Քառանիստ

Տետրաէդր կամ քառանիստ (հին հուն․՝ τετρά-εδρον ← τέσσᾰρες / τέσσερες / τέττᾰρες / τέττορες / τέτορες «չորս» + ἕδρα «նստույք, հիմք»), պարզագույն բազմանիստ, որի նիստերը հանդիսանում են չորս եռանկյուններ։

Քառանիստ

Քառանիստը հանդիսանում է եռանկյուն բուրգ։ Քառանիստն ունի 4 գագաթ, 4 նիստ, 6 կող։

Քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ է, կոչվում է կանոնավոր քառանիստ։ Կանոնավոր քառանիստը հանդիսանում է 5 կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։

Էյլերի բանաձևը քառանիստի համար

Ըստ Էյլերի բանաձևի, ցանկացած բազմանիստի համար գագաթների թվին գումարենք նիստերի թիվը և հանենք կողմերի թիվը կստանանք 2։

4 + 4 - 6 = 2 2 = 2

Քառանիստի տեսակներ

Հավասարանիստ քառանիստ

Հավասարանիստ քառանիստի փռվածք

Բոլոր նիստերը իրենցից ներկայացնում են իրար հավասար եռանկյուններ։ Հավասարանիստ քառանիստի փռվածքը հանդիսանում է եռանկյուն՝ միջին գծերով բաժանված չորս հավասար եռանկյունների։ Հավասարանիստ քառանիստի նիստերի բարձրությունների հիմքերը, բարձրությունների միջնակետերը և բարձրությունների հատման կետերը ընկած են մեկ գնդային մակերևույթի վրա (12 կետերի գնդային մակերևույթ) (Եռանկյան համար Էյլերի շրջանագծի անալոգը)։

Հավասարանիստ քառանիստի հատկություններ.

• Նրա բոլոր նիստերը հավասար են (կոնգրուէնտ են)։
• Խաչվող կեղերը զույգ առ զույգ հավասար են։
• Եռանիստ անկյունները հավասար են։
• Հակադիր անկյունները հավասար են։
• Մեկ կողի վրա հենված երկու հարթ անկյունները հավասար են։
• Յուրաքանչյուր գագաթի հարթ անկյունների գումարը հավասար է 180°:
• Քառանիստի փռվածքը եռանկյուն է կամ զուգահեռագիծ։
• Արտագծած զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է։
• Քառանիստն ունի համաչափության երեք առանցք։
• Խաչվող կողերի ընհանուր ուղղահայացները զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
• Միջին գծերը զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
• Նիստերի պարագծերը հավասար են։
• Նիստերի մակերեսները հավասար են։
• Քառանիստի բարձրությունները հավասար են։
• Հանդիպակած նիստերի ծանրության կենտրոնները գագաթներին միացնող հատվածներն իրար հավասար են։
• Նիստերին արտագծած շրջանագծերի շառավղերը հավասար են։
• Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
• Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
• Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթների կենտրոնները համընկնում են։
• Ներգծած գնդային մակերևույթը նիստերին շոշափում է նիստերին արտագծած շրջանագծերի կենտրոններում։
• Ներքին միավոր նորմալների գումարը (նիստերին ուղղահայաց միավոր վեկտորները) հավասար է զրոյի։
• Բոլոր երկնիստ անկյունների գումարը հավասար է զրոյի։

Քառանիստի ծավալ

Քառանիստի գագաթի կոորդինատներն են $~\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$, $~\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$, $~\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3})$, $~\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})$, որոնք հավասար են։

$~V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}$

Եռանկյան և քառանիստի բանաձևերի համեմատում

Մակերես (Ծավալ)
$S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}$	$V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}$, որտեղ $\alpha _{1,2}$-ն 1 և 2 գագաթների միջև հեռավորությունն է։
$S={\frac {1}{2}}ah_{a}$	$V={\frac {1}{3}}S_{1}H_{1}$
$S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$	$V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{\alpha _{3,4}}}\sin(\phi _{1,2})$, որտեղ $\phi _{1,2}$ -ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է, $S_{1}$ և $S_{2}$-ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները։
Կիսորդի երկարություն (մակերես)
$l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$	$L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+S_{2}}}$
Միջնագծի երկարություն
$m_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}$	$m_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha _{1,2}^{2}+\alpha _{1,3}^{2}+\alpha _{1,4}^{2})-(\alpha _{2,3}^{2}+\alpha _{2,4}^{2}+\alpha _{3,4}^{2})}}{3}}$
Ներգծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ
$r={\frac {2S}{a+b+c}}$	$r={\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}}$
Արտագծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ
$R={\frac {abc}{4S}}$	$R={\frac {S_{T}}{6V}}$, որտեղ $S_{T}$-ն $\alpha _{1,2}\alpha _{3,4},\alpha _{1,3}\alpha _{2,4},\alpha _{1,4}\alpha _{2,3}$ կողմերով եռանկյան մակերեսն է
Կոսինուսների թեորեմ
$\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$	$\cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}$, որտեղ $\phi _{1,2}$-ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է, $S_{1}$ և $S_{2}$ -ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները, $A_{1,2}$-ն՝ ${\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{pmatrix}}$ մատրիցայի $\alpha _{2,1}^{2}$ տարի հանրահաշվական լրացումը
Սինուսների թեորեմ
${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$	${\frac {S_{1}}{\Psi _{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi _{2}}}={\frac {S_{3}}{\Psi _{3}}}={\frac {S_{4}}{\Psi _{4}}}$, որտեղ $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$-ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի մակերեսներն են$\Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\\-\cos(A)&1&-\cos(C)\\-\cos(B)&-\cos(C)&1\\\end{vmatrix}}}$, որտեղ $A,B,C$-ն գագաթների երկնիստ անկյուններն են ։
Եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմ(Տետրաէդրի երկնիստ անկյունների հարաբերություն)
$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$	${\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,1}\right)\\-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&1&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&1&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)\\-\cos \left(\phi _{4,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)&1\\\end{vmatrix}}=0$, որտեղ $\phi _{1,2}$ -ը 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է։
Ներգծած և արտագծած շրջանագծերի (մակերևույթների) կենտրոնների հեռավորություն
$R^{2}-d^{2}=2Rr$	$R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}\alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}\alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}\alpha _{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}\alpha _{2,3}^{2}+S_{2}S_{4}\alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}\alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}$, որտեղ $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$ -ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսներն են։ Արտահայտության երկրորդ գրառում. $R^{2}-d^{2}=2rT,$ որտեղ $T$ -ն ներգծած մակերևույթի և երեք գագաթներով և կենտրոնով անցնող մակերևույթի կենտրոնների հեռավորությունն է։

Քառանիստը ոչ էվկլիդյան տարածություններում

Ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալ

Գոյություն ունեն ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալի հաշվան բազում բանաձևեր ։ Օրինակ, հիպերբոլային քառանիստի համար Դերեվնին—Մեդնիխի բանաձևը և գնդային քառանիստի համար Ջ. Մուրակամիի բանաձևը։ Գնդաձև տարածությունում և Լոբաչևսկու տարածությունում քառանիստի ծավալը, որպես կանոն, չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով։

Քառանիստի երկնիստ անկյունների հարաբերություն

$\operatorname {det} \Psi >0$ — գնդային քառանիստի համար։

$\operatorname {det} \Psi <0$ — հիպերբոլային քառանիստի համար։

Որտեղ $\Psi ={\begin{pmatrix}1&-\cos(A_{2,1})&-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{4,1})\\-\cos(A_{2,1})&1&-\cos(A_{3,2})&-\cos(A_{4,2})\\-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{3,2})&1&-\cos(A_{4,3})\\-\cos(A_{4,1})&-\cos(A_{4,2})&-\cos(A_{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$ -ն գնդային և հիպերբոլային քառանիստի երկնիստ անկյունների համար Գրամի մատրիցն է։

$A_{i,j}$-ն  i և j գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի կազմած անկյունն է։

Կոսինուսների թեորեմ

$\cos(A_{i,j})=-{\frac {\Phi _{i,j}}{\sqrt {\Phi _{i,i}\Phi _{j,j}}}}$ — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։

$\cos(\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j}}{\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j}}}}$ — գնդային քառանիստի համար։

$\operatorname {ch} (\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j}}{\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j}}}}$ — հիպերբոլային քառանիստի համար։

Որտեղ $\Phi ={\begin{pmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})\\\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$ -ն գնդային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։

$\Phi ={\begin{pmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})\\\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})\\\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})\\\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$-ն հիպերբոլային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։

$\alpha _{i,j}$ -ն i և j գագաթների միջև տրված հեռավորությունն է։

$\Psi _{i,j}$-ն $\Psi$ մատրիցային հանրահաշվական լրացումն է։

Սինուսների թեորեմ

${\frac {\Phi _{1,1}}{\Psi _{1,1}}}={\frac {\Phi _{2,2}}{\Psi _{2,2}}}={\frac {\Phi _{3,3}}{\Psi _{3,3}}}={\frac {\Phi _{4,4}}{\Psi _{4,4}}}$ — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։

Արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղ

${\begin{vmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})&1\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})&1\\\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\cos ^{2}(R)}}\\\end{vmatrix}}=0$ — գնդային քառանիստի համար։

Արտահայտության մեկ այլ գրառում. ${\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {n_{1}}}+{\sqrt {\Phi _{2,2}}}{\overrightarrow {n_{2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}{\overrightarrow {n_{3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}{\overrightarrow {n_{4}}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}$, որտեղ ${\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}},{\overrightarrow {n_{3}}},{\overrightarrow {n_{4}}}$ քառանիստի նիստերի նորմալներն են։

Կամ քառանիստի գագաթի կոորդինատներով. ${\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\begin{vmatrix}0&{\overrightarrow {i_{1}}}&{\overrightarrow {i_{2}}}&{\overrightarrow {i_{3}}}&{\overrightarrow {i_{4}}}\\1&X_{1}&Y_{1}&Z_{1}&T_{1}\\1&X_{2}&Y_{2}&Z_{2}&T_{2}\\1&X_{3}&Y_{3}&Z_{3}&T_{3}\\1&X_{4}&Y_{4}&Z_{4}&T_{4}\\\end{vmatrix}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}$:

${\begin{vmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}(R)}}\\\end{vmatrix}}=0$ — հիպերբոլոյաին քառանիստի համար։

Ներգծած գնդային մակերևույթի շառավիղ

${\frac {1}{\sin ^{2}(r)}}={\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2}}}\cos(\alpha _{1,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{3,4})}{\operatorname {det} \Phi }}$ — գնդային քառանիստի համար։

Արտահայտության մեկ այլ գրառում. ${\frac {1}{\sin(r)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {r_{1}}}+{\sqrt {\Phi _{2,2}}}{\overrightarrow {r_{2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}{\overrightarrow {r_{3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}{\overrightarrow {r_{4}}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}$, որտեղ ${\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{3}}},{\overrightarrow {r_{4}}}$ քառանիստի գագաթի միավոր շառավիղ վեկտորներն են։

${\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}(r)}}=-{\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2}}}\operatorname {ch} (\alpha _{1,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3}}}\operatorname {ch} (\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\operatorname {ch} (\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha _{3,4})}{\operatorname {det} \Phi }}$ — հիպերբոլային քառանիստի համար։

Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնների միջև հեռավորություն

${\frac {\cos(d)}{\sin(r)\cos(R)}}={\frac {{\sqrt {\Phi _{1,1}}}+{\sqrt {\Phi _{2,2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}$ — գնդային քառանիստի համար։

Քառանիստի բանաձևերը բարիցենտրիկ կոորդինատներով

• Ներգծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.

$\mathbf {J} _{r}({\sqrt {\Phi _{1,1}}},{\sqrt {\Phi _{2,2}}},{\sqrt {\Phi _{3,3}}},{\sqrt {\Phi _{4,4}}}).$ — գնդային քառանիստի համար։

• Արտագծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf {J_{4}} \\1&1&\cos(\alpha _{1,2})&\cos(\alpha _{1,3})&\cos(\alpha _{1,4})\\1&\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{2,3})&\cos(\alpha _{2,4})\\1&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{3,4})\\1&\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{vmatrix}}.$ — գնդային քառանիստի համար։

Գրականություն

• Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
• Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.2009 г.