Պարաբոլիկ հավասարումներ

Պարաբոլիկ հավասարումներ, դիֆերենցիալ հավասարումների մասնավոր դաս։ Ոչ ստացիոնար գործընթացները նկարագրող հավասարումների մի տեսակներից։

Սահմանում

Պարաբոլիկ հավասարման լուծման տեսողական ներկայացում(ջերմության փոխանցում)

Հաշվի առեք ֆունկցիայի մասշտաբային երկրորդ կարգի մասնակի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ձևը։ Դիտարկենք սկալարային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր տեսքը, մասնավորապես՝ ֆունկցիայի նկատմամբ երկրորդ կարգի ածանցյալ $u:R^{n}\rightarrow R$։

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$

Ընդ որում հավասարումը գրված է սիմետրիկ տեսքով, այսինքն՝ $a_{ij}=a_{ji}$։ Այդ դեպքում հավասարմանը համարժեք քառակուսի ձևի տեսքի հավասարումը կլինի․

$\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+\mathbf {b} \cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$,

որտեղ $A=A^{T}$.

A մատրիցան կոչվում է հիմնական գործակիցի մատրիցա։

Եթե ստացված ձևի արժեքն է (n-1,0), այսինքն ՝ A մատրիցան ունի մեկ սեփական արժեք, որը հավասար է զրոյի և n-1-ի, սեփական արժեքներն ունեն նույն նշանը, ապա հավասարումը կոչվում է պարաբոլիկ տիպի։

Մեկ այլ, համարժեք սահմանում. Հավասարումը կոչվում է պարաբոլիկ, եթե այն կարող է ներկայացվել հետևյալ տեսքով․

$Lu+a{\frac {\partial u}{\partial t}}=f(x_{1},\ldots ,x_{n-1},t)$,

որտեղ։ $L$ — էլիպսային օպերատոր, $a\neq 0$.

Պարաբոլիկ հավասարումների լուծում

Միակ լուծումը գտնելու համար հավասարումը դիտարկվում է սկզբնական և սահմանային պայմանների հետ համատեղ։ Քանի որ երբ հավասարումը առաջին կարգի է, ապա սկզբնական պայմանը դրվում է որոնելի ֆունկցիայի վրա։

• Պարաբոլիկ ինչպես նաև վերացական պարաբոլիկ հավասարումների լուծումներ գտնելու համար, կարող են կիրառվել օպերատորների կիսախմբի տեսությունը։
• Անսահման տիրույթում պարաբոլիկ հավասարումների (Կոշիի խնդիրը պարաբոլիկ հավասարման համար) վերլուծական լուծման համար օգտագործվում է հատուկ ինտեգրալ բանաձև։
• Սահմանափակ տիրույթում պարաբոլիկ հավասարումների վերլուծական լուծման համար կարող է օգտագործվել Ֆուրյեի փոփոխական բաժանում մեթոդը։
• Պարաբոլիկ հավասարումների թվային լուծման համար օգտագործվում են վերջավոր տարրերի մեթոդը, վերջավոր տարբերությունների մեթոդը, վերջավոր ծավալի մեթոդը, ինչպես նաև դրանց համակցությունները և լուծվող խնդրին հարմար թվային այլ մեթոդներ։

Առավելագույն սկզբունքը

Պարաբոլիկ հավասարման նշված տեսքի համար

$-a^{2}\Delta u+\partial _{t}u=0\ (x_{1},\ldots \,x_{n-1})\in \Omega$

Լուծումները $u(x_{1},\ldots ,x_{n-1},t)$ ընդունում են իրնց մեծագույն արժեքները երբ $t=0$, կամ $\Omega$ տրույթի սահմանին։

Պարաբոլիկ հավասարումների օրինակներ

• Կոնվեկցիայի և դիֆուզիոն գործընթացները նկարագրող հավասարումներ, ներառյալ դիֆուզիոն հավասարումը և դրա հատուկ դեպքը՝ ջերմահաղորդման հավասարումը։
• Նավիե-Ստոքսի հավասարումների համակարգը, որը նկարագրում է հեղուկների և գազերի շարժը, որը հանդիսանում է տարաբնույթ սահմանափակումներով պարաբոլիկ հավասարումների համակարգ։
• Մաքսվելի հավասարումներից, կարելի է ստանալ $\mathbf {A}$ կամ $\mathbf {E}$ վեկտորների նկատմամբ պարաբոլիկ հավասարումներ։