Տետրաէդր կամ քառանիստ[1] (հին հուն․՝ τετρά-εδροντέσσᾰρες / τέσσερες / τέττᾰρες / τέττορες / τέτορες «չորս» + ἕδρα «նստույք, հիմք»), պարզագույն բազմանիստ, որի նիստերը հանդիսանում են չորս եռանկյուններ[2]:

Քառանիստ

Քառանիստը հանդիսանում է եռանկյուն բուրգ: Քառանիստն ունի 4 գագաթ, 4 նիստ, 6 կող։

Քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ է, կոչվում է կանոնավոր քառանիստ: Կանոնավոր քառանիստը հանդիսանում է 5 կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։

Էյլերի բանաձևը քառանիստի համարԽմբագրել

Ըստ Էյլերի բանաձևի, ցանկացած բազմանիստի համար գագաթների թվին գումարենք նիստերի թիվը և հանենք կողմերի թիվը կստանանք 2։

4 + 4 - 6 = 2
2 = 2

Քառանիստի տեսակներԽմբագրել

Հավասարանիստ քառանիստԽմբագրել

 
Հավասարանիստ քառանիստի փռվածք

Բոլոր նիստերը իրենցից ներկայացնում են իրար հավասար եռանկյուններ: Հավասարանիստ քառանիստի փռվածքը հանդիսանում է եռանկյուն՝ միջին գծերով բաժանված չորս հավասար եռանկյունների: Հավասարանիստ քառանիստի նիստերի բարձրությունների հիմքերը, բարձրությունների միջնակետերը և բարձրությունների հատման կետերը ընկած են մեկ գնդային մակերևույթի վրա (12 կետերի գնդային մակերևույթ) (Եռանկյան համար Էյլերի շրջանագծի անալոգը):

Հավասարանիստ քառանիստի հատկություններ.

  • Նրա բոլոր նիստերը հավասար են (կոնգրուէնտ են):
  • Խաչվող կեղերը զույգ առ զույգ հավասար են:
  • Եռանիստ անկյունները հավասար են:
  • Հակադիր անկյունները հավասար են:
  • Մեկ կողի վրա հենված երկու հարթ անկյունները հավասար են:
  • Յուրաքանչյուր գագաթի հարթ անկյունների գումարը հավասար է 180°:
  • Քառանիստի փռվածքը եռանկյուն է կամ զուգահեռագիծ:
  • Արտագծած զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է:
  • Քառանիստն ունի համաչափության երեք առանցք:
  • Խաչվող կողերի ընհանուր ուղղահայացները զույգ առ զույգ ուղղահայաց են:
  • Միջին գծերը զույգ առ զույգ ուղղահայաց են:
  • Նիստերի պարագծերը հավասար են:
  • Նիստերի մակերեսները հավասար են:
  • Քառանիստի բարձրությունները հավասար են:
  • Հանդիպակած նիստերի ծանրության կենտրոնները գագաթներին միացնող հատվածներն իրար հավասար են:
  • Նիստերին արտագծած շրջանագծերի շառավղերը հավասար են:
  • Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ:
  • Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ:
  • Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթների կենտրոնները համընկնում են:
  • Ներգծած գնդային մակերևույթը նիստերին շոշափում է նիստերին արտագծած շրջանագծերի կենտրոններում:
  • Ներքին միավոր նորմալների գումարը (նիստերին ուղղահայաց միավոր վեկտորները) հավասար է զրոյի:
  • Բոլոր երկնիստ անկյունների գումարը հավասար է զրոյի:

Քառանիստի ծավալԽմբագրել

Քառանիստի գագաթի կոորդինատներն են  ,  ,  ,  , որոնք հավասար են։

 

Եռանկյան և քառանիստի բանաձևերի համեմատումԽմբագրել

Մակերես (Ծավալ)
   , որտեղ  -ն 1 և 2 գագաթների միջև հեռավորությունն է:
   
   ,

որտեղ   -ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է,   և  -ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները:

Կիսորդի երկարություն (մակերես)
   
Միջնագծի երկարություն
   
Ներգծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ
   
Արտագծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ
   , որտեղ    կողմերով եռանկյան մակերեսն է
Կոսինուսների թեորեմ
   ,

որտեղ  -ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է,   և   -ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները,  -ն՝   մատրիցայի   տարի հանրահաշվական լրացումը

Սինուսների թեորեմ
   ,

որտեղ  -ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի մակերեսներն են , որտեղ  -ն գագաթների երկնիստ անկյուններն են :

Եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմ(Տետրաէդրի երկնիստ անկյունների հարաբերություն)
   ,

որտեղ   -ը 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է:

Ներգծած և արտագծած շրջանագծերի (մակերևույթների) կենտրոնների հեռավորություն
   ,

որտեղ   -ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հանդիպակած

նիստերի մակերեսներն են:

Արտահայտության երկրորդ գրառում.   որտեղ   -ն ներգծած մակերևույթի և երեք գագաթներով և կենտրոնով անցնող մակերևույթի կենտրոնների հեռավորությունն է:

Քառանիստը ոչ էվկլիդյան տարածություններումԽմբագրել

Ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալԽմբագրել

Գոյություն ունեն ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալի հաշվան բազում բանաձևեր : Օրինակ, հիպերբոլային քառանիստի համար Դերեվնին—Մեդնիխի բանաձևը[3] և գնդային քառանիստի համար Ջ. Մուրակամիի բանաձևը[4]: Գնդաձև տարածությունում և Լոբաչևսկու տարածությունում քառանիստի ծավալը, որպես կանոն, չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով:

Քառանիստի երկնիստ անկյունների հարաբերությունԽմբագրել

  — գնդային քառանիստի համար:

  — հիպերբոլային քառանիստի համար:

Որտեղ   -ն գնդային և հիպերբոլային քառանիստի երկնիստ անկյունների համար Գրամի մատրիցն է:

 -ն  i և j գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի կազմած անկյունն է:

Կոսինուսների թեորեմԽմբագրել

  — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար:

  — գնդային քառանիստի համար:

  — հիպերբոլային քառանիստի համար:

Որտեղ   -ն գնդային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է:

 -ն հիպերբոլային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է:

  -ն i և j գագաթների միջև տրված հեռավորությունն է:

   մատրիցային հանրահաշվական լրացումն է:

Սինուսների թեորեմԽմբագրել

  — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար:

Արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղԽմբագրել

  — գնդային քառանիստի համար:

Արտահայտության մեկ այլ գրառում.  , որտեղ   քառանիստի նիստերի նորմալներն են:

Կամ քառանիստի գագաթի կոորդինատներով.  :


  — հիպերբոլոյաին քառանիստի համար:

Ներգծած գնդային մակերևույթի շառավիղԽմբագրել

  — գնդային քառանիստի համար:

Արտահայտության մեկ այլ գրառում.  , որտեղ   քառանիստի գագաթի միավոր շառավիղ վեկտորներն են:

  — հիպերբոլային քառանիստի համար:

Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնների միջև հեռավորությունԽմբագրել

  — գնդային քառանիստի համար:

Քառանիստի բանաձևերը բարիցենտրիկ կոորդինատներովԽմբագրել

  • Ներգծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.

  — գնդային քառանիստի համար:

  • Արտագծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.

  — գնդային քառանիստի համար:


ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. «Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «τετρά-εδρον»»։ Արխիվացված է օրիգինալից 2014-12-28-ին։ Վերցված է 2020-02-20 
  2. Селиванов Д. Ф., (1890–1907)։ «Тело геометрическое»։ Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ)։ Սանկտ Պետերբուրգ 
  3. http://mathlab.snu.ac.kr/~top/articles/Volume-Tetrahedon_By-Derevnin_Mednykh.pdf
  4. http://www.ams.org/journals/proc/2012-140-09/S0002-9939-2012-11182-7/S0002-9939-2012-11182-7.pdf

ԳրականությունԽմբագրել