույնությունը.

 

(Նույնության ապացուցման համար պետք է օգտվել

 

բանաձևերից։ Որպես E կետ պետք է վերցնել եռանկյան երկու բարձրությունների հատման կետը։)

Հավասարասրուն եռանկյան բարձրությունների հատկություններըԽմբագրել

  • Եթե եռանկյան երկու բարձրությունները հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է (Շտեյներ-Լեմուսի թեորեմ), իսկ երրորդ բարձրությունը միաժամանակ հանդիսանում է այն անկյան կիսորդն ու միջնագիծը, որից այն դուրս է գալիս։
  • Ճշմարիտ է և հակադարձը. հավասարասրուն եռանկյան երկու բարձրությունները հավասար են, իսկ երրորդ բարձրությունը միաժամանակ հանդիսանում է միջնագիծ և կիսորդ։
  • Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր երեք բարձրությունները հավասար են։
  • Հավասարասրուն եռանկյան՝ հիմքին հանդիպակաց անկյան գագաթից դուրս եկող բարձրությունը միջնագիծ է և կիսորդ։

Եռանկյան բարձրությունների հիմքերի հատկություններըԽմբագրել

  • Եռանկյան բարձրությունների հիմքերը կազմում են, այսպես կոչված, օրթոեռանկյուն, որն օժտված է սեփական հատկություններով։
  • Օրթոեռանկյանն արտագծված շրջանագիծը Էյլերի շրջանագիծն է։ Այդ շրջանագծի վրա գտնվում են եռանկյան երեք կողմերի միջնակետերը և օրթոկենտրոնը եռանկյան գագաթներին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը։
  • Վերջին հատկության այլ ձևակերպում.

Ցանկացած եռանկյան երեք բարձրությունների հիմքերը, նրա երեք կողմերի միջնակետերը (միջնագծերիհիմքերը ) և օրթոկենտրոնը եռանկյան գագաթներին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա (ինը կետերի շրջանագծի վրա)։

  • Թեորեմ։ Ցանկացած եռանկյան մեջ երկու բարձրությունների հիմքերը միացնող հատվածը առանձնացնում է տրվածին նման եռանկյուն

Եռանկյան բարձրությունների այլ հատկություններԽմբագրել

  • Ոչ հավասարասրուն եռանկյան ներքին կիսորդը գտնվում է այն միջնագծի և բարձրության միջև, որոնք տարված են նույն գագաթից, ինչ այդ կիսորդը։
  • Սուրանկյուն եռանկյան մեջ երկու բարձրություները նրանից առանձնացնում են նման եռանկյուններ։
  • Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունն այդ եռանկյունը տրոհում են տրվածին նման երկու եռանկյունների։

Եռանկյան բարձրություններից փոքրագույնի հատկություններըԽմբագրել

Եռանկյան բարձրություններից փոքրագույնն օժտված է մի շարք էքստրեմալ հատկություններով։Օրինակ.

  • Եռանկյան հարթությանը պատկանող ուղիղների վրա եռանկյան օրթոգոնալ պրոյեկցիաներից փոքրագույնի երկարությունը հավասար է եռանկյան փոքրագույն բարձրությանը։
  • Եռանկյան պարագծով երկու կետերի՝ միմյանց ընդառաջ անընդհատ շարժվելիս, նրանց մեծագույն հեռավորությունը առաջին հանդիպումից մինչև երկրորդը, չի կարող փոքր լինել եռանկյան փոքրագույն բարձրության երկարությունից։
  • Եռանկյան փոքրագույն բարձրությունը միշտ անցնում է եռանկյան ներքին տիրույթով։

Հիմնական հարաբերակցություններԽմբագրել

  •  ։
  •   որտեղ   — եռանկյան մակերեսն է,   — եռանկյան այն կողմի երկարությունն է, որին տարված է բարձրությունը։
  •   որտեղ   - կողմնային կողերի արտադրյալն է,  -ը՝ արտագծված շրջանագծի շառավիղը։
  •  
  •  , որտեղ  ներգծյալ շրջանագծի շառավիղն է։
  •  , որտեղ   - ը եռանկյան մակերեսն է։
  •  ,   - եռանկյան կողմը, որին տարված է   բարձրությունը։
  • Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը.
 

որտեղ   — ն հիմքն է։

  •   — հավասարակողմ եռանկյան բարձրություն։

Թեորեմ ուղղանկյուն եռանկյան բարձրության մասինԽմբագրել

Եթե ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ուղիղ անկյան գագաթից տարված   բարձրությունը   ներքնաձիգը տրոհում է   և   էջերին համապատասխան   և   հատվածների, ապա ճշմարիտ են հետևյալ հավասարությունները.

  •  
  •  ;  
  •  

Թեորեմ պրոյեկցիաների մասինԽմբագրել

Թեորեմ պրոյեկցիաների մասին։  . Պրոյեկցիաների մասին թեորեմից հետևում է, որ, օրինակ,   գագաթից տարված բարձրությունը հանդիպակաց   կողմը տրոհում է երկու մասի՝   և  , հաշված   գագաթից դեպի  -ն։

Տես նաևԽմբագրել

ՀղումներԽմբագրել