Քառանիստ
Այս հոդվածն աղբյուրների կարիք ունի։ Դուք կարող եք բարելավել հոդվածը՝ գտնելով բերված տեղեկությունների հաստատումը վստահելի աղբյուրներում և ավելացնելով դրանց հղումները հոդվածին։ Անհիմն հղումները ենթակա են հեռացման։ |
Տետրաէդր կամ քառանիստ[1] (հին հուն․՝ τετρά-εδρον ← τέσσᾰρες / τέσσερες / τέττᾰρες / τέττορες / τέτορες «չորս» + ἕδρα «նստույք, հիմք»), պարզագույն բազմանիստ, որի նիստերը հանդիսանում են չորս եռանկյուններ[2]:
Քառանիստը հանդիսանում է եռանկյուն բուրգ: Քառանիստն ունի 4 գագաթ, 4 նիստ, 6 կող։
Քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ է, կոչվում է կանոնավոր քառանիստ: Կանոնավոր քառանիստը հանդիսանում է 5 կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։
Էյլերի բանաձևը քառանիստի համարԽմբագրել
Ըստ Էյլերի բանաձևի, ցանկացած բազմանիստի համար գագաթների թվին գումարենք նիստերի թիվը և հանենք կողմերի թիվը կստանանք 2։
Քառանիստի տեսակներԽմբագրել
Հավասարանիստ քառանիստԽմբագրել
Բոլոր նիստերը իրենցից ներկայացնում են իրար հավասար եռանկյուններ: Հավասարանիստ քառանիստի փռվածքը հանդիսանում է եռանկյուն՝ միջին գծերով բաժանված չորս հավասար եռանկյունների: Հավասարանիստ քառանիստի նիստերի բարձրությունների հիմքերը, բարձրությունների միջնակետերը և բարձրությունների հատման կետերը ընկած են մեկ գնդային մակերևույթի վրա (12 կետերի գնդային մակերևույթ) (Եռանկյան համար Էյլերի շրջանագծի անալոգը):
Հավասարանիստ քառանիստի հատկություններ.
- Նրա բոլոր նիստերը հավասար են (կոնգրուէնտ են):
- Խաչվող կեղերը զույգ առ զույգ հավասար են:
- Եռանիստ անկյունները հավասար են:
- Հակադիր անկյունները հավասար են:
- Մեկ կողի վրա հենված երկու հարթ անկյունները հավասար են:
- Յուրաքանչյուր գագաթի հարթ անկյունների գումարը հավասար է 180°:
- Քառանիստի փռվածքը եռանկյուն է կամ զուգահեռագիծ:
- Արտագծած զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է:
- Քառանիստն ունի համաչափության երեք առանցք:
- Խաչվող կողերի ընհանուր ուղղահայացները զույգ առ զույգ ուղղահայաց են:
- Միջին գծերը զույգ առ զույգ ուղղահայաց են:
- Նիստերի պարագծերը հավասար են:
- Նիստերի մակերեսները հավասար են:
- Քառանիստի բարձրությունները հավասար են:
- Հանդիպակած նիստերի ծանրության կենտրոնները գագաթներին միացնող հատվածներն իրար հավասար են:
- Նիստերին արտագծած շրջանագծերի շառավղերը հավասար են:
- Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ:
- Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ:
- Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթների կենտրոնները համընկնում են:
- Ներգծած գնդային մակերևույթը նիստերին շոշափում է նիստերին արտագծած շրջանագծերի կենտրոններում:
- Ներքին միավոր նորմալների գումարը (նիստերին ուղղահայաց միավոր վեկտորները) հավասար է զրոյի:
- Բոլոր երկնիստ անկյունների գումարը հավասար է զրոյի:
Քառանիստի ծավալԽմբագրել
Քառանիստի գագաթի կոորդինատներն են , , , , որոնք հավասար են։
Եռանկյան և քառանիստի բանաձևերի համեմատումԽմբագրել
Մակերես (Ծավալ) | |
---|---|
, որտեղ -ն 1 և 2 գագաթների միջև հեռավորությունն է: | |
,
որտեղ -ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է, և -ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները: | |
Կիսորդի երկարություն (մակերես) | |
Միջնագծի երկարություն | |
Ներգծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ | |
Արտագծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ | |
, որտեղ -ն կողմերով եռանկյան մակերեսն է | |
Կոսինուսների թեորեմ | |
,
որտեղ -ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է, և -ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները, -ն՝ մատրիցայի տարի հանրահաշվական լրացումը | |
Սինուսների թեորեմ | |
,
որտեղ -ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի մակերեսներն են , որտեղ -ն գագաթների երկնիստ անկյուններն են : | |
Եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմ(Տետրաէդրի երկնիստ անկյունների հարաբերություն) | |
,
որտեղ -ը 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է: | |
Ներգծած և արտագծած շրջանագծերի (մակերևույթների) կենտրոնների հեռավորություն | |
,
որտեղ -ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսներն են: Արտահայտության երկրորդ գրառում. որտեղ -ն ներգծած մակերևույթի և երեք գագաթներով և կենտրոնով անցնող մակերևույթի կենտրոնների հեռավորությունն է: |
Քառանիստը ոչ էվկլիդյան տարածություններումԽմբագրել
Ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալԽմբագրել
Գոյություն ունեն ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալի հաշվան բազում բանաձևեր : Օրինակ, հիպերբոլային քառանիստի համար Դերեվնին—Մեդնիխի բանաձևը[3] և գնդային քառանիստի համար Ջ. Մուրակամիի բանաձևը[4]: Գնդաձև տարածությունում և Լոբաչևսկու տարածությունում քառանիստի ծավալը, որպես կանոն, չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով:
Քառանիստի երկնիստ անկյունների հարաբերությունԽմբագրել
— գնդային քառանիստի համար:
— հիպերբոլային քառանիստի համար:
Որտեղ -ն գնդային և հիպերբոլային քառանիստի երկնիստ անկյունների համար Գրամի մատրիցն է:
-ն i և j գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի կազմած անկյունն է:
Կոսինուսների թեորեմԽմբագրել
— գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար:
— գնդային քառանիստի համար:
— հիպերբոլային քառանիստի համար:
Որտեղ -ն գնդային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է:
-ն հիպերբոլային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է:
-ն i և j գագաթների միջև տրված հեռավորությունն է:
-ն մատրիցային հանրահաշվական լրացումն է:
Սինուսների թեորեմԽմբագրել
— գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար:
Արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղԽմբագրել
— գնդային քառանիստի համար:
Արտահայտության մեկ այլ գրառում. , որտեղ քառանիստի նիստերի նորմալներն են:
Կամ քառանիստի գագաթի կոորդինատներով. :
— հիպերբոլոյաին քառանիստի համար:
Ներգծած գնդային մակերևույթի շառավիղԽմբագրել
— գնդային քառանիստի համար:
Արտահայտության մեկ այլ գրառում. , որտեղ քառանիստի գագաթի միավոր շառավիղ վեկտորներն են:
— հիպերբոլային քառանիստի համար:
Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնների միջև հեռավորությունԽմբագրել
— գնդային քառանիստի համար:
Քառանիստի բանաձևերը բարիցենտրիկ կոորդինատներովԽմբագրել
- Ներգծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.
— գնդային քառանիստի համար:
- Արտագծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.
— գնդային քառանիստի համար:
ԾանոթագրություններԽմբագրել
- ↑ «Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «τετρά-εδρον»»։ Արխիվացված է օրիգինալից 2014-12-28-ին։ Վերցված է 2020-02-20
- ↑ Селиванов Д. Ф., (1890–1907)։ «Тело геометрическое»։ Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ)։ Սանկտ Պետերբուրգ
- ↑ http://mathlab.snu.ac.kr/~top/articles/Volume-Tetrahedon_By-Derevnin_Mednykh.pdf
- ↑ http://www.ams.org/journals/proc/2012-140-09/S0002-9939-2012-11182-7/S0002-9939-2012-11182-7.pdf
ԳրականությունԽմբագրել
- Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
- Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.2009 г.