Բրահմագուպտայի բանաձև

Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ Բրահմագուպտայի բանաձևը կապ է հաստատում ներգծյալ քառանկյան կողմերի և մակերեսի միջև։

ԲանաձևԽմբագրել

Եթե ներգծյալ քառանկյան մակերեսը K է, իսկ կողմերը՝ a, b, c, d, ապա՝

 

որտեղ s–ը քառանկյան կիսապարագիծն է և հավասար է՝

 

Բանաձև եռանկյան համար Հերոնի բանաձևի ընդհանրացումն է։ Եռանկյունը կարելի է դիտել որպես քառանկյուն, որի կողմերից մեկը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, եթե d կողմը ընդունենք զրո, ապա ներգծյալ քառանկյունը վերածվում է ներգծյալ եռանկյան (քանի որ բոլոր եռանկյուններին հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ), իսկ Բրահմագուպտայի բանաձևը՝ Հերոնի բանաձևի պարզեցված ձևն է։

Կիսապարագծից չօգտվելու դեպքում Բրահմագուպտայի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը՝

 

որը հավասար է

  հավասարմանը։

ԱպացույցԽմբագրել

 
Գծանկար ապացույցի համար

Եռանկյունաչափական ապացույցԽմբագրել

Ներգծյալ քառանկյան K մակերեսը հավասար է ADB և BDC եռանկյունների գումարին (գծանկար)․

 ։

Բայց քանի որ ABCD–ն ներգծյալ քառանկյուն է, ուրմեն DAB = 180° − ∠DCB։ Հետևաբար՝ sin A = sin C։ Այստեղից՝

 
 
 

Կոսինուսների թեորեմի օգնությամբ ADB և BDC եռանկյուներից հաշվելով ընդհանուր DB կողը, կստանանք՝

 

Փոխարինելով cos C = −cos A (քանի որ A և C անկյունները հանդիպակաց են) և ձևափոխելով բանաձևը, կստանանք՝

 

Տեղադրելով սա մակերեսի բանաձևի մեջ՝ կունենանք՝

 
 

Հավասարման աջ կողմը a2b2 = (ab)(a + b) տեսքի է, ուստի կարելի է ձևափոխել

 

որը հավասար է հետևյալ հավասարումներին՝

 
 

Ներմուծելով S = p + q + r + s2 կիսապարագիծը,

 

և քառակուսի արմատ հանելով կստանանք՝

 

Ոչ-եռանկյունաչափական հավասարումԽմբագրել

Բանաձևը կարելի է նաև ապացուցել օգտվելով եռանկյան մակերեսի Հերոնի բանաձից՝ հաշվելով նման երկու եռանկյուները[1]։

Ընդլայնում ոչ ներգծյալ քառանկյունների համարԽմբագրել

Ոչ ներգծյալ քառանկյան դեպքում Բրահմագուպտայի բանաձևը կարելի է վերաձևակերպել օգվելով քառանկյան երկու հանդիպակաց անկյուններից.

 

որտեղ θ-ն կամայական երկու հանդիպակաց անկյունների կիսագումարն է։ (Անկյունների ընտրությունը էական չէ, քանի որ տարբերությունը հավասար է 180° − θ։ Քանի որ cos(180° − θ) = −cos θ, ուրեմն՝ cos2(180° − θ) = cos2 θ։) Այս ավելի ընդլայնված բանաձևը հայտնի է Բրետշնայդերի բանաձև անվամբ։

Ներգծյալ քառանկյան հատկության համաձայն՝ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը հավասար է 180°։ Ուստի, ներգծյալ քառանկյան դեպքում θ–ն 90° է, հետևաբար, Բրետշնայդերի բանաձևը ստանում է Բրահմագուպտայի բանաձևի տեսքը․

 

Սրանից հետևում է, որ տրված կողմերով քառանկյուններից ամենամեծ մակերեսն ունի ներգծյալ քառանկյունը։

Ցանկացած ուռուցիկ քառանկյան մակերես հավասար է[2]՝

 

որտեղ p–ն և q–ն քառանկյան անկյունագծերն են։ Ներգծյալ քառանկյան դեպքում, ըստ Պտղոմեոսի թեորեմի, pq = ac + bd և այս բանաձևը վերածվում է Բրահմագուպտայի բանաձևի։

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Hess, Albrecht, "A highway from Heron to Brahmagupta", Forum Geometricorum 12 (2012), 191–192.
  2. J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.

Արտաքին հղումներԽմբագրել

This article incorporates material from proof of Brahmagupta's formula on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.