Ռոտոր (դիֆերենցման օպերատոր)
Ռոտոր, վեկտորական դաշտի վրա կիրառվող վեկտորական դիֆերենցման օպերատոր։
Նշանակվում է տարբեր կերպ, օրինակ՝
- (ռուսական[1] գրականության մեջ),
- (անգլալեզու գրականության մեջ[2],առաջարկվել է Մաքսվելի կողմից),
- որպես նաբլա օպերատորի և վեկտորական դաշտի վեկտորական արտադրյալ՝ : Այս օպերատորի ազդեցությունը կոնկրետ F վեկտորական դաշտի վրա անվանում են F դաշտի ռոտոր և իրենից ներկայացնում է նոր վեկտորական դաշտ[3]
- :
Մաթեմատիկական բացատրություն խմբագրել
վեկտորական դաշտի , որի պրոյեկցիա -ն յուրաքանչյուր n ուղղությամբ իրենից ներկայացնում է L կոնտուրով վեկտորական դաշտի շրջապտույտ։
L-ը ΔS հարթ մակերևույթի սահմանն է։
Պրոյեկցիայի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝
- :
Պտույտի ուղղությունը վերցվում է այնպես, որ եթե նայենք -ի ուղղությամբ, L-ը շրջանցվում է ժամսլաքի ուղղությամբ[4]։ Եռաչափ դեկարտյան կոորդինատների համակարգում ռոտորը որոշվում է հետևյալ կերպ՝
կամ
Այստեղ F-ը դեկարտյան կոմպոնենտներով վեկտորական դաշտ է, իսկ -ն դեկարտյան կոորդինատների օրթերն են։ Հարմարության համար կարելի է գրել՝
- :
Կապված բացատրություն խմբագրել
Այն վեկտորական դաշտը, որի ռոտորը հավասար է զրոյի համարվում է պոտենցիալային։
Ընդհանրացում խմբագրել
Ռոտոր օպերատորի ընդհանարացումը ունի հետևյալ տեսքը՝
...
կամ
m-ը և n-ը ընդունում են 1-ից մինչև դաշտի չափայնություն արժեքները։
Վերջինը կարելի է գրել՝
- Ռոտորը 2 վալենտականությամբ անտիսիմետրիկ[5] թենզորային դաշտ է։
Հիմնական հատկություններ խմբագրել
Հատկությունները անմիջապես ստացվում են դիֆերենցման սովորական կանոններից խմբագրել
- Գծայնություն՝
ցանկացած F և G դաշտերի համար և ցանկացած a և b հաստատունների համար։
- Եթե -ը սկալյար դաշտ է, իսկ F-ը՝ վեկտորական՝
կամ
- :
- Ռոտորի դիվերգենցիան հավասար է զրոյի՝
- կամ Ճիշտ է նաև հակառակը՝
:
- Եթե F-ը պոտենցիալային դաշտ է, ապա նրա ռոտորը հավասար է զրոյի՝
- : Ճիշտ է նաև հակառակը՝
:
- Ռոտորի ռոտորի հավասար է դիվերգենցիայի գրադիենտին հանած լապլասիան՝
Ստոքսի թեորեմ խմբագրել
Ինչ-որ մակերևույթի սահման հանդիսացող փակ կոնտուրով ցիրկուլյացիան հավասար է այդ մակերևույթով այդ վեկտորի հոսքի ռոտորին։
- : Ստոքսի թերոեմի մասնավոր դեպք է համարվում Գրինի թեորեմը։
Ռոտորը կորագիծ կոորդինատներով խմբագրել
Ընդհանուր դեպք խմբագրել
- և
- :
Օրթոգոնալ կորագիծ կոորդինատների դեպքը խմբագրել
որտեղ Hi-ն Լամեի գործակիցն է։
Օրինակներ խմբագրել
Դիտարկենք հետևյալ վեկտորական դաշտը[6]՝
- : Գրաֆիկի տեսքը հետևյալն է՝
- Կիրառելով ռոտոր օպերատորը, կստացի՝
Քանի որ ռոտորը յուրաքանչյուր կետում նույնը չէ, գրաֆիկը կստացվի հետևյալ կերպ՝
Ընդհանուր օրինակներ խմբագրել
Դիտարկենք ∇ × [ v × F ] օրինակը։ Օգտագործելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգը, կարելի է ցույց տալ, որ՝
Եթե v-ն և ∇-ն փոխենք տեղերով, կստացվի՝
որը համարվում է ֆեյմանյան գրառում՝ ∇F ներքին ինդեքսով։ Այն նշանակում է, որ F ինդեքսով գրադիենտը վերաբերվում է միայն F-ին։ Այլ օրինակ՝
∇ × [ ∇ × F ]:
Կիրառելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ, կարելի է գրել՝
որը կարելի է համարել առաջին օրինակի մասնակի դեպքը, երբ v → ∇:
Տես նաև խմբագրել
Ծանոթագրություններ խմբագրել
- ↑ Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, а также почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» Կաղապար:Нет АИ 2.
- ↑ О. Хэвисайд. The relations between magnetic force and electric current. // The Electrician, 1882.
- ↑ Точнее — если F — псевдовекторное поле, то rot F — обычное векторное поле (вектор rot F — полярный), и наоборот, если поле F — поле обычного (полярного) вектора, то rot F — псевдовекторное поле.
- ↑ Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.
- ↑ То, что тензор антисимметричен, очевидно непосредственно из определения.
- ↑ Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку rot const = 0; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) - ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси х, под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости , поэтому приведённое дальше вычисление ротора применимо и к этому случаю (проще всего взять ось y совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость не будет уже константой, однако будет нулем при z = 0, как и в основном примере, т.е. вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).