Բուրգ (երկրաչափություն)

Բուրգ, բազմանիստ, որի նիստերից մեկը (կոչվում է հիմք) կամայական բազմանկյուն է, իսկ մյուս նիստերը (կոչվում են կողմնային նիստեր) եռանկյուններն են, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ։ Ըստ հիմքի անկյունների թվի՝ տարբերակում են եռանկյուն բուրգ, քառանկյուն բուրգ և այլն։ Բուրգը կոնի մասնավոր դեպք է։

Վեցանկյուն բուրգ

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Բուրգ (այլ կիրառումներ)

Բուրգի զարգացման պատմությունը երկրաչափության մեջ

Բուրգի երկրաչափության սկզբնավորվել է Հին Եգիպտոսում և Բաբելոնում, սակայն ակտիվ զարգացում ապրել է Հին Հունաստանում։ Բուրգի ծավալը հայտնի էր հին եգիպտացիներին։ Առաջին հույն մաթեմատիկոսը, որ պարզել է, թե ինչին է հավասար բուրգի ծավալը, եղել է Դեմոկրիտեսը, իսկ ապացուցել է այն Եվդոքս Կնիդոսցին։ Հին հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը համակարգել է բուրգի մասին գիտելիքներն իր «Սկզբունքների» 12-րդ հատորում, ինչպես նաև ձևակերպել է բուրգի առաջին սահմանումը. երկրաչափական մարմին, որը սահմանափակված է հարթություններով, որոնք սկիզբ են առնում մեկ հարթությունից և հատվում են մեկ կետում (գիրք 11, սահմանում 12)։

Բուրգի տարրեր

SO – բարձրություն
SF – հարթագիծ
OF – հիմքին ներգծված շրջանագծի շառավիղ

• Կողմնային նիստեր – բուրգի նիստերը, որ ընդհանուր գագաթ ունեցող եռանկյուններ են։
• Կողմնային կողեր – կողմնային նիստերի ընդհանուր կողմերը։
• Բուրգի գագաթ – այն կետը, որը միացնում է կողմնային կողերը և ընկած չէ հիմքի հարթությունում։
• Բարձրություն – բուրգի գագաթից նրա հիմքի հարթությանը տարված ուղղահայացի մի հատված (այդ հատվածի ծայրակետերն են բուրգի գագաթը և ուղղահայացի հիմքը)։
• Բուրգի անկյունագծային հատույթ – բուրգի հատույթը, որը անցնում է գագաթով և հիմքի անկյունագծով։
• Հիմք – բազմանկյուն, որին չի պատկանում բուրգի գագաթը։
• Հարթագիծ – կանոնավոր բուրգի կողմնային նիստի բարձրությունը՝ տարված նրա գագաթից։

n-անկյուն բուրգն ունի 2n կող (n-ը հիմքի կողերն են, n-ը՝ կողմնային կողերը), n+1 գագաթ և n+1 նիստ, ընդ որում՝ այդ նիստերից մեկը նրա հիմքն է, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստերը։

Բուրգի հատկությունները

Եթե բոլոր կողմնային կողերը հավասար են, ապա.

• Բուրգի հիմքին կարելի է արտագծել շրջանագիծ, ընդ որում՝ բուրգի գագաթի պրոյեկցիան կլինի դրա կենտրոնում,
• Կողմնային կողերը հիմքի հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ,
• Ճիշտ է նաև հակառակ դրույթը, այսինքն՝ եթե կողմնային կողերը հիմքհ հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ, կամ եթե բուրգի հիմքին կարելի է արտագծել շրջանագիծ, որի կենտրոնը համընկնում է բուգի գագաթի պրոյեկցիայի հետ, ապա բուրգի բոլոր կողմնային կողերը հավասար են։

Եթե կողմնային նիստերը հիմքի հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ, ապա.

• Բուրգի հիմքին կարելի է ներգծել շրջանագիծ, ընդ որում` բուրգի գագաթի պրոյեկցիան համընկնում է նրա կենտրոնի հետ,
• Կողմնային նիստերի բարձրությունները հավասար են,
• Բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և կողմնային նիստի բարձրության արտադրյալի կեսին։

Կանոնավոր բուրգին արտագծված գունդ.
SD — բուրգի բարձրություն,
AD — հիմքին արտագծված շրջանագծի շառավիղ,
В — կողմնային նիստի կողմի միջնակետ,
С — Կողերի միջնակետերով անցնող և նրանց ուղղահայաց հարթությունների հատման կետ,
AC=CS — բուրգին արտագծված գնդի շառավիղ

Կանոնավոր բուրգին ներգծված գունդ.
D — հիմքի կենտրոն
SF — հարթագիծ
ASD — կողերի կազմած անկյան կիսորդով անցնող հարթություն,
BCE — հիմքի ու կողմնային նիստի կազմած անկյան կիսորդով անցնող հարթություն,
С — բոլոր կիսորդային հարթությունների հատման կետը,
CK=CD — բուրգին ներգծված գնդի շառավիղ

Բուրգը երկրաչափական այլ մարմինների հետ կապող թեորեմներ

Գունդ

• Բուրգին կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ այն դեպքում, երբ բուրգի հիմքում ընկած է այնպիսի բազմանկյուն, որի շուրջ կարելի է արտագծել շրջանագիծ (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։ Գնդի կենտրոնը կլինի կողմնային կողերի միջնակետերով անցնող և նրանց ուղղահայաց հարթությունների հատման կետը։ Այս թեորեմից հետևում է, որ յուրաքանչյուր եռանկյուն բուրգի, ինչպես նաև ցանկացած կանոնավոր բուրգի կարելի է արտագծել գունդ։
• Բուրգին կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ այն դեպքում, երբ բուրգի ներքին երկնիստ անկյունների կիսորդային հարթությունները հատվում են մեկ կետում (անհրաժեշտ ու բավարար պայման)։ Այդ կետը կլինի գնդի կենտրոնը։

Կոն

• Կոնը կոչվում է բուրգին ներգծված, եթե նրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը ներգծված է բուրգի հիմքին։ Կոնը կարելի է ներգծել բուրգին միայն այն դեպքում, երբ բուրգի հարթագծերը միմյանց հավասար են (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։
• Կոնը արտագծված է բուրգին, երբ նրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը արտագծած է բուրգի հիմքին։ Ընդ որում՝ կոնը բուրգին կարելի է արտագծել միայն այն դեպքում, երբ բուրգի կողմնային կողերը հավասար են (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։
• Այդպիսի կոների և բուրգերի բարձրությունները հավասար են։

Գլան

• Գլանը կոչվում է բուրգին ներգծված, եթե նրա մի հիմքը համընկնում է բուրգի հիմքին զուգահեռ հարթությանը պատկանող հատույթին ներգծված շրջանագծին, իսկ մյուս հիմքը պատկանում է բուրգի հիմքի հարթությանը։
• Գլանը կոչվում է բուրգին արտագծված, եթե բուրգի գագաթը պատկանում է նրա մի հիմքին, իսկ մյուս հիմքը արտագծված է բուրգի հիմքին։ Ընդ որում՝ բուրգին կարելի է գլան արտագծել միայն այն դեպքում, երբ բուրգի հիմքը այնպիսի բազմանկյուն է, որին կարելի է ներգծել շրջանագիծ (անհրաժեշտ ու բավարար պայման)։

Բուրգին վերաբերող բանաձևեր

• Բուրգի ծավալը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով.

$V={\frac {1}{3}}Sh,$

որտեղ $\ S$-ը հիմքի մակերեսն է, իսկ $\ h$-ը՝ բարձրությունը։

$V={\frac {1}{6}}V_{p},$

որտեղ $\ V_{p}$-ը զուգահեռանիստի ծավալն է։

• Եռանկյուն բուրգի (տետրաեդր) ծավալը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով.

$V={\frac {1}{6}}a_{1}a_{2}d\sin \varphi ,$

որտեղ $a_{1},a_{2}$ հատվող կողերն են, $d$-ն՝ $a_{1}$ և $a_{2}$ կողերի հեռավորությունը, $\varphi$-ը՝ $a_{1}$ և $a_{2}$ կազմած անկյունը,

• Կողմնային մակերևույթի մակերեսը կոմնային նիստերի մեկերեսների գումարն է.

$S_{b}=\sum _{i}^{}S_{i}$

• Լրիվ մակերևույթի մակերեսը կողմնային մակերևույթի մակերեսի և հիմքի մակերեսի գումարն է.

$\ S_{p}=S_{b}+S_{o}$

• Կանոնավոր բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով.

$S_{b}={\frac {1}{2}}Pa={\frac {n}{2}}b^{2}\sin \alpha$

որտեղ $a$-ն հարթագիծն է, $\ P$-ն՝ հիմքի պարագիծը, $\ n$-ն հիմքի կողմերի թիվը, $\ b$-ն՝ կողմնային կողը, $\alpha$-ն՝ գագաթին կից հարթ անկյունը։

Կանոնավոր հնգանկյուն բուրգի փռվածք
1. հիմքի հարթությունում («աստղ»)
2. կողմնային նիստերից մեկի հարթությունում

Բուրգի հատուկ ձևեր

Կանոնավոր բուրգ

Բուրգը կոչվում է կանոնավոր, եթե դրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, իսկ գագաթը պրոյեկցվում է նրա հիմքի կենտրոնում։ Այդ դեպքում այն ունի հետևյալ հատկությունները.

• Կանոնավոր բուրգի կողմնային կողերը հավասար են,
• Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողմնային նիստերը համընկնող հավասարասրուն եռանկյուններն են,
• Յուրաքանչյուր կանոնավոր բուրգի կարելի է ինչպես ներգծել, այնպես էլ արտագծել շրջանագիծ,
• Եթե ներգծած և արտագծած շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են, ապա բուրգի գագաթին կից հարթ անկյունների գումարը հավասար է $\pi$, իսկ նրանցից յուրաքանչյուրը համապատասխանաբար ${\frac {\pi }{n}}$, որտեղ n-ը բազմանկյան հիմքի կողմերի թիվն է,
• Կանոնավոր բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և հարթագծի արտադրյալի կեսին։

Ուղղանկյուն բուրգ

Բուրգը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա կողմնային կողերից մեկը ուղղահայաց է հիմքին։ Այդ դեպքում այս կողն էլ բուրգի բարձրությունն է։

Տետրաէդր

Տետրաէդր կոչվում է եռանկյուն բուրգը։ Տետրաէդրի նիստերից յուրաքանչյուրը կարող է համարվել բուրգի հիմքը։ Բացի այդ, մեծ տարբերություն կա «կանոնավոր եռանկյունի բուրգ» և «կանոնավոր քառանիստ» հասկացությունների միջև։ Կանոնավոր եռանկյուն բուրգը կանոնավոր եռանկյուն հիմքով բուրգ է (նիստերը պետք է լինեն հավասարասրուն եռանկյուններ)։ Կանոնավոր տետրաէդր է այն քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ են։

Գրականություն

• Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4
• Калинин А. Ю., Терешин Д. А. Стереометрия. 11 класс. — 2-е изд. — М.: Физматкнига, 2005. — 332 с. — ISBN 5-89155-134-9
• Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 2, էջ 618)։