Ենթաբազմություն բազմությունների տեսությունում - բազմության մասի հասկացություն

Էյլերի դիագրամում երևում է, որ A բազմությունը B բազմության ենթաբազմություն է

ՍահմանումԽմբագրել

  բազմությունը համարվում է   բազմության ենթաբազմություն, եթե  -ին պատկանող ցանկացած տարր պատկանում է նաև  -ին։

 

Ենթաբազմությունների համար գոյություն ունեն երկու սիմվոլիկ նշանակումներ.

«  -ի ենթաբազմություն է». նշանակվում է «  -ի սեփական ենթաբազմություն է». նշանակվում է Ծանոթություն
      սիմվոլի արտաքին տեսքը ցույց է տալիս, որ եթե  , ապա  .
    «Ենթաբազմության» հասկացության համար օգտագործվում է ավելի պարզ սիմվոլ, քանի որ այդ հասկացությունն ավելի հիմնավոր է։

Ցավոք, նշանակումների երկու համակարգերն էլ օգտագործում են   տարբեր իմաստներով, որը կարող է շփոթության բերել։ Այստեղ կօգտագործենք նշանակումների վերջին համակարգը։   բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը նշանակվում է  :

Սեփական ենթաբազմությունԽմբագրել

Ցանկացած   բազմություն համարվում է իր ենթաբազմությունը։ Եթե ցանկանում ենք   բազմությունը բացառել դիտարկումից, օգտվում ենք սեփական ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է.

  բազմությունը համարվում է   բազմության սեփական ենթաբազմություն, եթե   и  :

Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է։ Եթե ցանկանում ենք բացառել նաև դատարկ բազմությունը, օգտվում ենք ոչ տրիվիալ ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

  բազմությունը համարվում է   բազմության ոչ տրիվիալ ենթաբազմություն, եթե   -ի սեփական ենթաբազմություն է և  :

ՕրինակներԽմբագրել

  •   բազմությունները   բազմության ենթաբազմություններ են։
  •   բազմությունները   բազմության ենթաբազմություններ են։
  • Եթե  , ապա  :
  • Եթե  , ապա  :

ՀատկություններԽմբագրել

Ենթաբազմության հարաբերությունն օժտված է մի շարք հատկություններով[1]

  • Ենթաբազմության հարաբերությունը մասնակի կարգավորված հարաբերություն է.
    • Ենթաբազմության հարաբերությունը ռեֆլեքսիվ է.
       
    • Ենթաբազմության հարաբերությունը անտիսիմետրիկ է.
       
    • Ենթաբազմության հարաբերությունը տրանզիտիվ է.
       
  • Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է, այդ պատճառով այն ենթաբազմության հարաբերության նկատմամբ փոքրագույն բազմությունն է.
     
  • Ցանկացած   և   երկու բազմությունների համար հետևյալ պնդումները համարժեք են.
    •  
    •  
    •  
    •  

Վերջավոր բազմությունների ենթաբազմություններԽմբագրել

Եթե ելակետային բազմությունը վերջավոր է, ապա այն ունի վերջավոր քանակով ենթաբազմություններ։ Ավելի ստույգ,   տարր ունեցող բազմությունն ունի   ենթաբազմություններ, ներառյալ դատարկ բազմությունը: Դրանում համոզվելու համար բավական է նկատել, որ յուրաքանչյուր տարր կարող է պատկանալ կամ չպատկանալ ենթաբազմությանը, նշանակում է, ենթաբազմությունների ընդհանուր քանակը կլինի երկյակների  -ապատիկ արտադրյալը։ Եթե դիտարկենք   տարր ունեցող բազմության միայն   տարր ունեցող ենթաբազմությունները, ապա նրանց քանակը կարտահայտվի   բինոմալ գործակցով։ Այս փաստը ստուգելու համար կարելի է հաջորդաբար ընտրել ենթաբազմության տարրերը։ Առաջին տարրը կարելի է ընտրել   եղանակով, երկրորդը   եղանակով, և այսպես շարունակ,  -րդ տարրը՝  : Այսպիսով, ստանում ենք   տարրից բաղկացած հաջորդականություն, և ճիշտ   այդպիսի հաջորդականություններին համապատասխանում է մեկ ենթաբազմություն։ Նշանակում է, գտնվում են այդպիսի   ենթաբազմություններ։

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 65. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7 (ռուս.)

ԳրականությունԽմբագրել

  • Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. — 3-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-321-0 (ռուս.)