Բուրգ (երկրաչափություն)

Բուրգ, բազմանիստ, որի նիստերից մեկը (կոչվում է հիմք) կամայական բազմանկյուն է, իսկ մյուս նիստերը (կոչվում են կողմնային նիստեր) եռանկյուններն են, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ[1]։ Ըստ հիմքի անկյունների թվի՝ տարբերակում են եռանկյուն բուրգ, քառանկյուն բուրգ և այլն։ Բուրգը կոնի մասնավոր դեպք է[2]։

Վեցանկյուն բուրգ
HS Disambig.svg Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Բուրգ (այլ կիրառումներ)

Բուրգի զարգացման պատմությունը երկրաչափության մեջԽմբագրել

Բուրգի երկրաչափության սկզբնավորվել է Հին Եգիպտոսում և Բաբելոնում, սակայն ակտիվ զարգացում ապրել է Հին Հունաստանում։ Բուրգի ծավալը հայտնի էր հին եգիպտացիներին։ Առաջին հույն մաթեմատիկոսը, որ պարզել է, թե ինչին է հավասար բուրգի ծավալը, եղել է Դեմոկրիտեսը[3], իսկ ապացուցել է այն Եվդոքս Կնիդոսցին։ Հին հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը համակարգել է բուրգի մասին գիտելիքներն իր «Սկզբունքների» 12-րդ հատորում, ինչպես նաև ձևակերպել է բուրգի առաջին սահմանումը. երկրաչափական մարմին, որը սահմանափակված է հարթություններով, որոնք սկիզբ են առնում մեկ հարթությունից և հատվում են մեկ կետում (գիրք 11, սահմանում 12[4]

Բուրգի տարրերԽմբագրել

 
SO – բարձրություն
SF – հարթագիծ
OF – հիմքին ներգծված շրջանագծի շառավիղ
  • Կողմնային նիստեր – բուրգի նիստերը, որ ընդհանուր գագաթ ունեցող եռանկյուններ են։
  • Կողմնային կողեր – կողմնային նիստերի ընդհանուր կողմերը։
  • Բուրգի գագաթ – այն կետը, որը միացնում է կողմնային կողերը և ընկած չէ հիմքի հարթությունում։
  • Բարձրություն – բուրգի գագաթից նրա հիմքի հարթությանը տարված ուղղահայացի մի հատված (այդ հատվածի ծայրակետերն են բուրգի գագաթը և ուղղահայացի հիմքը)։
  • Բուրգի անկյունագծային հատույթ – բուրգի հատույթը, որը անցնում է գագաթով և հիմքի անկյունագծով։
  • Հիմք – բազմանկյուն, որին չի պատկանում բուրգի գագաթը։
  • Հարթագիծ – կանոնավոր բուրգի կողմնային նիստի բարձրությունը՝ տարված նրա գագաթից։

n-անկյուն բուրգն ունի 2n կող (n-ը հիմքի կողերն են, n-ը՝ կողմնային կողերը), n+1 գագաթ և n+1 նիստ, ընդ որում՝ այդ նիստերից մեկը նրա հիմքն է, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստերը։

Բուրգի հատկություններըԽմբագրել

Եթե բոլոր կողմնային կողերը հավասար են, ապա.

  • Բուրգի հիմքին կարելի է արտագծել շրջանագիծ, ընդ որում՝ բուրգի գագաթի պրոյեկցիան կլինի դրա կենտրոնում,
  • Կողմնային կողերը հիմքի հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ,
  • Ճիշտ է նաև հակառակ դրույթը, այսինքն՝ եթե կողմնային կողերը հիմքհ հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ, կամ եթե բուրգի հիմքին կարելի է արտագծել շրջանագիծ, որի կենտրոնը համընկնում է բուգի գագաթի պրոյեկցիայի հետ, ապա բուրգի բոլոր կողմնային կողերը հավասար են։

Եթե կողմնային նիստերը հիմքի հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ, ապա.

  • Բուրգի հիմքին կարելի է ներգծել շրջանագիծ, ընդ որում` բուրգի գագաթի պրոյեկցիան համընկնում է նրա կենտրոնի հետ,
  • Կողմնային նիստերի բարձրությունները հավասար են,
  • Բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և կողմնային նիստի բարձրության արտադրյալի կեսին։
 
Կանոնավոր բուրգին արտագծված գունդ.
SD — բուրգի բարձրություն,
AD — հիմքին արտագծված շրջանագծի շառավիղ,
В — կողմնային նիստի կողմի միջնակետ,
С — Կողերի միջնակետերով անցնող և նրանց ուղղահայաց հարթությունների հատման կետ,
AC=CS — բուրգին արտագծված գնդի շառավիղ
 
Կանոնավոր բուրգին ներգծված գունդ.
D — հիմքի կենտրոն
SF — հարթագիծ
ASD — կողերի կազմած անկյան կիսորդով անցնող հարթություն,
BCE — հիմքի ու կողմնային նիստի կազմած անկյան կիսորդով անցնող հարթություն,
С — բոլոր կիսորդային հարթությունների հատման կետը,
CK=CD — բուրգին ներգծված գնդի շառավիղ

Բուրգը երկրաչափական այլ մարմինների հետ կապող թեորեմներԽմբագրել

ԳունդԽմբագրել

  • Բուրգին կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ այն դեպքում, երբ բուրգի հիմքում ընկած է այնպիսի բազմանկյուն, որի շուրջ կարելի է արտագծել շրջանագիծ (անհրաժեշտ և բավարար պայման)[5]։ Գնդի կենտրոնը կլինի կողմնային կողերի միջնակետերով անցնող և նրանց ուղղահայաց հարթությունների հատման կետը։ Այս թեորեմից հետևում է, որ յուրաքանչյուր եռանկյուն բուրգի, ինչպես նաև ցանկացած կանոնավոր բուրգի կարելի է արտագծել գունդ։
  • Բուրգին կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ այն դեպքում, երբ բուրգի ներքին երկնիստ անկյունների կիսորդային հարթությունները հատվում են մեկ կետում (անհրաժեշտ ու բավարար պայման)։ Այդ կետը կլինի գնդի կենտրոնը։

ԿոնԽմբագրել

  • Կոնը կոչվում է բուրգին ներգծված, եթե նրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը ներգծված է բուրգի հիմքին։ Կոնը կարելի է ներգծել բուրգին միայն այն դեպքում, երբ բուրգի հարթագծերը միմյանց հավասար են (անհրաժեշտ և բավարար պայման)[6]։
  • Կոնը արտագծված է բուրգին, երբ նրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը արտագծած է բուրգի հիմքին։ Ընդ որում՝ կոնը բուրգին կարելի է արտագծել միայն այն դեպքում, երբ բուրգի կողմնային կողերը հավասար են (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։
  • Այդպիսի կոների և բուրգերի բարձրությունները հավասար են։

ԳլանԽմբագրել

  • Գլանը կոչվում է բուրգին ներգծված, եթե նրա մի հիմքը համընկնում է բուրգի հիմքին զուգահեռ հարթությանը պատկանող հատույթին ներգծված շրջանագծին, իսկ մյուս հիմքը պատկանում է բուրգի հիմքի հարթությանը։
  • Գլանը կոչվում է բուրգին արտագծված, եթե բուրգի գագաթը պատկանում է նրա մի հիմքին, իսկ մյուս հիմքը արտագծված է բուրգի հիմքին։ Ընդ որում՝ բուրգին կարելի է գլան արտագծել միայն այն դեպքում, երբ բուրգի հիմքը այնպիսի բազմանկյուն է, որին կարելի է ներգծել շրջանագիծ (անհրաժեշտ ու բավարար պայման)։

Բուրգին վերաբերող բանաձևերԽմբագրել

  • Բուրգի ծավալը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով.
 
որտեղ  -ը հիմքի մակերեսն է, իսկ  -ը՝ բարձրությունը։
 
որտեղ  -ը զուգահեռանիստի ծավալն է։
  • Եռանկյուն բուրգի (տետրաեդր) ծավալը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով[7].
 
որտեղ   հատվող կողերն են,  -ն՝   և   կողերի հեռավորությունը,  -ը՝   և   կազմած անկյունը,
  • Կողմնային մակերևույթի մակերեսը կոմնային նիստերի մեկերեսների գումարն է.
 
  • Լրիվ մակերևույթի մակերեսը կողմնային մակերևույթի մակերեսի և հիմքի մակերեսի գումարն է.
 
  • Կանոնավոր բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով.
 
որտեղ  -ն հարթագիծն է,  -ն՝ հիմքի պարագիծը,  -ն հիմքի կողմերի թիվը,  -ն՝ կողմնային կողը,  -ն՝ գագաթին կից հարթ անկյունը։
 
Կանոնավոր հնգանկյուն բուրգի փռվածք
1. հիմքի հարթությունում («աստղ»)
2. կողմնային նիստերից մեկի հարթությունում

Բուրգի հատուկ ձևերԽմբագրել

Կանոնավոր բուրգԽմբագրել

Բուրգը կոչվում է կանոնավոր, եթե դրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, իսկ գագաթը պրոյեկցվում է նրա հիմքի կենտրոնում։ Այդ դեպքում այն ունի հետևյալ հատկությունները.

  • Կանոնավոր բուրգի կողմնային կողերը հավասար են,
  • Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողմնային նիստերը համընկնող հավասարասրուն եռանկյուններն են,
  • Յուրաքանչյուր կանոնավոր բուրգի կարելի է ինչպես ներգծել, այնպես էլ արտագծել շրջանագիծ,
  • Եթե ներգծած և արտագծած շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են, ապա բուրգի գագաթին կից հարթ անկյունների գումարը հավասար է  , իսկ նրանցից յուրաքանչյուրը համապատասխանաբար  , որտեղ n-ը բազմանկյան հիմքի կողմերի թիվն է[8],
  • Կանոնավոր բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և հարթագծի արտադրյալի կեսին։

Ուղղանկյուն բուրգԽմբագրել

Բուրգը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա կողմնային կողերից մեկը ուղղահայաց է հիմքին։ Այդ դեպքում այս կողն էլ բուրգի բարձրությունն է։

ՏետրաէդրԽմբագրել

Տետրաէդր կոչվում է եռանկյուն բուրգը։ Տետրաէդրի նիստերից յուրաքանչյուրը կարող է համարվել բուրգի հիմքը։ Բացի այդ, մեծ տարբերություն կա «կանոնավոր եռանկյունի բուրգ» և «կանոնավոր քառանիստ» հասկացությունների միջև։ Կանոնավոր եռանկյուն բուրգը կանոնավոր եռանկյուն հիմքով բուրգ է (նիստերը պետք է լինեն հավասարասրուն եռանկյուններ)։ Կանոնավոր տետրաէդր է այն քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ են։

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4
  2. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. Под ред. Л. В. Сабинина. М., Просвещение, 1978. 320 с. С. 253.
  3. Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — 3-е изд.. — М.: КомКнига, 2007. — 456 с. — ISBN 978-5-484-00848-3
  4. . Е. Ващенко-Захарченко Начала Евклида с пояснительным введением и толкованиями. — Киев, 1880. — С. 473. — 749 с.
  5. Саакян С. М., Бутузов В. Ф. Изучение геометрии в 10—11-х классах: книга для учителя. — 4-е изд., дораб.. — М.: Просвещение, 2010. — 248 с. — (Математика и информатика). — ISBN 978-5-09-016554-9
  6. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3
  7. Кушнир И. А. Триумф школьной геометрии. — К.: Наш час, 2005. — 432 с. — ISBN 966-8174-01-1
  8. Готман Э. Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу Archived 2012-01-22 at the Wayback Machine. // Квант. — 1998. — № 4.

ԳրականությունԽմբագրել

  • Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4
  • Калинин А. Ю., Терешин Д. А. Стереометрия. 11 класс. — 2-е изд. — М.: Физматкнига, 2005. — 332 с. — ISBN 5-89155-134-9
  • Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 2, էջ 618