Կանոնավոր եռանկյուն

Կանոնավոր (հավասարակողմ) եռանկյուն, կանոնավոր բազմանկյուն է երեք կողմերով, կանոնավոր բազմանկյուններից ամենապարզը։ Եռանկյան բոլոր կողմերը իրար հավասար են, հավասար են նաև անկյունները և յուրաքանչյուրը 60° է։

Կանոնավոր եռանկյուն

Հատկություններ

Կանոնավոր քառանիստը կազմված է չորս կանոնավոր եռանկյուններից։

Եթե կողմի երկարությունը նշանակենք a, արտագծած շրջանագծի շառավիղը R և ներգծած շրջանագծի շառավիղը r, ապա.

• Ներգծած շրջանագծի շառավիղը՝

$r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$

• Արտագծած շրջանագծի շառավիղը.

$R={\frac {\sqrt {3}}{3}}a$

• Բարձրությունները, կիսորդները և միջնագծերը համընկնում են.

$h=m=l={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$

• Արտագծած շրջանագծի շառավիղը հավասար է ներգծված շրջանագծի շառավղի կրկնապատիկին.

$R=2r$

Կողմերը

• $\displaystyle a=b=c$
• $\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}$

Պարագիծ

• $\displaystyle P=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r$
• $\displaystyle P^{2}=3r^{2}+12Rr$
• $\displaystyle P^{2}=3{\sqrt {3}}T$
• $\displaystyle P=3{\sqrt {3}}r$
• $\displaystyle P={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R$
• $P=3a=3{\sqrt {3}}R=6{\sqrt {3}}r$

Անկյուններ

• $\displaystyle A=B=C=60^{\circ }$
• $\displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}$
• $\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}$

Մակերես

• $\displaystyle S={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad$
• $\displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{^{\frac {2}{3}}}$
• $S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}=3{\sqrt {3}}r^{2}={\frac {\sqrt {3}}{36}}P^{2}$
• Կանոնավոր եռանկյուններով կարելի է հարթություն ստանալ։
• Կանոնավոր եռանկյան մեջ ինը կետերի շրջանագիծը համընկնում է ներգծված շրջանագծի հետ։

Կանոնավոր սֆերիկ եռանկյուն

Ցանկացած 60°-ից 180°-ի համար գոյություն ունի կանոնավոր սֆերիկ եռանկյուն տվյալ անկյան չափերով։

Կանոնավոր եռանկյան կառուցում

Թեորեմներ հավասարակողմ եռանկյան մասին

• Նապոլեոնի խնդիրը
• Սիմսոնի ուղիղ
• Վիվիանի թեորեմը
• Մորլի թեորեմ
• Նապոլեոնի թեորեմ
• Պոմպեույի թեորեմը
• Թեբոյի 1 և 2 թեորեմները
• Ապոլլոնիայի կետերը
• Տորիչելիի կետերը

Տես նաև

• Եռանկյան հիանալի կետեր
• Հավասարակողմ եռանկյուն
• Չևայի թեորեմ
• Եռանկյուն
• Ռյոլոյի եռանկյուն