Հերոնի բանաձև

Հերոնի բանաձևը թույլ է տալիս որոշել եռանկյան մակերեսը (S) երեք կողմերի (a, b, c) միջոցով։

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$

որտեղ p-ն եռանկյան կիսապարագիծն է՝ $p={\frac {a+b+c}{2}}$ .

Ապացույց.Խմբագրել

S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }

,

որտեղ $\ \gamma$ ՝ եռանկյան a և b կողմերով կազմված անկյունն է։ Կոսինուսների թեորեմի համաձայն՝

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,

Այստեղից՝

\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},

Ուրեմն

\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=

={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=

={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)

.

Նկատելով, որ $a+b+c=2p$ , $a+b-c=2p-2c$ , $a+c-b=2p-2b$ , $c-a+b=2p-2a$ , ստանում ենք՝

\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.

Այսպիսով

S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},

Սա երկրաչափության մասին մասին անավարտ հոդված է։ Դուք կարող եք օգնել Վիքիպեդիային՝ ուղղելով և լրացնելով այն։