Ինը կետերի շրջանագիծ

Ինը կետերի շրջանագիծ, եռանկյան երեք կողմերի միջնակետերով անցնող շրջանագիծ։ Այն կոչվում է նաև Էյլերի շրջանագիծ, Ֆոյերբախի շրջանագիծ, վեց կետերի շրջանագիծ, տասներկու կետերի ներառյալ Ֆոյերբախի կետերը, շրջանագիծ։ Ինը կետերի շրջանագիծն այդ անվանումը ստացել է հետևյալ թեորեմից. Ցանկացած եռանկյան երեք բարձրությունների հիմքերը, նրա երեք կողմերի միջնակետերը և նրա գագաթները օրթոկենտրոնին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա։ Այլ կերպ ասած, ինը կետերի շրջանագիծը հանդիսանում է արտագծյալ շրջանագիծ հետևյալ եռանկյունների համար.

• օրթոեռանկյուն
• լրացուցիչ եռանկյուն
• Էյլերի եռանկյուն (կամ Ֆոյերբախի եռանկյուն, Էյլեր-ֆոյերբախի եռանկյուն)- եռանկյուն, որի գագաթները տրված եռանկյան գագաթներն օրթոկենտրոնին միացնող երեք հատվածների միջնակետերն են։

Ինը կետերը

Եռանկյուն, նրան արտագծված շրջանագիծ(սևը) և նրա կենտրոնը(սևը), եռանկյան բարձրությունները (բարձրության մաս, որը գտնվում է Էյլերի շրջանագծի ներսում՝ կապույտը և նրանից դուրս՝ սևը) և ինը կետերի շրջանագիծը(կապույտը) նրա կենտրոնը(կապույտը)։

Հատկություններ

Ինը կետերի շրջանագիծն օժտված է մի շարք հատկություններով.

• Ինը կետերի շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է Էյլերի ուղղի վրա, օրթոկենտրոնը և արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը միացնող հատվածի ճիշտ կենտրոնում։

• Էյլերի շրջանագծի ինը կետերից երեքը համարվում են եռանկյան գագաթները օրթոկենտրոնին միացնող հատվածների միջնակետերը (Էյլեր-Ֆոյերբախի եռանկյան գագաթներ)։ Այդ երեք կետերը եռանկյան կողմերի միջնակետերի արտապատկերումն են ինը կետերի շրջանագծի կենտրոնի նկատմամաբ։
• Ինը կետերի շրջանագծի կենտրոնը այնպիսի կենտրոնական սիմետրիայի կենտրոն է, որը կենտրոնական եռանկյունն (կամ լրացուցիչ եռանկյուն՝ եռանկյուն, որի գագաթները տրված եռանկյան կողմերի միջնակետերն են) արտապատկերում է Էյլեր-Ֆոյերբախի եռանկյան վրա և հակառակը։
• Ինը կետերի շրջանագծի շառավիղը հավասար է արտագծյալ շրջանագծի շառավղի կեսին։

Արտագծյալ շրջանագիծը ինը կետերի շրջանագծի կերպարն է օրթոկենտրոնը որպես կենտրոն ունեցող և 2 գործակցով հոմոտետիայի դեպքում։

• Հոմոտետության (նմանության) այս հատկությունը նշանակում է, որ ինը կետերի շրջանագիծը կիսում է ցանկացած հատված, որը օրթոկենտրոնը միացնում է արտագծյալ շրջանագծի վրա գտնվող ցանկացած կետի։
• Ֆոյերբախի թեորեմ։ Ցանկացած եռանկյան ինը կետերի շրջանագիծը շոշափում է այդ եռանկյան ներգծյալ և բոլոր երեք առգծած շրջանագծերը։
• Մավլոյի թեորեմ։ Եռանկյունն իր արտագծյալ շրջանագծի վրա արտաքնապես հատում է երեք այնպիսի աղեղներ, որ նրանցից մեծագույնի երկարությունը հավասար է մյուս երկու աղեղների երկարությունների գումարին։ Օրինակ, վերևի նկարում ըստ Մավլոյի թեորեմի ստացվում է հավասարություն. աղեղ IF = աղեղ HE + աղեղ GD։

Պատմություն

Լեոնարդ Էյլերը 1765 թվականին ապացուցել է, որ բարձրությունների հիմքերը և կողմերի միջնակետերը գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա (այստեղից՝ «վեց կետերի շրջանագիծ» անվանումը)։ Վերջնական արդյունքի առաջին ամբողջական ապացույցը հրապարակել է Կարլ Ֆոյերբախը 1822 թվականին իր անունը կրող թեորեմի հետ միասին, սակայն կան կարծիքներ, որ այն հայտնի է եղել ավելի վաղ։

Ինը կետերի շրջանագծի և արտագծյալ շրջանագծի փոխդասավորության մասնավոր դեպքեր

Եռանկյան մեջ արտագծյալ շրջանագծի նկատմամաբ ինը կետերի շրջանագիծը (կամ Էյլերի շրջանագիծը) կարող է դասավորված լինել հետևյալ կերպ.

• Այն շոշափում է արտագծյալ շրջանագիծը միայն այն դեպքում, երբ եռանկյունն ուղղանկյուն է։ Ընդ որում երկու շրջանագծերի շոշափման կետը ուղիղ անկյան գագաթն է։
• Այն ամբողջությամբ ընկած է արտագծյալ շրջանագծի ներսում, եթե եռանկյունը սուրանկյուն է։
• Այն հատում է արտագծյալ շրջանագիծը երկու տարբեր կետերում, եթե եռանկյունը բութանկյուն է։

Գրականություն

• Дм. Ефремов (1902), Новая геометрия треугольника, (ռուս.)
• Feuerbach, Karl (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren (գերմ.)
• Мавло Д. П. Красивые свойства замечательных тел//Математика в школi. № 3, 2004. с. 265–269. (ուկր.)